广西师范大学附属外国语学校2020届高三6月高考冲刺训练考试（1）数学（理）试题

广西师范大学附属外国语学校2020届高三6月高考冲刺训练考试（1）数学（理）试题

广西师范大学附属外国语学校2020届高三六月高考预测与冲刺训练考试 数学（理）试卷（1）‎ 一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1、已知集合，则满足的集合B的个数是 A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎2、当复数为纯虚数时，复数的模为 A. B. C. D.‎ ‎3、在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是 A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.8‎ ‎4、已知命题p:一次函数是增函数；命题q:不等式“”恒成立，若p是q的必要不充分条件，则b的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎5、已知向量，且，则与夹角的余弦值是 A. B. C. D.‎ ‎6、已知为空间中的两条不同的直线，为两不同的平面，则下列说法正确的是 A.若，则存在两个相交的平面使得且 B.若，则存在两个相交的平面使得 C.若为异面直线，则存在两个平行的平面使得且 D.若为异面直线，则存在平面使得且 ‎7、斐波那契数列0，1，1，2，3，5，8，13，…是意大利数学家列昂纳多.斐波那契 发明的.如图是一个与斐波那契数列有关的程序框图.若输出的值为88，则判断 框中应该填入 A． B． ‎ C． D．‎ ‎8、函数)图象可由函数的图象向左平移个单位得到，且函数的图象经过同一周期上的两点，则函数满足:‎ A. B. C. D .‎ ‎9、已知为奇函数，为偶函数，且x，，则不等式的解集为：‎ A. B. C. D.‎ ‎10、的展开式中，项的系数为，则 A.1 B. C.2 D.3‎ ‎11、为双曲线的左右焦点，点P在右支上，以为直径的圆经过点F2，与经过第一象限的渐近线交于点Q，且ΔPF2Q、ΔF1F2Q、ΔPF1F2的面积成等差数列，则双曲线的离心率e=‎ A. B. C.2 D.2或 ‎12、锐角ΔABC中，内角A、B、C对应三边分别为，ΔABC的面积，则 的最小值为 A. B. C. D.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13、设不等式组 的平面区域为D，O为坐标原点，，点，则的 最小值为 .‎ ‎14、在等差数列中，前n项和为，且，则 ‎ ‎15、已知抛物线的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线交于AB两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线切于点，设，则 ‎ ‎16、已知函数，若存在使得，则的取值范围是 . ‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17（12分）、已知数列中，.‎ ‎（Ⅰ）证明数列是等差数列.‎ ‎（Ⅱ）若数列的前n项和为，且，设，证明：.‎ ‎18（12分）、如图，八面体中，，，，，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面.‎ ‎（Ⅱ）如果二面角的大小为，求八面体的体积。‎ ‎19（12分）、已知椭圆左右焦点分别为，直线.‎ ‎（Ⅰ）若椭圆E上存在关于直线对称的两点，求实数b的取值范围。‎ ‎（Ⅱ）设A、B是椭圆E上关于直线对称的两点，直线l与椭圆E相交于P、Q两点，，判断四边形PAQB的形状，说明理由，并求出它的面积。‎ ‎20（12分）．沙漠蝗虫灾害年年有，今年灾害特别大.为防范罕见暴发的蝗群迁飞入境，我国决定建立起多道防线，从源头上控制沙漠蝗群.经研究，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ ‎，，，，‎ ‎，.（其中，）.‎ ‎（1）根据散点图判断，与（其中…自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）‎ ‎（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为.‎ ‎①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率.‎ ‎②当取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为，求的数学期望和方差.‎ 附：线性回归方程系数公式，‎ ‎21（12分）、已知函数 ‎（Ⅰ）若在上有两个极值点分别为，求证.‎ ‎（Ⅱ）设，当时，证明.‎ 以下两题为选做题，满分10分，从中任选一题作答，两题都答只按22题计分 ‎22、曲线C的参数方程为为参数)，直线l:为参数)‎ ‎（Ⅰ）设曲线C与直线l交于A、B两点，求|AB|及AB的中点Q的坐标。‎ ‎（Ⅱ）以坐标原点O为极点，横轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线与曲线C交于点M（不同于极点），与直线l交于点N，若，求的值。‎ ‎23、已知函数的两个不同的异号零点.‎ ‎（Ⅰ）若，证明：.‎ ‎（Ⅱ）求“”成立的充要条件.‎ 广西师范大学附属外国语学校2020届高三六月高考预测与冲刺训练考试 数学（理）试卷（1）参考答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C B B D A C C D D A B C ‎1、由 又全集为，所以, 故选：C ‎2、为纯虚数时，‎ ‎3、从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共种，所以所求的概率为.故选：B ‎4、P为真时，a>0； q为真时，a>b-1；若p是q的必要不充分条件，则b-1>0，故选D ‎5、‎ ‎.‎ ‎，故选A ‎6、对于A，设则由，同理可得，，与已知矛盾，故A不对 对于B，由，，又与相交矛盾，故B错误。‎ 对于C，如图且 故C正确，选C 对于D，当时就不存在 ‎7、运行程序，，，，判断否，，，判断否，，判断否，，判断否，，判断是，输出.故应填 故选：C ‎8、为同一周期的最大值点和最上值点，所以周期 ‎=‎ ‎.