河北省唐山市第一中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

河北省唐山市第一中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

唐山一中2019-2020学年高二年级第一学期10月份考试 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.与椭圆的焦点坐标相同的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定已知椭圆的焦点在x轴上，求出焦点坐标，接着分别求出四个选项中曲线的焦点坐标，再与已知椭圆的焦点坐标进行比较，即可得答案.‎ ‎【详解】椭圆的焦点在轴上，且，‎ 所以，所以椭圆的焦点坐标为.‎ 对A选项，双曲线方程，其焦点在x轴上，且，故其焦点坐标为，与已知椭圆的焦点坐标相同；‎ 对B选项，其焦点在x轴上，且，故其焦点坐标为；‎ 对C选项，其焦点在x轴上，且，故其焦点坐标为；‎ 对D选项，其焦点在y轴上.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆、双曲线焦点坐标的求解，主要考查两种曲线中之间的关系.‎ ‎2.抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 抛物线可以化为 则准线方程是 故选 ‎3.已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 双曲线的焦点可能在x轴，也可能在y轴上，分别写出两种情况下的双曲线的标准方程，或，可得或，解不等式可得答案.‎ ‎【详解】当双曲线的焦点在x轴上，双曲线方程，则解得：；‎ 当双曲线的焦点在y轴上，双曲线方程，‎ 所以解得：；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线标准方程，求解的关键在于双曲线方程标准形式的认识.‎ ‎4.是抛物线上一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角 ‎，则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出抛出线与焦半径及辅助线，利用直角三角形角所对的边等于斜边的一半及抛物线的定义，得到关于的方程，从而求得的值.‎ ‎【详解】如图所示，抛物线的准线与轴相交于点，作于，过作于，‎ 因为，所以，设，‎ 在中，，‎ 显然，又由抛物线的定义得，‎ 所以，解得：，即.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线焦半径的求解，利用平面几何知识结合抛物线的定义，能使问题的求解计算量更小，过程更简洁、清晰.‎ ‎5.已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的简单性质，利用椭圆的焦点坐标得到的值，再根据求得，最后代入离心率公式．‎ ‎【详解】椭圆的一个焦点为，可得，解得，‎ 所以椭圆离心率为：．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用的值求解椭圆的离心率，考查简单的运算求解能力．‎ ‎6.已知点，.若点在抛物线上，则使得的面积为2的点的个数为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，的方程为，，求出点到的距离的值，再代入面积公式得，由此求得的值，从而得出结论．‎ ‎【详解】由题意可得，的方程为，即．‎ 设点，则点到的距离．‎ 由于的面积为2，故有，化简可得，‎ ‎①，或②．‎ 解①求得或；解②求得或．‎ 综上可得，使得的面积为2的点的个数为4.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的简单性质的应用，点到直线的距离公式，一元二次方程的解法，属于中档题．‎ ‎7.已知圆，直线：，若圆上有2个点到直线的距离等于1，则以下可能的取值是（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 问题转化为圆心到直线的距离大于1，小于3，再求出圆心到直线的距离后列不等式可解得的取值范围，从而得到可能的取值．‎ ‎【详解】依题意可得圆心到直线的距离，‎ ‎，，解得或，‎ 显然只有符合.故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，问题转化为圆心到直线距离是解决问题的难点，考查数形结合思想的应用.‎ ‎8.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）‎ A 7 B. ‎6 ‎C. 5 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.‎ 考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎9.一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）．‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出关于轴的对称点，过作圆的切线，其斜率即为反射光线所在直线的斜率.‎ ‎【详解】点关于轴的对称点为，‎ 设过且与圆相切的直线的斜率为，则为反射光线所在直线的斜率.‎ 又切线方程为：即，‎ 圆心到切线的距离，‎ 故 ，所以或，故选D.‎ ‎【点睛】解析几何中光线的入射与反射问题，实际上就是对称问题，此类问题属于基础题.‎ ‎10.已知直线和点，在直线上求一点，使过、的直线与以及轴在第一象限内所围成的三角形的面积最小，则坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点，求出直线的方程为，再求出直线与轴交点的坐标，然后代入面积公式得到关于的函数，再利用基本不等式求最值，进而得到使面积取得最小值时对应的取值.‎ ‎【详解】设点，则直线的方程为，‎ 当时，，所以直线与轴交点，‎ ‎（其中），‎ 因为，‎ 等号成立当且仅当，即，所以点，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查直线的交点坐标求法、点斜式方程、三角形面积最值、基本不等式等知识，注意利用数形结合思想进行分析问题，才能使思路清晰.