天津市静海区第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

天津市静海区第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

高二数学（期中）‎ 一、选择题: （每小题5分，共25分.每小题只有一个正确选项.）‎ ‎1.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点为 (　 )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数除法运算，化简为的形式，由此求得对应的点的坐标.‎ ‎【详解】依题意，对应的点为，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点的坐标，属于基础题.‎ ‎2.在的展开式中，中间一项的二项式系数为（ ）.‎ A. 20 B. C. 15 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用二项式定理计算得到答案.‎ ‎【详解】在的展开式中，共有项，中间一项是第项，对应的二项式系数为 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.‎ ‎3.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法错误的是（ ）‎ A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中条件，逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，所以，（舍），A正确；‎ 所以，，，，C正确；‎ 又，所以是等比数列，B正确；‎ 又，‎ 所以数列是公差为的等差数列.D错误；‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查数列的综合应用，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.‎ ‎4.从名男生和名女生中选出名学生参加一项活动，要求至少一名女生参加，不同的选法种数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从反面考虑，从名学生中任选名的所有选法中去掉名全是男生的情况，即为所求结果．‎ ‎【详解】从名学生中任选名，有种选法，其中全为男生的有种选法，‎ 所以选出名学生，至少有名女生的选法有种.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查组合问题，也可以直接考虑，分类讨论，在出现“至少”的问题时，利用正难则反的方法求解较为简单，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.只用四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以重复使用的数字为数字为例，采用插空法可确定符合题意的五位数的个数；重复使用每个数字的五位数个数一样多，通过倍数关系求得结果.‎ ‎【详解】当重复使用的数字为数字时，符合题意的五位数共有：个 当重复使用的数字为时，与重复使用的数字为情况相同 满足题意的五位数共有：个 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查排列组合知识的综合应用，关键是能够明确不相邻的问题采用插空法的方式来进行求解；易错点是在插空时，忽略数字相同时无顺序问题，从而错误的选择排列来进行求解.‎ 二、填空题（每小题5分，共30分）‎ ‎6.某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现已知有6种原料可用，但甲､乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，因此不同的实验方案种数共有_____.‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照是否投入甲原料分类讨论，用加法原理相加即得解.‎ ‎【详解】分类讨论：（1）若使用甲原料，有种方法；（2）若不使用甲原料，有种方法，‎ 因此共有24种不同的方法.‎ 故答案为：24‎ ‎【点睛】本题考查了分类计数原理，考查了学生综合分析问题的能力，属于基础题.‎ ‎7.已知，取值如表：‎ 画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：计算，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m的值．‎ 详解：计算=×（0+1+3+5+6）=3，‎ ‎=×（1+m+‎3m+5.6+7.4）=，‎ ‎∴这组数据的样本中心点是（3，），‎ 又y与x的线性回归方程=x+1过样本中心点，‎ ‎∴=1×3+1，‎ 解得m=.‎ 故填.‎ 点睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于基础题．‎ ‎8.在西非“埃博拉病毒"传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：‎ 感染 未感染 合计 服用 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ 未服用 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 附：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 根据上表，有________的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.