四川省棠湖中学2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学（文）试题

四川省棠湖中学2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学（文）试题

‎2020年春四川省成都双流棠湖中学高二第四学月考试 文科数学 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.若，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.若函数，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.目前，国内很多评价机构经过反复调研论证，研制出“增值评价”方式。下面实例是某市对“增值评价”的简单应用，该市教育评价部门对本市所高中按照分层抽样的方式抽出所(其中，“重点高中”所分别记为,“普通高中”所分别记为),进行跟踪统计分析，将所高中新生进行了统的入学测试高考后，该市教育评价部门将人学测试成绩与高考成绩的各校平均总分绘制成了雷达图.点表示学校入学测试平均总分大约分，点表示学校高考平均总分大约分，则下列叙述不正确的是（ ）‎ A.各校人学统一测试的成绩都在分以上 B.高考平均总分超过分的学校有所 C.学校成绩出现负增幅现象 D.“普通高中”学生成绩上升比较明显 ‎4.在下列各函数中，最小值等于2的函数是 ‎ A. y=x+‎‎1‎x B. y=sinx+‎‎1‎sinx（‎00‎”的否定为_______‎ ‎14.关于x的不等式ax-b<0‎的解集是‎(1,+∞)‎，则关于x的不等式‎(ax+b)(x-3)>0‎的解集是_______．‎ ‎15.如图是函数y=f(x)‎的导函数y=f'(x)‎的图像，给出下列命题：‎ ‎①-2是函数y=f(x)‎的极值点；②函数y=f(x)‎在x=1‎处取最小值；‎ ‎③函数y=f(x)‎在x=0‎处切线的斜率小于零；④函数y=f(x)‎在区间‎(-2,2)‎上单调递增.‎ 则正确命题的序号是__________．‎ ‎16.已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左、右焦点分别为F‎1‎‎,‎F‎2‎，若椭圆上存在一点P使得‎|PF‎1‎|=‎3‎‎2‎e|PF‎2‎|‎，则该椭圆的离心率e的取值范围是______．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.（12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：‎ ‎ ‎ 喜爱打篮球 ‎ 不喜爱打篮球 ‎ 合计 ‎ 男生 ‎ ‎ ‎ ‎5 ‎ ‎ ‎ 女生 ‎ ‎10 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 合计 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎５０ ‎ 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．‎ ‎（I）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（II）是否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由.下面的临界值表供参考：‎ 10‎ ‎ ‎ ‎0.15 ‎ ‎0.10 ‎ ‎0.05 ‎ ‎0.025 ‎ ‎0.010 ‎ ‎0.005] ‎ ‎0.001 ‎ ‎ ‎ ‎2.072 ‎ ‎2.706 ‎ ‎3.841 ‎ ‎5.024 ‎ ‎6.635 ‎ ‎7.879 ‎ ‎10.828 ‎ ‎(参考公式：，其中)‎ ‎18.（12分）如图,棱形ABCD的边长为6, ‎∠BAD=60°‎,AC∩BD=O.将棱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点, DM=3‎‎2‎.‎ ‎（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD;‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥M-ABD的体积.‎ ‎19.