‎ ‎11.已知双曲线左焦点为，为双曲线右支上一点，若的中点在以O为圆心，以为半径的圆上，则的横坐标为（ ）‎ A. B. ‎4 ‎C. D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的右焦点，的中点为，因为为底边的中线和高，得到为等腰三角形，在求得的值，再由倍角公式求得，最后利用公式，求得点的横坐标.‎ ‎【详解】如图所示，设双曲线的右焦点，的中点为，‎ 因为为圆的直径，所以，所以，‎ 所以为等腰三角形，所以，‎ 根据双曲线的定义，所以.‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、圆的知识，与三角函数的倍角公式等知识交会，具有较强的综合性，对平面几何知识的要求也较高，考查综合分析问题和解决问题的能力.‎ ‎12.设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设，，，当斜率存在时，设斜率为，则 ‎，相减得：，因为直线与圆相切，所以 ‎，即，‎ 的轨迹是直线，代入抛物线得：，所以，又在圆上，代入得：‎ ‎，所以，因为直线恰好有四条，所以，所以，‎ 即时直线恰好有两条，当直线斜率不存在时，直线有两条，所以直线恰有条时，故选D．‎ 考点：1．直线和圆的位置关系；2．直线和抛物线的位置关系．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是直线与圆锥曲线的位置关系，以及直线与圆的相切问题，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件首先求出中点的轨迹方程，这里主要考查的是点差法，问题转化为与圆有交点，从而当直线斜率存在时，半径大于且小于有两条，当直线斜率不存在时，也有两条符合条件，故需要．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据斜率公式得，，由与线段相交，知，由此能求出直线斜率范围，进而根据正切函数的性质得出结果．‎ ‎【详解】因为，，由与线段相交，‎ 所以，‎ 所以或，‎ 由于在及均为增函数，‎ 所以直线的倾斜角的范围为：.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，求倾斜角的范围注意利用正切函数的单调性进行求解．‎ ‎14.过三点、、的圆的方程为____________________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出AB,BC的中垂线所在直线方程，两直线交点为圆心D坐标，再求圆半径r=AD.即可写出圆的方程。‎ ‎【详解】点、的中点为（2，5），，中垂线为x=2.‎ 点、的中点为，，所以,中垂线为x-7y+5=0.‎ 两直线交点为圆心D（2，1），r=AD=5.所以圆的方程为，也即 .填.‎ ‎【点睛】求过不共线A,B,C三点的圆的方程常见两种方法：一是根据所求圆为的外接圆，即求任意两边的中垂线交点为圆心坐标，顶点到圆心距离为半径，即可求出圆的方程。二是待定系数法，设圆的一般方程，把三个点的坐标代入，求出待定系数D,E,F，即可求出圆的方程。‎ ‎15.，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点，，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义算出，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，结合双曲线渐近线方程即可的结论．‎ ‎【详解】根据双曲线的定义，可得，‎ 是等边三角形，即 ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎△中，，，‎ 即，‎ 解得，又，，‎ 双曲线的渐近线的斜率为，‎ 故填：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义、余弦定理、渐近线方程，考查逻辑推理和运算求解能力，求解时要注意结合平面几何知识的应用.‎ ‎16.已知椭圆：，是轴正半轴上一动点，若以为圆心任意长为半径的圆与椭圆至多有两个交点，则的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立椭圆方程与圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，把圆与椭圆至多有两个交点转化为关于的一元二次方程在至多有一个根，再根据根的分布得到的取值范围.‎ ‎【详解】联立方程消去得：，‎ 因为以为圆心任意长为半径的圆与椭圆至多有两个交点，‎ 由于圆和椭圆的对称性，所以关于的方程对任意，在至多有一个根.‎ 令，对称轴，‎ 因为在轴正半轴，所以.‎ 当时，即，方程在至多有一根，符合题意；‎ 当，即，方程在至多有一根，则必有 或，对任意恒成立，‎ 即或对任意的恒成立，其中，‎ 因为，，‎ 所以两个不等式对任意的都不会恒成立，所以不符合题意.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本题以椭圆与圆的交点个数的几何问题，转化成一元二次方程在闭区间上根的个数问题，体现解析几何坐标化思想的运用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，是一道综合性较强的试题.‎ 三、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分.‎ ‎17.已知的顶点边上的中线所在直线方程为，‎ 边上的高所在直线方程为.求 ‎（1）顶点的坐标；‎ ‎（2）直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题意，画出简图，显然直线经过点，且与直线垂直，可求得的直线方程进一步和直线联立，求得点的坐标；（2）设点的坐标，利用线段的中点在直线上，点的坐标在直线上，解得点的坐标，进而求得直线的方程.