‎ ‎【答案】95%‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题中数据求出，再由临界值表，即可得出结果.‎ ‎【详解】由题中数据可得：‎ ‎，‎ 根据临界值表可得：犯错误的概率不超过0.05.‎ 即有95%的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.‎ 故答案为95%‎ ‎【点睛】本题主要考查独立性检验的问题，会由公式计算，能分析临界值表即可，属于常考题型.‎ ‎9.如图，在正四棱柱中，P是侧棱上一点，且.设三棱锥的体积为，正四棱柱的体积为V，则的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正四棱柱底面边长，高，再根据柱体、锥体的体积公式计算可得.‎ ‎【详解】解：设正四棱柱的底面边长，高，‎ 则，‎ 即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查柱体、锥体的体积计算，属于基础题.‎ ‎10.若，则的展开式的第4项的系数为______.（用数字作答）‎ ‎【答案】560‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算得到，再利用二项式定理计算得到答案.‎ ‎【详解】，故，的展开式：，‎ 取，得到系数为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了组合数性质的应用，以及二项式展开式通项的应用，意在考查学生的计算能力.‎ ‎11.随机变量的取值为0，1，2，若，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，计算得到 ‎，再计算得到答案.‎ ‎【详解】，则；‎ 故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.‎ 三、解答题（45分）‎ ‎12.公元2020年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员，在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种疫苗后出现症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验.该试验的设计为：①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行3个周期.已知每只小白鼠接种后当天出现症状的概率均为，假设每次接种后当天是否出现症状与上次接种无关.‎ ‎（1）若某只小白鼠出现症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；‎ ‎（2）若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验.‎ ‎①设一只小白鼠参加的接种周期为，求的分布列及数学期望；‎ ‎②每周期接种实验需要的费用是10万元，另外，每次实验还需要额外2万元的费用，求一次实验所需费用的分布列.（填写表格即可）‎ ‎ ‎ ‎12‎ p ‎【答案】(1)；(2) ①的分布列见解析，；②的分布列见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用相互独立事件概率的乘法公式以及互斥事件概率的加法公式能求出至多能参加一个接种周期试验的概率；‎ ‎(2)①设事件C某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次症状，分别求出,由此能求出的分布列及数学期望；‎ ‎②实验所需费用的概率与一样，由此可求出实验所需费用的分布列.‎ ‎【详解】(1)已知每只小白鼠接种后当天出现症状的概率均为，且每次试验间相互独立，‎ 所以，一只小白鼠第一天接种后当天出现症状的概率为，‎ 在第二天接种后当天出现症状的概率为，‎ 只是在第三天接种后当天出现症状的概率为，‎ 所以，一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验概率为；‎ ‎(2)①设事件C某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次症状，则 ‎,‎ 随机变量可能的取值为1、2、3，则 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以的分布列为：‎ P 随机变量的数学期望值为：‎ ‎；‎ ‎②设实验所需费用为，则可能的取值为：16、32、48，则 ‎,‎ ‎,‎ 所以实验所需费用的分布列.‎ ‎16‎ ‎32‎ ‎48‎ p ‎【点睛】本题考查了相互独立事件概率公式及互斥事件的概率公式，随机变量的分布列和数学期望的计算，主要考查了计算能力，属于一般题.‎ ‎13.2018年国际乒联总决赛在韩国仁川举行，比赛时间为12月13﹣‎12月16日，在男子单打项目，中国队准备选派4人参加.已知国家一线队共6名队员，二线队共4名队员.‎ ‎（1）求恰好有3名国家一线队队员参加比赛的概率；‎ ‎（2）设随机变量X表示参加比赛的国家二线队队员的人数，求X的分布列；‎ ‎（3）男子单打决赛是林高远（中国）对阵张本智和（日本），比赛采用七局四胜制，已知在每局比赛中，林高远获胜的概率为，张本智和获胜的概率为，前两局比赛双方各胜一局，且各局比赛的结果相互独立，求林高远获得男子单打冠军的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）国家一线队共6名队员，二线队共4名队员．