2019届二轮复习双曲线学案（全国通用）

2019届二轮复习双曲线学案（全国通用）

第九章 解析几何 第06节 双曲线 ‎【考纲解读】‎ 考点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 双曲线 ‎(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.‎ ‎(2)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.‎ ‎(3)了解圆锥曲线的简单应用.‎ ‎(4)理解数形结合的思想 ‎2015•新课标I. 5；II.11;‎ ‎2016•新课标I. 5;II. 11.‎ ‎2017•新课标II.9.‎ ‎2018•新课标I.11; II.5；III.11.‎ ‎1. 高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.不在独立考查双曲线大题.‎ ‎2.备考重点：‎ ‎ (1)掌握双曲线的定义、标准方程、几何性质，关注双曲线的“特征三角形”；‎ ‎（2）熟练运用方程思想及待定系数法；‎ ‎（3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1. 双曲线的定义及标准方程 ‎1．双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 ‎(1)在平面内；‎ ‎(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；‎ ‎(3)这一定值一定要小于两定点的距离．‎ ‎2．双曲线的标准方程 标准方程 －＝1(a>0，b>0)‎ －＝1(a>0，b>0)‎ 图形 ‎2. 双曲线的几何性质 双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0)‎ －＝1(a>0，b>0)‎ 图形 性质]‎ 范围 学, , ,X,X,K]‎ x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A‎1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A‎1A2|＝‎2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．‎ a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 双曲线的定义及标准方程 ‎【1-1】【2017课标3，理5】已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【1-2】【2018年理数天津卷】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择C选项.‎ ‎【综合点评】‎ ‎1.双曲线的轨迹类型是；2．双曲线标准方程的求解方法是”待定系数法”，“先定型，后计算”．‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.待定系数法求双曲线方程的常用方法 ‎(1)与双曲线－＝1共渐近线的可设为－＝λ(λ≠0)；‎ ‎(2)若渐近线方程为y＝±x，则可设为－＝λ(λ≠0)；‎ ‎(3)若过两个已知点则设为＋＝1(mn<0)．‎ ‎ 2．应用双曲线的定义需注意的问题：‎ 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．‎ ‎3．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a、b、c的关系易错易混．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2017天津，理5】已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 ‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】‎ ‎【变式二】【2018届重庆市巴蜀中学高三9月月考】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为异于的两点，且的中点在双曲线的左支上，点关于和的对称点分别为，则的值为（ ）‎ A. 26 B. C. 52 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设MN与双曲线的交点为点P，由几何关系结合三角形中位线可得：‎ ‎，‎ 则：，‎ 点P位于双曲线的左支，则：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【综合点评】‎ ‎1、在焦点三角形中，注意双曲线的定义和正弦定理、余弦定理交汇解题；‎ ‎2、求双曲线方程需要两个独立条件．‎ 考点2 双曲线的简单几何性质 ‎【2-1】【2018年理新课标I卷】已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=‎ A. B. 3 C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【2-2】【2017课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎【2-3】【2017江苏，8】 在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,则四边形的面积是 .‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎【综合点评】‎ ‎1．已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分m＝或m＝讨论，求离心率值，需要寻求的等式，求离心率取值范围，需寻求关于的不等式关系，并结合求．‎ ‎2．注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用．‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．‎ 若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，)；‎ 若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝；‎ 若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞.‎ ‎2．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.‎ ‎3．等轴双曲线的离心率与渐近线关系 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．‎ ‎4．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b ‎5．渐近线与离心率 －＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为＝ ＝ ＝.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】【2018年浙江卷】双曲线的焦点坐标是( )‎ A. (−，0)，(，0) B. (−2，0)，(2，0) C. (0，−)，(0，) D. (0，−2)，(0，2)‎ ‎【答案】B ‎【变式2】【2018届湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期期中联考】已知双曲线E： ﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（　　）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知：双曲线的右焦点，由关于原点的对称点为 则 四边形为平行四边形 则 由，根据椭圆的定义 在中， ‎ 则，整理得 则双曲线的离心率 故答案选 ‎【综合点评】‎ ‎1、充分利用条件列关于的等式或不等式，可得离心率的取值或取值范围；2、双曲线的渐近线是与之间的比值关系，再结合，可得的关系，及离心率的关系，从这点而言，渐近线方程和离心率是有联系的．‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：已知圆，圆都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程．‎ 易错分析：忽视双曲线定义．‎ 正确解析：圆O2：，即为 所以圆O2的圆心为,半径,‎ 而圆的圆心为,半径,‎ 设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r 则且，所以 且,点M的轨迹为双曲线右支，方程为．‎ 温馨提示：双曲线的轨迹类型是．‎ ‎【学 素养提升之思想方法篇】‎ 数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.‎ 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.‎ ‎【典例】【2018年全国卷Ⅲ理】设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C