宁夏银川唐徕回民中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

宁夏银川唐徕回民中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

银川唐徕回民中学2019－2020学年第一学期期中考试高二 数学试卷（理）‎ 一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.设,命题“若且,则”的逆否命题是( )‎ A. 若且,则 B. 若或,则 C. 若,则且 D. 若,则或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用逆否命题的定义解答得解.‎ ‎【详解】命题“若且,则”的逆否命题是“若,则或”，故答案为D ‎【点睛】本题主要考查逆否命题的定义和逻辑联结词的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎2.已知数列的前项和为，当时，（　　）‎ A. 11 B. ‎20 ‎C. 33 D. 35‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列的性质可得，计算可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，.‎ 故答案为B.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的前n项和的性质，属于基础题.‎ ‎3.若锐角的面积为，且，，则（ ）‎ A. 6 B. ‎7 ‎C. 8 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形面积公式及条件可求得,进而求得.再由余弦定理即可求得的值.‎ ‎【详解】的面积为,,‎ 由面积公式 代入可得,解得 为锐角三角形,所以 在中,由余下定理可知 代入可得,即 所以 故选:B ‎【点睛】本题考查了三角形面积公式,余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.‎ ‎4.等比数列的前项和为，且， ， 成等差数列，若，则（ ）‎ A. 7 B. ‎8 ‎C. 15 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n项和公式．‎ 考点：1．等比数列通项公式及前n项和公式；2．等差中项．‎ ‎5.在中，角的对边分别是，若，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用同角的平方关系可得，，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得，运用正弦定理可得，代入计算即可得到所求值．‎ ‎【详解】解：由，，可得 ‎，‎ ‎，‎ 由正弦定理可得：．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理的应用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力．‎ ‎6.设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于（　　）‎ A. 5 B. ‎4 ‎C. 3 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 依题意可设丨PF2丨＝x，则丨PF1丨＝2x，利用椭圆的定义与其标准方程可求得x的值，从而可知丨PF1丨与丨PF2丨，并能判断△PF‎1F2的形状，从而可求得△PF‎1F2的面积．‎ ‎【详解】设丨PF2丨＝x，则丨PF1丨＝2x，依题意，丨PF1丨+丨PF2丨＝x+2x＝3x＝‎2a＝6，‎ ‎∴x＝2，2x＝4，‎ 即丨PF2丨＝2，丨PF1丨＝4，又|F‎1F2丨＝22，‎ ‎∴，‎ ‎∴△PF‎1F2为直角三角形，‎ ‎∴△PF‎1F2的面积为S丨PF1丨丨PF2丨2×4＝4．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆的定义与其标准方程，判断△PF‎1F2为直角三角形是关键，属于中档题．‎ ‎7.若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移，可得最优解，然后求解即可．‎ ‎【详解】解：作出，满足约束条件表示的平面区域围成，如下图：‎ 其中，，为坐标原点 设，将直线进行平移，‎ 当经过点时，目标函数达到最大值，‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查通过几何法求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．‎ ‎8.已知命题；命题，则下列判断正确的是（ ）‎ A. 是假命题 B. 是假命题 C. 是真命题 D. 是真命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断命题：“，”是假命题，命题：“，”真命题，再根据复合命题真值表能够得到正确的选项．‎ ‎【详解】，‎ 命题：“，”是假命题，‎ 时，，‎ 命题：“，”真命题，错误；‎ 由复合命题真值表得：是真命题，错误；‎ 是假命题，错误；‎ 是真命题，正确．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查了三角函数的值域，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎9.已知是椭圆（）的左焦点，为右顶点，是椭圆上一点，轴，若，则该椭圆的离心率是. （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题设可知，又，所以由题设可得，应选答案B．‎ ‎10.已知数列的前项和为，当时，，则的值为（ ）‎ A. 1010 B. ‎1011 ‎C. 2019 D. 2020‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用数列的递推公式得出，结合题意即可求出结果．‎ ‎【详解】解：根据题意，时，‎ ‎①‎ 又时，②‎ 由①②知，‎ ‎，即，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，同时考查分析能力和计算能力．‎ ‎11.若，则取最大值时的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于，则，而，利用基本不等式的性质即可进行求解．‎ ‎【详解】解：‎ ‎，，‎ 由基本不等式得，‎ 当且仅当，即，时取等号，‎ 取最大值时的值是．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的三个条件，以及公式的应用．‎ ‎12.已知则的最小值是 (　 　)‎ A. B. ‎4 ‎C. D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合均值不等式结论即可求得的最小值，注意等号成立的条件.‎ ‎【详解】由题意可得：‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立.‎ 即的最小值是.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知 ,则“成立”是“成立”的_________条件．（请在“充分不必要.必要不充分.充分必要”中选择一个合适的填空）．‎ ‎【答案】必要不充分 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求解绝对值不等式与分式不等式，再由充分必要条件的判定方法得答案．