【数学】2018届一轮复习人教A版 坐标系与参数方程 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 坐标系与参数方程 学案

第一讲 坐标系与参数方程(选修4－4)‎ ‎ 考情分析]‎ 坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用，由于本部分在高考中考查的知识点较为稳定，在备考时应重点关注极坐标系中直线的方程，或者求解极坐标系中曲线的某个特征值，及已知直线和圆的参数方程判断直线和圆的位置关系，求最值问题等．本部分内容在备考中应注意转化思想的应用，抓住知识，少做难题.‎ 年份 卷别 考查角度及命题位置 ‎2017‎ Ⅰ卷 直线与椭圆的参数方程及应用·T22‎ Ⅱ卷 极坐标方程及应用·T22‎ Ⅲ卷 参数方程与极坐标方程的应用·T22‎ ‎2016‎ Ⅰ卷 参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用·T23‎ Ⅱ卷 极坐标方程与直角坐标方程互化及应用、直线与圆的位置关系·T23‎ Ⅲ卷 参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值·T23‎ ‎2015‎ Ⅰ卷 极坐标与直角坐标的互化以及极坐标方程的应用·T23‎ Ⅱ卷 参数方程和普通方程的互化、三角函数的性质·T23‎ ‎ 真题自检]‎ ‎1．(2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为(2，)，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ 解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．‎ 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·|sin(α－)|＝2|sin(2α－)－|≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ ‎2．(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中 α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ 解析：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16 cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，‎ 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，‎ 从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.‎ 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．所以a＝1.‎ ‎3．(2016·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ 解析：(1)C1的普通方程为＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．‎ 因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，‎ d(α)＝＝，‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ 简单曲线的极坐标方程及应用 ‎ 方法结论]‎ ‎1．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.‎ 几个特殊位置的圆的极坐标方程：‎ ‎(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；‎ ‎(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acos θ；‎ ‎(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asin θ.‎ ‎2．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程：‎ ‎(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；‎ ‎(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.‎ ‎3．极坐标与直角坐标的互化方法 点M 直角坐标(x，y)‎ 极坐标(ρ，θ)‎ 互化公式 ‎ 题组突破]‎ ‎1．(2017·太原模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ 解析：(1)由ρcos＝1，得ρ＝1.‎ 因为所以C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2.‎ 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．‎ 当θ＝时，ρ＝，所以N.‎ ‎(2)由(1)可知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为.‎ 所以P点的直角坐标为，‎ 则P点的极坐标为.‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)．‎ ‎2．(2017·西安模拟)已知曲线C：ρ＝，直线l：ρ(cos θ－sin θ)＝12.‎ ‎(1)求直线l和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在曲线C上，求到直线l的距离最小的点P的坐标．‎ 解析：(1)由ρ＝，得8ρ2sin2θ＋ρ2＝27,8y2＋x2＋y2＝27，即＋＝1.‎ 由ρ(cos θ－sin θ)＝12，得ρcos θ－ρsin θ－12＝0，即x－y－12＝0.‎ ‎(2)设点P(3cos θ，sin θ)，点P到直线l的距离d＝＝＝‎ ‎3，若点P到直线l的距离最小，则θ＝－，此时点P.‎ ‎ 误区警示]‎ ‎1．极坐标方程与直角坐标方程互化时注意等价性．‎ ‎2．在极坐标系中，若极角θ∈R，则任一点的极坐标不唯一．‎ 参数方程 ‎ 方法结论]‎ 几种常见曲线的参数方程 ‎(1)圆 以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数．‎ 当圆心在(0,0)时，方程为其中α是参数．‎ ‎(2)椭圆 椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程是其中φ是参数．‎ 椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程是其中φ是参数．‎ ‎(3)直线 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数．‎ ‎ 题组突破]‎ ‎1．(2016·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．‎ 解析：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.‎ ‎(2)由直线l的参数方程(t为参数)，消去参数得y＝x·tan α.‎ 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0.‎ 由圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.‎ 又|AB|＝，由垂径定理及点到直线的距离公式得＝，即＝，‎ 整理得k2＝，解得k＝±，即l的斜率为±.‎ ‎2．(2017·惠州模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)．‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线l的倾斜角α的值．‎ 解析：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ.‎ ‎∵x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)将代入曲线C的方程得(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，化简得t2－2tcos α－3＝0.‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则.‎ ‎∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，‎ ‎∴4cos2α＝2，cos α＝±，α＝或.‎ ‎ 误区警示]‎ 对于直线l的参数方程(t为参数)‎ 易忽视只有满足a2＋b2＝1时t才有几何意义．‎ 极坐标方程与参数方程的综合应用 ‎ 典例](2017·贵阳模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求当AB取最小值时△AOB的面积．‎ 解析：(1)由得C1的普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝9，由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，‎ 将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ代入上式得C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.‎ ‎(2)如图，当A，B，C1，C2四点共线，且A，B在线段C‎1C2上时，|AB|取得最小值，‎ 由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)，∴kC‎1C2＝＝1，则直线C‎1C2的方程为x－y＋1＝0，‎ ‎∴点O到直线C‎1C2的距离d＝＝，又|AB|＝|C‎1C2|－1－3＝－4＝4－4，‎ ‎∴S△AOB＝d|AB|＝××(4－4)＝2－.‎ ‎ 类题通法]‎ 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消参法、加减消参法、恒等式(三角的或代数的)消参法；极坐标方程与直角坐标方程的互化主要是用好“公式”．一般与极坐标方程和参数方程有关的问题多采用化为直角坐标方程的方法，结合图形，合理转化，加以求解．‎ ‎ 演练冲关]‎ ‎(2017·沈阳模拟)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝x，圆C：(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求直线l与圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与圆C的交点为M，N，求△CMN的面积．‎ 解析：(1)将C的参数方程化为普通方程，得(x＋1)2＋(y＋2)2＝1，‎ ‎∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，‎ 圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，得ρ2＋3ρ＋4＝0，解得ρ1＝－2‎ eq (2)，ρ2＝－，‎ ‎|MN|＝|ρ1－ρ2|＝，‎ ‎∵圆C的半径为1，∴△CMN的面积为××1×sin ＝.‎