吉林省长春市实验中学2019-2020高二下学期期中考试数学（文）试卷

吉林省长春市实验中学2019-2020高二下学期期中考试数学（文）试卷

吉林省长春市实验中学2019-2020高二下学期期中考试 数学（文）试卷 一、选择题（本题共12小题，每题5分，总计60分，把答案填涂在答题卡指定位置处）‎ ‎1．设集合，集合，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．如图所示的茎叶图为高三某班名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，，，，为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（　 　）‎ A. ‎， B. ，‎ C.， D. ，‎ ‎5．用反证法证明命题：“已知∈N，若可被5整除，则中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是（ ）‎ A．都不能被5整除 B．都能被5整除 C．中有一个不能被5整除 D．中有一个能被5整除 ‎6．下列说法正确的是( )‎ A．“”是“函数 f（x）是奇函数”的充要条件 B．若 p：，，则：，‎ C．“若，则”的否命题是“若，则”‎ D．若为假命题，则均为假命题 ‎7．在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，,则 ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:,则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．天干地支纪年法，源于中国中国自古便有十天干与十二地支十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”依此类推已知1949年为“己丑”年，那么到新中国成立80周年时，即2029年为( )‎ A. 己丑年 B. 己酉年 C. 壬巳年 D. 辛未年 ‎11．若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知定义在上的偶函数在上单调递减，若不等式对任意恒成立，则的取值范围（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题（本题共4小题，每题5分，总计20分，把答案写在答题卡指定位置处）‎ ‎13．已知为实数，若复数为纯虚数，则_________．‎ ‎14．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围_____.‎ ‎15．已知函数，若“对任意，存在，使”是真命题，则实数m的取值范围是          ．‎ ‎16．过椭圆：（为参数）的右焦点作直线：交于，两点，，，则的值为______．‎ 三、解答题（本题共6小题，总计80分，把答案写在答题卡指定位置处）‎ ‎17. （10分） (1) 已知a，，求证：．‎ 18. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），将曲线按伸缩变换公式，变换得到曲线.‎ ‎（1）求的普通方程；‎ ‎（2）直线过点，倾斜角为，若直线与曲线交于，两点，为的中点，求的面积．‎ ‎19.（12分）（1）解不等式；‎ ‎（2）若，，求证：.‎ ‎20．（12分）在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M的参数方程为 (为参数)，过原点O且倾斜角为的直线交M于A、B两点．‎ ‎(1)求和M的极坐标方程；‎ ‎(2)当时，求的取值范围．‎ ‎21.（12分）已知曲线，直线：（为参数）.‎ ‎（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．‎ ‎22. （12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ‎（1）求曲线的直角坐标方程：‎ ‎（2）设曲线与直线交于点两点，求的取值范围.‎ 答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A B A C A D C B B D 一、 填空题 13. ‎ 14. ‎ ‎15. 16. ‎ 二、 解答题 ‎17.(1) 已知a，，证明：．‎ 证明： ，， ，， ， 则有 …………5分 ‎ 证明：已知a，b，c为正数，且，． 由，，，左右相加得：， 故，即； ………… 10分 ‎ 18. ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】（1）依题意，的参数方程为（为参数），‎ 所以的普通方程为. …………4分 ‎（2）因为直线过点，倾斜角为，‎ 所以的参数方程为（为参数）， ………… 6分 ‎ 设、对应的参数分别为，，则对应的参数为， ………… 8分 ‎ 联立，化简得，‎ 所以，即， …………10分 所以. …………12分 ‎19.【答案】（1）或；（2）见解析.‎ ‎（1）当时，原不等式可转化为解得；‎ 当时，原不等式可转化为，不等式不成立；‎ 当时，原不等式可转化为，解得；‎ 所以原不等式的解集为或； …………6分 ‎（2）证明：由题意，‎ 因为，，所以，，‎ 所以，所以即，‎ 所以. …………12分 ‎ ‎20.【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意可得，直线的极坐标方程为. …………2分 曲线的普通方程为， …………4分 因为，，，所以极坐标方程为. …………6分 ‎（Ⅱ）设，，且，均为正数，‎ 将代入，‎ 得，‎ 当时，，‎ 所以， …………8分 根据极坐标的几何意义，，分别是点，的极径.‎ 从而： . …………10分 当时，，‎ 故的取值范围是. …………12分 ‎21.【答案】（I）；（II）最大值为，最小值为.‎ ‎【解析】（I）曲线C的参数方程为（为参数）． ………… 3分 直线的普通方程为． ………… 6分 ‎ ‎（II）曲线C上任意一点到的距离为．则 ‎．其中为锐角，且． …………8分 当时，取到最大值，最大值为． …………10分 当时，取到最小值，最小值为． …………12分 ‎22.【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由，可得，‎ 即曲线的直角坐标方程为：. …………4分 ‎ ‎（2）将直线的参数方程，代入，可得：‎ ‎，.‎ 设对应的参数分别为，‎ 则， …………6分 ‎， …………8分 令，‎ 则， …………10分 当时，取最大值；当时，取最小值. …………12分