‎ ‎【详解】由|x﹣1|＜2，得﹣2＜x﹣1＜2，‎ ‎∴﹣1＜x＜3，‎ 由，得0＜x＜3．‎ ‎∴由|x﹣1|＜2，可得，反之，由，不能得到|x﹣1|＜2．‎ ‎∴“|x﹣1|＜2成立”是“成立”的必要不充分条件．‎ 故答案为必要不充分．‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判定方法，考查绝对值不等式与分式不等式的解法，是基础题．‎ ‎14.已知椭圆的对称轴为坐标轴，两个焦点坐标分别为，且过点，则椭圆的标准方程为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可设椭圆方程为，且，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得，结合隐含条件求得，则可求出椭圆方程．‎ ‎【详解】解：由题意可设椭圆方程为，且，‎ 由椭圆的定义，椭圆上一点到两焦点距离之和等于．‎ ‎，‎ 得，则，‎ 则椭圆方程为：．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了利用椭圆定义求椭圆的标准方程，属于基础题．‎ ‎15.在中，角的对边分别是，已知的面积为，则的值为____________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知，运用同角的平方关系可得，再根据三角形面积求得，运用余弦定理代入计算即可得出的值．‎ ‎【详解】解：因为，，，‎ 则，‎ 由于的面积为，即，‎ 整理得：，得，‎ 由余弦定理得：,‎ 即：，‎ 有，‎ 解得：.‎ 故答案为：8.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理和同角的平方关系的运用，以及三角形的面积公式，同时考查化简和计算能力．‎ ‎16.数列满足，设，则数列的前项和的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定义法证明出为等比数列，得出，从而可求出的通项公式，再利用裂项相消法求出的前项和，即可得出的取值范围.‎ ‎【详解】因为，则，‎ 得出数列是首项，公比的等比数列，‎ 所以，则，‎ 由于，‎ 即：，‎ 因为，‎ 即：‎ 整理得：，‎ 所以的取值范围是：.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式和利用裂项相消法对数列求和，还考查定义法证明等比数列和对数的运算，同时考查计算能力.‎ 三.解答题（共70分）‎ ‎17.设：对任意的都有，：存在，使，如果命题为真，命题为假，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先根据恒成立得 最小值，得p，再根据方程有解得q，根据命题为真，命题为假，得一真一假，最后分类求实数的取值范围.‎ 试题解析：由题意：对于命题，∵对任意的，∴，即；对于命题，∵存在，使，‎ ‎∴,即或. ∵为真，为假，‎ ‎∴一真一假，①真假时，, ②假真时，.‎ 综上，‎ ‎18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.‎ ‎（1）求角C；（2）若，，求的周长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成 ‎，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.‎ 试题解析：（1）由已知可得 ‎（2）‎ 又 ‎，‎ 的周长为 考点：正余弦定理解三角形.‎ ‎19.（原创）在等差数列中，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，数列是公比为2的等比数列，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）等差数列中根据题意求出公差后可得通项公式．（2）根据题意求得数列的通项公式，然后根据通项公式的特点选用分组求和的方法可得．‎ 详解：（1）设等差数列的公差为，‎ ‎∵‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由题意知，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ 点睛：分组转化法求和的常见类型 ‎(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．‎ ‎(2)通项公式为的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．‎ ‎20.如图，在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且，.‎ 求证：（1）直线DE平面A‎1C1F；‎ ‎（2）平面B1DE⊥平面A‎1C1F.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理.‎ 试题解析：证明：（1）在直三棱柱中，‎ 在三角形ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，‎ 所以，于是，‎ 又因为DE平面平面，‎ 所以直线DE//平面.‎ ‎（2）在直三棱柱中，‎ 因为平面，所以，‎ 又因为，‎ 所以平面.‎ 因平面，所以.‎ 又因为，‎ 所以.‎ 因为直线，所以 ‎【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系 ‎【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.‎ ‎21.已知数列的前项和为，且满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用化简，得出为等比数列，根据等比数列通项公式和前 项和公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】解：因为，‎ 所以，‎ 两式相减得：，‎ 整理得：，‎ 又因为，即，‎ 所以数列是首项，公比为的等比数列，‎ ‎（1）所以数列的通项公式为：，‎ ‎（2）所以数列的前项和为：‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式，以及与的关系和定义法证明等比数列，属于基础题.‎ ‎22.设椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线交椭圆于不同的两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若原点到直线的距离为，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的性质及离心率公式，即可求得和的值，即可求得椭圆的方程；‎ ‎（2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得三角形的面积，根据点到直线的距离公式及基本不等式的性质即可求得面积的最大值．‎ ‎【详解】解：（1）由短轴一个端点到右焦点的距离为，即，‎ 椭圆的离心率，则，‎ 由，‎ 椭圆的方程为；‎ ‎（2）设，，，．由，‎ 整理得：，‎ 由△，则．‎ ‎，，‎ ‎，‎ 由坐标原点到直线的距离为，则，即，‎ ‎，‎ 由，，‎ 当且仅当，即时，面积的最大值．‎ 面积的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式的综合应用，考查转化思想，属于中档题．‎