2020届二轮复习离散型随机变量及其分布列、均值与方差教案（全国通用）

2020届二轮复习离散型随机变量及其分布列、均值与方差教案（全国通用）

‎2020届二轮复习 离散型随机变量及其分布列、均值与方差 教案（全国通用）‎ 类型一、离散型随机变量的概念 ‎【例1】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果。‎ ‎（1）一个口袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为。‎ ‎（2）投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数的最大值为Y。‎ ‎【思路点拨】（1）3个球中，可能有1个白球，也可能有两个，还可能没有。（2）投掷结果为，其中且。利用投掷结果确定X，Y。‎ ‎【解析】（1）可取0，1，2。‎ ‎=0表示所取3个球中没有白球；‎ ‎=1表示所取3个球中有一个白球，2个黑球；‎ ‎=2表示所取3个球鞋中有2个白球，1个黑球。‎ ‎（1）X的可能取值2，3，4，5，……，12。Y的可能取值为1，2，3，……，6。若以表示先后投掷的两枚骰子出现的点数。则X=2表示（1，1），X=3表示（1，2），（2，1），X=4表示（1，3），（2，2），（3，1），……，X=12表示（6，6）；‎ Y=1表示（1，1），Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2），Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2），……，Y=6表示（1，6），（2，6），（3，6），……，（6，6），（6，5），……，（6，1）。‎ ‎【总结升华】随机变量并不一定要取整数值，它的取值一般来源于实际问题，且有特定的含义，因此，可以是R中的任意值．但这并不意味着可以取任何值，它只能取分布列中的值。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果 ‎（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；‎ ‎ （2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η ‎【解析】（1）ξ可取3，4，5‎ ‎ ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；‎ ‎ ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；‎ ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5‎ ‎ （2）η可取0，1，…,n，…‎ ‎ η=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,…‎ ‎【变式2】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：‎ ‎（1）袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为ξ；‎ ‎（2）抛掷两个骰子，所得点数之和为ξ，所得点数之和是偶数为η。‎ ‎【答案】‎ ‎（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4。‎ ξ=k表示取出的4个球中，有k个红球，4－k个白球（k=0，1，2，3，4）。‎ ‎（2）ξ的所有可能取值为2，3，4，…，12。‎ 若以（i，j）表示抛掷甲、乙两个骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，‎ 则ξ=2表示（1，1）；‎ ξ=3，表示（2，1），（1，2）；‎ ξ=4，表示（1，3），（2，2），（3，1）；‎ ‎…‎ ξ=12，表示（6，6）。‎ η的可能取值为2，4，6，…，12。‎ 类型二、离散型随机变量分布列的性质 ‎【例2】设离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0．2‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．3‎ m 求：（1）2X+1的分布列；‎ ‎（2）|X-1|的分布列。‎ ‎【思路点拨】先由分布列的性质，求出m，由函数对应关系求出2X+1和|X-1|的值及概率。‎ ‎【解析】由分布列的性质知：‎ ‎0．2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3.‎ 首先列表为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2X+1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎|X-1|‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 从而由上表得两个分布列为:‎ ‎（1）2X+1的分布列：‎ ‎2X+1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ P ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎（2）|X-1|的分布列：‎ ‎|X-1|‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎【总结升华】利用分布列的性质，可以求分布列中的参数值。对于随机变量的函数（仍是随机变量）的分布列，可以按分布的定义来求。‎ ‎【例3】若离散型随机变量ξ的概率分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ p ‎9c‎2-c ‎3‎‎-8c 试求出常数c与ξ的分布列。‎ ‎【思路点拨】利用离散型随机变量分布列的性质解决。‎ ‎【解析】由离散型随机变量分布列的基本性质知：‎ 解得常数，从而ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ p ‎【总结升华】解题关键是理解随机变量分布列的两个基本性质，在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：‎ ξ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.02‎ ‎0.04‎ ‎0.06‎ ‎0.09‎ ‎0.28‎ ‎0.29‎ ‎0.22‎ 求此射手“射击一次命中环数≥‎7”‎的概率．‎ ‎【答案】根据射手射击所得的环数ξ的分布列，有 ‎ P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22.‎ 所求的概率为 P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88．‎ ‎【变式2】随机变量的分布列如下：‎ 其中成等差数列，若，则的值是 ．‎ ‎【答案】；‎ 由题意知：，解得，‎ 所以。‎ 类型三、离散型随机变量的分布列 ‎【例4】掷两颗骰子，设掷得点数和为随机变量ξ：‎ ‎（1）求ξ的分布列；‎ ‎（2）求P（3＜ξ＜7）。‎ ‎【思路点拨】要根据随机变量的定义考虑所有情况．‎ ‎【解析】（1）用数轴表示出掷骰子的所有结果如图所示 ‎∴ξ的取值为2，3，4，…，10，11，12。‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎。‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ P ‎（2）。‎ ‎【总结升华】确定随机变量的可能取值和每一个可能取值的概率是求概率分布列的关键，本题求概率采用的是古典概型中的列举法 举一反三：‎ ‎【变式】一袋装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3球鞋，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列。‎ ‎【解析】随机变量X的取值为3，4，5，6，从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为，事件“X=3”包含的基本事件总数为，事件“X=4”包含的基本事件总数为；事件“X=5”包含的基本事件总数为；事件“X=6”包含的基本事件总数为；从而有 ‎∴随机变量X的分布列为：‎ X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎【例5】在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：‎ ‎（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列；‎ ‎（2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列.