福建省永泰县第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试 数学

福建省永泰县第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试 数学

‎2019-2020学年第一学期永泰一中期中考 高中 二 年 数学 科试卷 ‎_‎ ‎ 完卷时间：120 分钟 满分：150 分 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）‎ ‎1. 已知命题，使得，则为（ ） ‎ A. ，总有 B. ，总有 C. ,使得 D.，使得 ‎ ‎2.已知中心在原点的等轴双曲线，右顶点为，则双曲线的焦距等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．不等式的一个必要不充分条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．下列命题中正确的是(　　)‎ A.命题“若，则”的否命题为“若，则”； ‎ B.命题“若平面向量共线，则方向相同”的逆否命题为假命题；‎ C.命题“若或，则”是真命题；‎ D.命题“若，则中至少有一个大等于”的逆命题是真命题.‎ ‎5．已知椭圆的中心在原点，长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是(　　)‎ A． B．或 C． D．或 ‎6.如图所示，在平行六面体中，， ‎ ‎，，是的中点，点是上的点， ‎ 且 .用表示向量的结果是（ ）‎ 第6题图 A． B. ‎ C. D. ‎ 高二数学试卷 第 1 页 共4页 高二数学试卷 第 2 页 共4页 ‎7．空间四边形中若则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知点为抛物线上的动点，点在轴上的射影为点，点的坐标为， 则的最小值是(　　 ) ‎ A． B． C． D． ‎ ‎9. 如图所示,在正方体中, 分别侧棱 的中点,为线段上一动点,记为异面直线与所成的角,则的集合是（ ）‎ A． B．‎ 第9题图 C． D．‎ ‎10. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，点 ‎ 是两曲线的一个交点，且垂直轴，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知椭圆与双曲线有公共焦点且两条曲线在第一象限的交点为点，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段 中点为，且,则椭圆离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．）‎ ‎13．命题“”是真命题，则实数的取值范围为_____________. ‎ ‎14．双曲线的一条弦恰被点平分，则这条弦所在的直线方程是 ‎_____________. ‎ ‎15. 已知是过抛物线的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则的值为_____________. ‎ ‎16. 如图所示，在直四棱柱中，底面为 ‎ 菱形，且，为侧棱的中点， ‎ 分别是线段和线段上的动点(含端点)，且满足， ‎ 当运动时，下列结论中正确的序号是_____________.‎ ①在△内总存在与平面平行的线段；‎ 第16题图 ②平面⊥平面；‎ ③三棱锥的体积为定值；‎ ④△可能为直角三角形.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 若命题实数满足，命题实数满足.‎ ‎（Ⅰ）当且为真命题时，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）已知中心在原点的双曲线的焦点坐标为，且渐近线方程为，‎ 求双曲线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）在圆上任取一点,过点作轴的垂线段，为垂足，当点 在该圆 上运动时，求线段的中点的轨迹方程.‎ 高二数学试卷 第 3 页 共4页 高二数学试卷 第 4 页 共4页 ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图所示,已知正方形和矩形所在的平面互相 ‎ 垂直，,，是线段的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小.‎ 第19题图 ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的方程为，上一点到焦点的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程及点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点，设 , ,求证: 是定值.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图所示，等腰梯形中, ，，， 为中点， ‎ ‎ 与交于点，将沿折起，使点到达点的位置（平面）．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）若，试判断线段上是否存在一点 (不含端点),使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值;若不存在，说明理由．‎ 第21题图 ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆 的离心率为，椭圆截直线所得线段的长度为.过椭圆上的动点作圆的两条切线分别交轴于两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求线段长度的最大值，并求此时点的坐标．