‎ 又 ‎。‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎，‎ 都不正确，故选D ‎9、用替换x得，‎ ‎,‎ 两式解得 当时，‎ ‎.‎ ‎,‎ 在区间)上是增函数，由对称性可知在区间)上是减函数 由或，故选D ‎10、项的系数为 又 ‎.‎ 解得或不合条件，舍去)‎ 故a=1，选A ‎11、ΔPF2Q、ΔF1F2Q、ΔPF1F2的面积成等差数列 ‎.‎ ‎.‎ 过Q作QN垂直x轴，N为垂足 在以为直径的圆上，‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎， ‎ 又点Q在渐近线上 ‎.‎ ‎，故选B ‎12、由余弦定理得：‎ 由得：‎ ‎.‎ ΔABC锐角三角形，‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎(当且仅当时取等号)‎ ‎. 故选C 二、填空题 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎13、区域D为ΔABC的平面区域（包括边界），设 则 ‎.‎ 设 则d表示点到定点的距离 由平面图形及几何意义可知，d的最小值为点M到直线的距离：‎ ‎，故填 ‎14、由 ‎.‎ ‎.‎ 令 故填 ‎15、点)在准线上 ‎.‎ 抛物线方程为 设线段AB的中点为C，则由圆C与准线相切于点Q可得C的坐标为2‎ ‎，直线l的方程可设为，代入得：‎ ‎.‎ ‎.‎ 又 ‎.‎ ‎.‎ 设 ‎.‎ ‎. 故填 ‎16、当时，；当时，.‎ 是增函数，‎ 要使存在使得，则、中只有一个比1大，而另一个比1小。‎ 不妨设<1<，则 ‎.‎ 设 则 在区间上是增函数，在区间上是减函数 当时，取极小值，‎ 的取值范围是，故填 三、解答题 ‎17（12分）、（1）‎ ‎.‎ ‎.‎ 数列是等差数列，公差d=-1, 首项为-2‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 当n=1时，‎ 当时，，‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎，数列为等比数列，首项为3，公比为 ‎.‎ ‎.‎ 证毕。‎ ‎18、（Ⅰ）取AD的中点为M，连CM。‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎, ‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎，且，‎ ‎。‎ ‎.‎ 又平面 平面 又平面.‎ 平面平面.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，‎ 以A为原点，AB,AD分别为x轴、y轴，过A且与平面垂直的直线为z，建立空间坐标系如图所示。‎ ‎.‎ 设 则由EA=1, .可得…………………………………………（1）‎ 平面ABCD的法向量为 设平面EBC的法向量为 则.‎ 取 则 二面角的大小为 ‎.…………………………………………（2）‎ 由（1）代入得 解得 当时，，‎ ‎ ‎ 八面体的体积 同理，当时，，八面体的体积 八面体的体积为1或 ‎19、（1）设A,B为椭圆E上存在关于直线对称的两点，则AB的方程为 代入得：‎ 整理得：‎ ‎.‎ ‎.‎ AB的中点， ‎ ‎.‎ b的取值范围是 ‎（2）‎ ‎.‎ 为平行四边形，且直线AB过原点 直线AB、PQ的方程分别为和 ‎ 把代入得：‎ 由此可得 同理，把代入方程可解得 P、Q的坐标分别为,，,，‎ ‎.‎ ‎.‎ 又互相垂直且平分 为菱形 的面积 ‎20、（1）根据散点图可以判断，‎ 更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型，‎ 对两边取自然对数，‎ 得：，‎ 令，，，‎ 则，‎ 因为，‎ ‎，‎ 所以关于的回归方程为，‎ 所以关于的回归方程为；‎ ‎（2）①由，‎ 得：，‎ 又，‎ 令，‎ 解得，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以有唯一的极大值为，也是最大值，‎ 所以当时，‎ ‎；‎ ‎②由①知，当取得最大值时，，‎ 所以，‎ 所以的数学期望为， 方差为.‎ ‎21、（1）‎ 设 则 当时，;‎ 当时，‎ 在区间上是增函数，在区间上是减函数 当时，取极大值当时，取极小值 又 在区间和上各存在一个零点 ‎.‎ 存在两个零点、，且当时，；当时，‎ ‎；当时，；‎ 当时，；当时，；当时，；‎ 在区间和上是增函数，在区间上是减函数。‎ 在区间上的极大值点，是的在区间上的极小值点 又 ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎（2）当时，要证.‎ 只要证 即证 设，‎ 则 在区间上是增函数 当时，‎ 对于，去分母并整理得 ‎.‎ 此方程有解，则有 ‎.‎ ‎.‎ ‎，不等式得证。‎ 解法2：（1）（1）‎ 设 则 当时，;‎ 当时，‎ 在区间上是增函数，在区间上是减函数 当时，取极大值当时，取极小值 又，‎ 在区间和上各存在一个零点，设这两个零点分别为且设 ‎、，则当时，；当时，‎ ‎；当时，；‎ 当时，；当时，；当时，；‎ 在区间和上是增函数，在区间上是减函数。‎ 在区间上的极大值点，是的在区间上的极小值点 又 ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ 原式得证 ‎（2）当时，先证 ‎ 设 则 当时，‎ 是区间上是增函数 当时，‎ ‎，‎ 再证 ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎22、（1）C的普通方程为 把代入得 化简得 ‎.‎ ‎.‎ 又 ‎,‎ Q的坐标为 ‎（2）曲线C的极坐标方程为 直线l的普通方程为，它的极坐标方程为 设 则 ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.或 ‎.或或 ‎.‎ ‎23、（1）由韦达定理得：‎ 要证，只要证 异号 ‎,‎ 只要证:‎ 只要证:|‎ 只要证 只要证:‎ 即证 ‎,‎ ‎,‎ ‎. 原不等式得证 ‎（2）,‎ 若 则有.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ 是成立的一个必要条件 又由（1）可知是成立的一个充分条件 ‎“”成立的充要条件是“，且异号”‎