（12分）某幼儿园雏鹰班的生活老师统计2018年上半年每个月的20日的昼夜温差‎(x‎∘‎C，x≥3)‎和患感冒的小朋友人数（y/人）的数据如下：‎ 温差x‎∘‎ x‎1‎ x‎2‎ x‎3‎ x‎4‎ x‎5‎ x‎6‎ 患感冒人数y ‎8‎ ‎11‎ ‎14‎ ‎20‎ ‎23‎ ‎26‎ 其中i=1‎‎6‎xi‎=54.9‎，i=1‎‎6‎‎(‎xi‎-x‎-‎)(yi-y‎-‎)=94‎，i=1‎‎6‎‎(‎xi‎-‎x‎-‎‎)‎‎2‎‎=6‎.‎ ‎（Ⅰ）请用相关系数加以说明是否可用线性回归模型拟合y与x的关系；‎ ‎（Ⅱ）建立y关于x的回归方程（精确到‎0.01‎），预测当昼夜温差升高‎4‎‎∘‎C时患感冒的小朋友的人数会有什么变化？（人数精确到整数）‎ 10‎ 参考数据：‎7‎‎≈2.646‎．参考公式：相关系数：r=‎i=1‎n‎(‎xi‎-x‎-‎)(yi-y‎-‎)‎i=1‎n‎(‎xi‎-x‎-‎‎)‎‎2‎i=1‎n‎(‎yi-‎y‎-‎‎)‎‎2‎，回归直线方程是y‎=a+bx，b=i=1‎n‎(‎xi‎-x‎-‎)(yi-y‎-‎)‎i=1‎n‎(‎xi‎-‎x‎-‎‎)‎‎2‎，a=y‎-‎-b⋅‎x‎-‎ ,‎ ‎20.（12分）已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎ ‎(a>b>0)‎的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为 ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求ΔAOB面积的最大值.‎ ‎21.（12分）已知函数f(x)=lnx，g(x)=x+m（m∈R）．‎ ‎（I）若f(x)≤g(x)‎恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（II）已知x‎1‎，x‎2‎是函数F(x)=f(x)-g(x)‎的两个零点，且x‎1‎‎<‎x‎2‎，求证：x‎1‎x‎2‎‎<1‎．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 10‎ 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（II）若与交于两点，设，求.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数fx=‎x-2‎ ‎（Ⅰ）解不等式fx+f‎2x+1‎≥6‎；‎ ‎（Ⅱ）对a+b=1‎a,b>0‎及‎∀x∈R，不等式fx-m-f‎-x≤‎4‎a+‎‎1‎b恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎2020年春四川省成都双流棠湖中学高二第四学月考试 文科数学参数答案 ‎1.D 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D 7.D 8.D 9.A 10.B 11.A 12.C ‎13.‎∃x∈R，x‎2‎‎+1≤0‎ 14.‎(-1,3)‎ 15.①④ 16.‎‎[‎1‎‎3‎,1)‎ ‎17.试题解：(1) 列联表补充如下： ‎ ‎ ‎ 喜爱打篮球 ‎ 不喜爱打篮球 ‎ 合计 ‎ 男生 ‎ ‎２０ ‎ ‎５ ‎ ‎２５ ‎ 女生 ‎ ‎１０ ‎ ‎１５ ‎ ‎２５ ‎ 10‎ 合计 ‎ ‎３０ ‎ ‎２０ ‎ ‎５０ ‎ ‎（2）∵ ‎ 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为喜爱打篮球与性别有关 ‎ ‎18.（１）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，‎ 所以O是AC的中点.又点M是棱BC的中点，‎ 所以OM是ΔABC的中位线，OM//AB. 2分 因为OM⊄‎平面ABD,AB⊂‎平面ABD， 4分 所以OM//‎平面ABD. 6分 ‎（２）三棱锥M-ABD的体积等于三棱锥D-ABM的体积. 7分 由题意，OM=OD=3‎,‎ 因为DM=3‎‎2‎,所以‎∠DOM=‎‎90‎‎∘‎，OD⊥OM. 8分 又因为菱形ABCD，所以OD⊥AC. 9分 因为OM∩AC=O,所以OD⊥‎平面ABC ‎，即OD⊥‎平面ABM10分 所以OD=  3 ‎为三棱锥D-ABM的高. 11分 ΔABM的面积为SΔABM‎=‎ ‎1‎‎2‎BA×BM×sin‎120‎‎∘‎=‎1‎‎2‎×6×3×‎3‎‎2‎=‎‎9‎‎3‎‎2‎， 13分 所求体积等于VM-ABD‎=VD-ABM=‎ ‎1‎‎3‎‎×SΔABM×OD=‎‎9‎‎3‎‎2‎. 14分 ‎19解：(Ⅰ)y‎=‎1‎‎6‎‎8+11+14+20+23+26‎=17‎，‎ i=1‎‎6‎‎(yi-y)‎‎2‎‎=‎8-17‎‎2‎+‎‎11-17‎‎2‎‎14-17‎‎2‎‎+‎20-17‎‎2‎+‎23-17‎‎2‎+‎26-17‎‎2‎=252‎‎．