‎ ‎【思路点拨】（1）由题意知随机变量ξ可以取0，1，2，当ξ=0时表示没有抽到次品，当ξ=1时表示抽到次品数是一个，ξ=2时表示抽到次品数是两个根据古典概型公式得到概率，写出分布列 ‎（2）由题意知放回抽样时，每一次抽样可以作为一次实验，抽到次品的概率是相同的，且每次试验之间是相互独立的，得到η～B（3，0.8，再根据二项分布得到结果。‎ ‎【解析】η也可以取0，1，2，3，放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析.‎ ‎（1）随机变量ξ取值为0，1，2‎ P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎（2）随机变量η取值为0，1，2，3‎ P(η=k)=C·0.83－k·0.2k（k=0，1，2，3），‎ 所以η的分布列如下，‎ η ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P C0.83‎ C0.82·0.2‎ C0.8·0.22‎ C0.23‎ ‎【总结升华】有放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析。有放回抽样时，抽到的次品数为独立重复试验事件，即η～B（3，0.8）。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】高清视频离散型随机变量及其分布列、均值与方差例5、有10件产品,其中3件是次品.从中任取2件,若抽到的次品数为,求的分布列,期望和方差.‎ ‎【解析】由题意，知ξ取值为0，1，2。‎ ξ每个值对应的概率为：‎ ‎ P（ξ=0）=,P（ξ=1）=,P（ξ=2）=‎ 所以Eξ=,‎ Dξ=‎ ‎【例6】某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.‎ ‎(Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；‎ ‎(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列；‎ ‎(Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.‎ ‎【思路点拨】(Ⅰ)要考虑两种情况：一选取1件产品是一等品，二选取1件产品是二等品。‎ ‎(Ⅱ) 由题设知X的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出EX．‎ ‎(Ⅲ) 设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B，事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”，由此能求出随机选取3件产品，这三件产品都不能通过检测的概率。‎ ‎【解析】(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为，事件等于事件 “‎ 选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ) 由题可知可能取值为0,1,2,3. ‎ ‎,,‎ ‎,. ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为 ‎ 事件等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”‎ 所以，. ‎ ‎【总结升华】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．‎ ‎（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；‎ ‎（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．‎ ‎【解析】（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，‎ ‎ 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．‎ ‎ 则互斥，且，‎ 故 ‎ 于是．解得；‎ ‎（2）的可能取值为．‎ 若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，‎ 故，，．‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 类型四、离散型随机变量的期望和方差 ‎【例7】现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0Dη，可见乙的技术比较稳定。‎ ‎【例11】某公司要将一批海鲜用汽车运往地，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入30万元，每提前一天送到，可多获得1万元,每迟到一天送到，将少获得1万元.为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路1或公路2中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示．‎ ‎ 统计信息 汽车行驶路线 不堵车的情况下到达 城市乙所需时间(天)‎ 堵车的情况下到达 城市乙所需时间(天)‎ 堵车的 概率 运费 ‎(万元)‎ 公路1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1.6‎ 公路2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎0.8‎ ‎(Ⅰ)记汽车走公路1时公司获得的毛利润为ξ(万元)，求ξ的分布列和数学期望Eξ；‎ ‎(Ⅱ)假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？‎ ‎(注：毛利润＝销售收入－运费).‎ ‎【思路点拨】（Ⅰ）因为在不堵车的时候毛利润为销售收入减去运费，堵车的情况会推迟一天到达，故毛利润为销售收入减去运费再减去少获得得1万元．两种利润是由堵车是否决定的，故概率为是否堵车的概率．根据分析即可求得分布列，然后根据期望公式求得即可．‎ ‎（Ⅱ）可以同（Ⅰ）中的解法一样先求出走公路2时获得的毛利润为η的期望值，然后比较两个期望值得大小，选择较大的一个即是可能获得的利润最多的情况．‎ ‎【解析】（Ⅰ）汽车走公路1时，不堵车时果园获得的毛利润ξ＝30－1.6＝28.4万元 ‎ 堵车时蔬菜基地获得的毛利润ξ＝30－1.6－1＝27.4万元 ‎ ‎∴汽车走公路1是获得的毛利润ξ的分布列为 ‎ ξ ‎28.4‎ ‎27.4‎ P ‎∴Eξ＝28.4×＋27.4×＝28.3万元. ‎ ‎（Ⅱ）设汽车走公路2时获得的毛利润为η 不堵车时获得的毛利润η＝30－0.8＋1＝30.2万元， ‎ 堵车时获得的毛利润η＝30－0.8－2＝27.2万元， ‎ ‎∴汽车走公路2时获得的毛利润ξ的分布列为 η ‎30.2‎ ‎27.2‎ P ‎∴Eη＝20.2×＋17.2×＝28.7万元 ‎∵Eξ＜Eη. ‎ ‎ ∴选择公路2可能获利更多。‎ ‎【总结升华】1、此题主要考查离散型随机变量的分布和期望在实际中的应用问题，在此类选择可能获得利润最大的问题中，一般都是通过求它们的利润的期望值做比较即可，对学生实际应用能力要求比较高。‎ ‎2、DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度，DX越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近，统计中常用来描述X的分散程度。‎ ‎3、随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于期望的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较期望，若期望相同，再用方差来决定。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与的分布列为：‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p a ‎0.1‎ ‎0.6‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p ‎0.3‎ b ‎0.3‎ ‎(1)求a、b的值；‎ ‎(2)甲、乙两名射手在一次射击中的得分均小于3的概率谁更大？‎ ‎(3)计算的期望与方差，并以此分析甲乙的技术状况。‎ ‎【解析】‎ ‎(1)∵a+0.1＋0.6=1，∴a=0.3，同理b=0.4‎ ‎(2)‎ ‎∴‎ ‎(3)期望 方差 同理 由计算结果，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，‎ 但说明甲得分的稳定性比乙差，因而，甲乙两人的技术都不够全面。‎