‎ 试题解析：（1）由已知得直线的方程为：3分 解方程组得5分 ‎（2）设，则6分 在直线上即8分 在直线上9分 由得，即10分 于是直线的方程为：. 12分 考点：1中点坐标公式；2.两直线垂直；3.直线方程.‎ ‎18.已知圆O：x2+y2＝8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．‎ ‎（1）当α＝135°时，求弦AB的长；‎ ‎（2）当弦AB被P0平分时，求直线AB的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）x﹣2y+5＝0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意直线AB的斜率为﹣1，直线AB的方程，根据圆心0（0，0）到直线AB的距离，由弦长公式求得AB的长．‎ ‎（2）当弦AB被点P0平分时，AB和OP垂直，故直线AB 的斜率为，根据点斜式方程直线AB的方程．‎ ‎【详解】解：（1）当α＝135°时，kAB＝﹣1，直线AB：y+2＝﹣（x﹣1），即x+y+1＝0‎ 设AB中点为M，则OM⊥AB，且平分弦AB．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）当弦AB被点P平分时，OP⊥AB，而kOP＝﹣2，‎ ‎∴．‎ ‎∴弦AB所在直线的方程为：x﹣2y+5＝0．‎ ‎【点睛】本题考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，求出圆心0（0，0）到直线AB的距离为d，是解题的关键．‎ ‎19.已知一动圆与圆：外切，且与圆：内切.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹方程；‎ ‎（2）过点能否作一条直线与交于，两点，且点是线段的中点，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) 存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用圆与圆外切时，圆心距等于半径之和，圆与圆内切时，圆心距等于半径之差的绝对值，从而得到方程组，再利用双曲线定义得到圆心的轨迹为双曲线的右支；‎ ‎（2）利用设而不求、点差法、中点坐标公式，求得直线的斜率.‎ ‎【详解】（1）设动圆圆心，半径为，‎ 根据题意得：，所以，‎ 则动点轨迹为双曲线（右支），所以，，，‎ 所以轨迹方程为.‎ ‎（2）设，代入双曲线的方程得 两式相减得，‎ 因为是线段的中点，所以 所以，所以的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义，点差法的应用，注意求出的双曲线方程要进行验证，只是双曲线的右支，考查逻辑推理能力和运算求解能力.‎ ‎20.设椭圆的左焦点为，且椭圆经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线（为椭圆上顶点）与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆的焦点得，再把点代入椭圆方程求得，进而得到椭圆的方程；‎ ‎（2）设，先求出直线的方程，得到点的坐标，再由，得到斜率相乘为，结合点在椭圆上，求得点的坐标，再代入斜率公式，即可得到答案.‎ ‎【详解】（1）由已知得，所以椭圆的方程为，‎ 因为点在椭圆上，所以，解得，‎ 因为，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，由（1）知，‎ 因为，所以，所以的方程为，‎ 当时，，所以，‎ 因为，所以，‎ 解得：，因为在椭圆上，所以，‎ 所以，所以.‎ ‎【点睛】本题考查待定系数法求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系求与直线的斜率，考查简单的几何关系坐标化求解的思想.‎ ‎21.已知定点，是直线：上一动点，过作的垂线与线段的垂直平分线交于点.的轨迹记为.‎ ‎（1）求方程；‎ ‎（2）直线（为坐标原点）与交于另一点，过作垂线与交于，直线是否过平面内一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) 过定点.理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用抛物线的定义可求得的轨迹的方程；‎ ‎（2）设，根据条件求出直线的方程，再根据对称性知，若直线过定点，该定点必在轴上，从而令直线方程中的，计算是否为定值，进而判断直线是否过定点.‎ ‎【详解】（1）由已知得到直线的距离与到定点的距离相等，‎ 所以点的轨迹为抛物线，则，所以的方程.‎ ‎（2）设，则：，与联立得.‎ 又，得直线：，‎ 由对称性知若过定点，则定点一定在轴上，令，得 ‎，‎ 所以过定点.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义及标准方程、直线与抛物线位置关系中的直线过定点问题，注意利用抛物线的对称性，得到定点坐标一定在轴上，从而使问题求解的方向更明确.‎ ‎22.椭圆：经过点，离心率，直线的方程为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过椭圆右焦点作动直线与交于不同的两点、，与交于.直线，与分别交于，，求证：是的中点.‎ ‎【答案】(1) (2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的离心率为、椭圆过点、，得到三个方程，解出的值，从而得到椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线：，，，求出的直线方程，再令得的纵坐标，利用两点的纵坐标之和是点纵坐标的两倍，进而证明结论成立.‎ ‎【详解】（1）因为椭圆过点，所以，‎ 又，，解得：，‎ 所以椭圆的方程.‎ ‎（2）设直线：，，，‎ 当时，，‎ 由消得，‎ 所以 则：，所以，‎ 同理，‎ 所以，所以是中点.‎ ‎【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆的标准方程、利用直线方程的交点坐标的关系，证明点为线段中点的几何问题，体现坐标法解决几何问题的思想，对运算求解能力要求较高.‎