选派4人参加比赛，基本事件总数，恰好有3名国家一线队队员参加比赛包含的基本事件个数，由此能求出恰好有3名国家一线队队员参加比赛的概率． （2）的取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列． （3）分别求出获胜、获胜、获胜的概率，由此利用互斥事件概率加法公式能求出林高远获得冠军的概率．‎ ‎【详解】(1)国家一线队共6名队员，二线队共4名队员.选派4人参加比赛，‎ 基本事件总数，‎ 恰好有3名国家一线队队员参加比赛包含的基本事件个数，‎ ‎∴恰好有3名国家一线队队员参加比赛的概率p.‎ ‎(2)的取值为0，1，2，3，4，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(3)获胜的概率，‎ 获胜的概率，‎ 获胜的概率，‎ 所以林高远获得冠军的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎14.如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD．‎ ‎(1)求证：平面ABE；‎ ‎(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．‎ ‎(3)在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（I）见解析（II）（III）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（Ⅰ）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面的法向量，且，据此有，则平面．‎ ‎（Ⅱ）由题意可得平面的法向量，结合(Ⅰ)的结论可得，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）设，，则，而平面的法向量，据此可得，解方程有或．据此计算可得．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，∴，，‎ 设平面的法向量，∴不妨设，又，‎ ‎∴，∴，又∵平面，∴平面．‎ ‎（Ⅱ）∵，，设平面的法向量，‎ ‎∴不妨设，∴，‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）设 ，，∴，‎ ‎∴，又∵平面的法向量，‎ ‎∴，∴，∴或．‎ 当时，，∴；当时，，∴．‎ 综上，．‎ ‎15.是等比数列，公比大于0,其前n项和为是等差数列.已知.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和为；‎ ‎（3）若 则数列前n项和 ‎①求 ‎②若对任意，均有恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎（4）由（3）知对于数列的不等式问题，一般都是求最值，那么在数列中求一个数列最值的方法有哪些？‎ ‎（5）将数列，项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，，求这个新数列的前项和.‎ ‎（6）设，其中求 ‎（7）是否存在新数列，满足等式 成立，若存在,求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由. ‎ ‎（8）通过解本题体会数列求和方法，数列求和方法的本质是什么？‎ ‎【答案】⑴，.⑵；⑶①；②；⑷见解析；⑸ ；⑹；⑺；⑻见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据已知条件，利用等差数列和等比数列的性质和通项公式直接代入即可求出；‎ ‎(2)讨论当为奇数或为偶数时，分别求出它们的通项公式，再利用数列裂项求和方法、错位相减法、分组求和法求出数列的和；‎ ‎(3)①利用错位相减求数列的和；②利用数列的单调性求出数列的最大值即可；‎ ‎(4)求数列最值的一般方法有：单调性法、图像法、基本不等法、邻项比较法；‎ ‎(5)根据题意分别讨论、、三种情况求出对应的数列和；‎ ‎(6) 即 所以求，可以拆分成两个数列和：和即，利用数列求和方法分别求出它们的和即可；‎ ‎(7)根据已知条件用得到数列的前项和为，再由数列前项和公式得出数列的通项公式；‎ ‎(8)根据求数列和的方法可得出它的本质还是得看数列的通项，才能确定求和方法.‎ ‎【详解】(1) 是等比数列，公比q大于0，是等差数列，设公差为d，‎ 即 解得，‎ 又 即 解得，‎ 即有：，.‎ ‎(2)‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 数列的前项和为 ‎(3) ①，则 两式相减得：‎ ‎ ‎ 所以：‎ ‎②由①可知若对任意 ，均有恒成立，‎ 等价于恒成立，‎ 所以即恒成立，‎ 设，则 ‎，‎ 所以当时，当时，‎ 所以的最大值为，故，‎ 即实数的取值范围是：；‎ ‎(4)一般求数列最值的方法有：1、单调性法；2、图像法；3、基本不等式；4、邻项比较法；‎ ‎(5)数列的前项和为，数列的前项和为；‎ ‎①当时，‎ ‎②当时，‎ 当时，，‎ 当时，‎ 当时也符合 所以当时，‎ ‎③当时，‎ 综上可得： ‎ ‎(6) 即 ‎ ‎，‎ 设，前项和为，则 ‎，‎ ‎，‎ 两式相减并化简得：‎ ‎，‎ ‎(7)设存在新数列，满足等式 成立，则 ‎，‎ 当时，有，‎ 两式相减得：‎ ‎ ，‎ 设新数列的前项和为即，‎ 当时，，‎ 当时，，此时当时也符合，‎ 所以得到数列的通项公式为：‎ ‎(8)‎ 数列求和的方法有公式法、错位相减法、裂项求和法、分组求和法等等，其本质还是看数列的通项公式.‎ ‎【点睛】本题考查了求数列通项公式方法，数列求和的方法以及数列的最大值，关键错位相减求和以及分组求和的计算，讨论的取值，考查了学生的计算能力，属于较难题.‎