‎ 故r=i=1‎n‎(xi-x)(yi-y)‎i=1‎n‎(xi-x)‎‎2‎i=1‎n‎(yi-y)‎‎2‎=‎94‎‎6×6‎‎7‎≈0.99‎，∴可用线性回归模型拟合y与x的关系；‎ ‎(Ⅱ)x‎=‎1‎‎6‎i=1‎‎6‎xi=‎54.9‎‎6‎=9.15‎，b‎=i=1‎‎6‎‎(xi-x)(yi-y)‎i=1‎‎6‎‎(xi-x)‎‎2‎=‎94‎‎36‎=2.61‎，a‎=17-2.61×9.15≈-6.88‎，‎ ‎∴y关于x的回归方程为y‎=2.61x-6.88‎．当x=4‎时，Δy=2.61×4≈10‎．‎ 10‎ 预测当昼夜温差升高‎4   °C时患感冒的小朋友的人数会增加10人．‎ ‎20解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意‎{ca‎=‎‎6‎‎3‎a=‎‎3‎∴b=1‎，‎∴‎所求椭圆方程为x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎=1‎．‎ ‎（2）设A(x‎1‎,x‎2‎)‎，B(x‎2‎,y‎2‎)‎．‎ ‎①当AB⊥x轴时，‎|AB|=‎‎3‎．‎ ‎②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．‎ 由已知‎|m|‎‎1+‎k‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎，得m‎2‎‎=‎3‎‎4‎(k‎2‎+1)‎．‎ 把y=kx+m代入椭圆方程，整理得‎(3k‎2‎+1)x‎2‎+6kmx ‎+3m‎2‎-3=0‎，‎ ‎∴x‎1‎+x‎2‎=‎‎-6km‎3k‎2‎+1‎‎，‎x‎1‎x‎2‎‎=‎‎3(m‎2‎-1)‎‎3k‎2‎+1‎ ‎∴‎|AB|‎‎2‎=(1+k‎2‎)‎(x‎2‎-x‎1‎)‎‎2‎=‎‎ ‎(1+k‎2‎)[‎36‎k‎2‎m‎2‎‎(3k‎2‎+1)‎‎2‎-‎12(m‎2‎-1)‎‎3k‎2‎+1‎]‎．‎ ‎=‎‎12(k‎2‎+1)(3k‎2‎+1-m‎2‎)‎‎(3k‎2‎+1)‎‎2‎‎ ‎‎=‎‎3(k‎2‎+1)(9k‎2‎+1)‎‎(3k‎2‎+1)‎‎2‎ ‎=3+‎12‎k‎2‎‎9k‎4‎+6k‎2‎+1‎=‎‎ ‎3+‎12‎‎9k‎2‎+‎1‎k‎2‎+6‎(k≠0)‎ ‎‎≤3+‎12‎‎2×3+6‎=4‎ 当且仅当‎9k‎2‎=‎‎1‎k‎2‎，即k=±‎‎3‎‎3‎时等号成立．‎ 当k=0‎时，‎|AB|=‎‎3‎，综上所述‎|AB|‎max‎=2‎．‎ 当k=±‎‎3‎‎3‎时，‎|AB|‎取得最大值，‎△AOB面积也取得最大值．‎ S=‎1‎‎2‎×‎|AB|‎max×‎3‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎‎.‎ ‎21.解：（1）令F(x)=f(x)-g(x)=lnx-x-m(x>0)‎，有F‎'‎‎(x)=‎1‎x-1=‎‎1-xx，当x>1‎时，F‎'‎‎(x)<0‎，当‎00‎，所以F(x)‎在‎(1,+∞)‎上单调递减，在‎(0,1)‎上单调递增，F(x)‎在x=1‎处取得最大值，为‎-1-m，若f(x)≤g(x)‎恒成立，则‎-1-m≤0‎即m≥-1‎.‎ ‎（2）由（1）可知，若函数F(x)=f(x)-g(x)‎ 有两个零点，则m<-1‎，‎‎0F(‎1‎x‎1‎)‎，由F(x‎1‎)=F(x‎2‎)=0‎，m=lnx‎1‎-‎x‎1‎，‎ 即证ln‎1‎x‎1‎-‎1‎x‎1‎-m=ln‎1‎x‎1‎-‎1‎x‎1‎+x‎1‎-lnx‎1‎<0‎ 10‎ 令h(x)=-‎1‎x+x-2lnx(00‎，‎ 有h(x)‎在‎(0,1)‎上单调递增，h(x)2.‎ 当x<‎‎1‎‎2‎时，由‎3-3x≥6‎，解得x≤-1‎；‎ 当‎1‎‎2‎‎≤x≤2‎时，x+1≥6‎不成立；‎ 当x>2‎时，由‎3x-3≥6‎，解得x≥3‎.‎ 所以不等式fx≥6‎的解集为‎-∞,-1‎‎∪‎‎3,+∞‎.‎ ‎（Ⅱ）因为a+b=1‎a,b>0‎，‎ 10‎ 所以‎4‎a‎+‎1‎b=a+b‎4‎a‎+‎‎1‎b=5+‎4ba+ab≥5+2‎4ba‎⋅‎ab=9‎.‎ 由题意知对‎∀x∈R，x-2-m‎-‎-x-2‎≤9‎，‎ 即x-2-m‎-‎‎-x-2‎max‎≤9‎，‎ 因为x-2-m‎-‎-x-2‎≤x-2-m‎-‎x+2‎=‎‎-4-m，‎ 所以‎-9≤m+4≤9‎，解得‎-13≤m≤5‎.‎ 10‎