2018届二轮复习第二讲数形结合思想课件（全国通用）

2018届二轮复习第二讲数形结合思想课件（全国通用）

第二讲 　 数形结合思想 【 思想解读 】 数形结合思想就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想 . 其应用包括以下两个方面 : (1)“ 以形助数” , 把某些抽象的数学问题直观化、生动化 , 能够变抽象思维为形象思维 . (2)“ 以数定形” , 把直观图形数量化 , 使形更加精确 . 热点 1 　利用数形结合思想研究零点、方程的根 【 典例 1】 (2016· 大连一模 ) 函数 f(x)= -2sinx-|ln(x+1)| 的零点个数为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 【 解析 】 选 B. 因为 f(x)= -2sinx-|ln(x+1)| =2(1+cosx) · sinx-2sinx-|ln(x+1)| =sin2x-|ln(x+1)| ， 所以函数 f(x) 的零点个数为函数 y=sin2x 与 y=|ln(x+1)| 图象的交点的个数 . 函数 y=sin2x 与 y=|ln(x+1)| 的图象如图所示， 由图知，两函数图象有 2 个交点， 所以函数 f(x) 有 2 个零点 . 【 规律方法 】 利用数形结合探究方程解的问题的关注点 (1) 讨论方程的解 ( 或函数的零点 ) 一般可构造两个函数 , 使问题转化为讨论两曲线的交点问题 , 但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性 , 否则会得到错解 . (2) 正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键 , 数形结合应以快和准为原则 , 不要刻意去用数形结合 . 【 变式训练 】 (2016· 洛阳一模 ) 已知函数 f(x) 满足 f(x)=2f , 当 x∈[1,3] 时 ,f(x)=lnx, 若在区间 内 , 函数 g(x)=f(x)-ax 与 x 轴有三个不同的交点 , 则实数 a 的取值范围为 ________. 【 解析 】 由题意知 ,f(x)= 因为在区间 内 , 函数 g(x)=f(x)-ax 与 x 轴有三个不 同的交点 , 所以函数 f(x)= 与 y=ax 在区间 内有 三个不同的交点 , 作函数 f(x)= 与 y=ax 在区间 内的 图象如图 , 结合图象可知 , 当直线 y=ax 与 f(x)=lnx 相切时 , 解得 ,x=e; 此时 a= 当直线 y=ax 过点 (3,ln3) 时 , 答案 : 热点 2 　利用数形结合思想解决最值问题 【 典例 2】 (2016· 重庆一模 ) 过点 ( ,0) 引直线 l 与 曲线 y= 相交于 A,B 两点 ,O 为坐标原点 , 当△ AOB 的 面积取最大值时 , 直线 l 的斜率等于　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 由于 y= , 即 x 2 +y 2 =1(y≥0), 直线 l 与 x 2 +y 2 =1(y≥0) 交于 A,B 两点 , 如图所示 S △AOB = · sin∠AOB≤ , 且当∠ AOB=90° 时 ,S △AOB 取得 最大值 , 此时 AB= , 点 O 到直线 l 的距离为 , 则 ∠ OCB=30°, 所以直线 l 的倾斜角为 150°, 则斜率 为 - . 【 规律方法 】 利用数形结合思想解决最值问题的一般思路 (1) 对于几何图形中的动态问题 , 应分析各个变量的变化过程 , 找出其中的相互关系求解 . (2) 对于求最大值、最小值问题 , 先分析所涉及知识 , 然后画出相应的图象数形结合求解 . 【 变式训练 】 1. 记实数 x 1 ,x 2 , … ,x n 中最小数为 min{x 1 ,x 2 , … ,x n }, 则定义在区间 [0,+∞) 上的函数 f(x)=min{x 2 +1,x+3,13-x} 的最大值为　 ( 　　 ) A.5 B.6 C.8 D.10 【 解析 】 选 C. 在同一坐标系中作出三个函数 y=x 2 +1, y=x+3,y=13-x 的图象如图 : 由图可知 ,min{x 2 +1,x+3,13-x} 为 y=x+3 上 A 点下方的射 线 , 抛物线 AB 之间的部分 , 线段 BC, 与直线 y=13-x 点 C 下 方的部分的组合体 , 显然 , 在 C 点时 ,y=min{x 2 +1,x+3, 13-x} 取得最大值 . 解方程组 得 :C(5,8). 所以 max{min{x 2 +1,x+3,13-x}}=8. 2. 若实数 x,y 满足等式 x 2 +y 2 =1, 那么 的最大值为 　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 设 k= , 如图所示 , k PB =tan∠OPB= k PA =-tan∠OPA=- , 且 k PA ≤k≤k PB , 所以 k max = . 热点 3 　利用数形结合思想解决不等式、参数问题 【 典例 3】 实系数一元二次方程 x 2 +ax+2b=0 的一个根在 (0,1) 上 , 另一个根在 (1,2) 上 , 则 的取值范围是 　 ( 　　 ) A.[1,4] B.(1,4) 【 解析 】 选 D. 设 f(x)=x 2 +ax+2b, 因为方程 x 2 +ax+2b=0 的一个根在区间 (0,1) 内 , 另一个根在区间 (1,2) 内 , 所以可得 作出满足上述不等式组对应的点 (a,b) 所在的平面区域 , 得到△ ABC 及其内部 , 即如图所示的阴影部分 ( 不含边界 ). 其中 A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0), 设点 E(a,b) 为区域内的任意一点 , 则 k= , 表示点 E(a,b) 与点 D(1,2) 连线的斜率 . 因为 结合图形可知 :k AD 1, 在同一坐标系内作出 y=(x-1) 2 ,x∈(1,2) 及 y=log a x 的图象 , 若 y=log a x 过点 (2,1), 得 log a 2=1, 所以 a=2. 根据题意 , 函数 y=log a x,x∈(1,2) 的图象恒在 y=(x-1) 2 , x∈(1,2) 的上方 , 所以 1

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