‎ 参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A B D D B B A C C A 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13、 14、 15、 16、①②③‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）‎ ‎17. （本题满分10分=5分+5分）‎ 解：（Ⅰ）由，得 …………………………………………1分 当时，由 ， 得 ‎ ‎∴ …………………………………………………………2分 为真命题，真且真 ‎ ‎ ………………………………………………4分 ‎∴实数的取值范围为 ……………………………………………5分 ‎（Ⅱ）因为，由 得…7分 设 是的必要不充分条件， ………………………………8分 ‎ …………………………………………………………9分 又 ∴ …………………………………………………10分 ‎∴实数的取值范围为 .‎ ‎18. （本小题满分12分=6分+6分）‎ 解：（Ⅰ）依题可知双曲线的焦点在轴上，‎ 则设其方程为：，且 ①……………………2分 双曲线的渐近线方程为即②…………………………………3分 又③，由①②③……………………………………5分 得双曲线方程为：…………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）设轨迹上任一点的坐标为，点的坐标为，‎ 则依题意可知点坐标为……………………………………………………8分 的中点为， ……………………………………10分 点 在圆上运动，，………………11分 经检验所求方程符合题意,‎ 点的轨迹方程为．（轨迹方程是不扣分）………12分 ‎19．(本小题满分12分=4分+8分)‎ ‎（Ⅰ）证法一：设，连接，∵分别是的中点，‎ ‎ 是矩形∴四边形是平行四边形.………………2分 ‎∴, 又, ,.……………4分 证法二：∵正方形和矩形所在的平面互相垂直，且,,∴，∴两两垂直 建立如图所示的空间直角坐标系…………………1分 设，连接，依题意得, , , , , ,点分别是线段的中点， ………………………………………………………2分 ‎ .‎ ‎，且直线与不共线．………………………………………………3分 ‎,又，,.…………………4分 ‎（Ⅱ）解：∵正方形和矩形所在的平面互相垂直, 且 ,,∴，∴两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系…………………6分 设，连接，依题意得, , , ,, ,‎ ‎∴ …………7分 设为平面的一个法向量 ,‎ 则,得 令得 即 …………………………………………8分 另,,,又且,‎ ‎,是平面的一个法向量（求出平面的法向量亦可）…………………………………………………………………………9分 ‎∴=== ……………………………………11分 设二面角的大小为(由图可知为锐角)，‎ 故所求二面角的大小为 ………………………………………………12分 ‎20．（本小题满分12分=5分+7分）‎ 解：（Ⅰ）依题意得抛物线的准线为，…………………………………………1分 抛物线上一点到焦点的距离为，由抛物线的定义可得， ，……………………………………………………………………………………2分 抛物线的方程为，………………………………………………………………3分 抛物线的方程，……5分（只有一个扣1分）‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时不符合题意，故直线的斜率必存在且不为.……6分 直线过点,设直线的方程为，‎ 当时，点坐标为，……………………………………………7分 设 由得，整理得 ‎，…………………………………9分 ‎，‎ ‎,，‎ 即同理可得……………………………………11分 即是定值. ……………………………………………………………………………12分 ‎21．（本小题满分12分=5分+7分）‎ 解：（Ⅰ）证明：连接,在等腰梯形ABCD中，，， ‎ 为中点，四边形为菱形，⊥AE，……………………………2分，即,且平面 平面，∴AE⊥平面POB……………………………………………………4分 又AE⊂平面ABCE， 平面POB⊥平面ABCE．………………………………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知四边形为菱形，在等腰梯形ABCD中正三角形同理 ‎,,∴OP⊥OB，…………………………………………6分 由（Ⅰ）可知，以O为原点，分别为x轴， y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，…………………………………………………………7分 由题意得，各点坐标为，，，，‎ ‎∴，设 ‎ …………………………………8分 设平面的一个法向量为＝(x，y，z)‎ 则，即 ‎ ‎ 取x＝0，y＝1，得，所以＝(0，1，) ……………………………9分 设直线与平面所成角为，‎ 则，即 化简得：，解得 ……………………………………………11分 存在点为的中点时，使直线与平面所成角的正弦值为……12分 ‎22.（本小题满分12分）‎ 解：（I）∵椭圆的离心率为，‎ ‎∴，…………………………………………………………………1分 当时，，∴，……………………3分 ‎∴椭圆的方程是．…………………………………………………4分 ‎（II）解法一：设，‎ 由得，∴．……………5分 直线的方程:，化简得 ．‎ 又圆心到直线的距离为1，∴ ，……………………6分∴，化简得，‎ 同理有． ……………………………………………………7分 　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎∴，，………………………………………………………8分 ‎∴．…………………………………9分 ‎∵是椭圆上的点，∴， ‎ ‎∴，…………………………10分 　　　　　　 ‎ ‎∴在上单调递减，‎ 在内也是单调递减，……………………………………………………11分 ‎∴，当时，取得最大值，‎ 此时点P位置是椭圆的左顶点． …………………………………12分 ‎ 解法二：由得，∴．……5分设过点P的圆的切线方程为，∵圆心到直线的距离为1，‎ ‎∴，化简得，∴．………………………6分设则，…………………………………………7分 ‎∴，，……………………………………………………8分 ‎∴．……………………………9分 ‎∵是椭圆上的点，∴， ‎ ‎∴，………………………10分 　　　　　　 ‎ ‎∴在上单调递减，‎ 在内也是单调递减，…………………………………………………11分 ‎∴，当时，取得最大值，‎ 此时点P位置是椭圆的左顶点． ……………………………………12分 ‎