江苏省苏州市某中学2020届高三第三次模拟考试数学试卷

江苏省苏州市某中学2020届高三第三次模拟考试数学试卷

数学 开始 输出S 结束 i≤8‎ i←3‎ N Y S←S+2i ‎（第5题图）‎ i←i＋2‎ S←4‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知集合，则 ．‎ ‎2．已知复数，其中为虚数单位，则复数的模是 ．‎ ‎3．抛物线的准线方程为 ．‎ ‎4．某市为了响应江苏省“农村人居环境整治的新实践”，调研农村环境整治情况，按地域将下辖的250个行政村分成四组，对应的行政村个数分别为，若用分层抽样抽取50个行政村，则B组中应该抽取的行政村数为 ．‎ ‎5．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为 ．‎ ‎6．中国古典乐器一般按“八音”分类，如图，在《周礼·春官·大师》中按乐器的制造材料对乐器分类，分别为“金、石、木、土、革、丝、匏、竹” 八音，其中“土、匏、竹”为吹奏乐器，“金、石、木、革”为打击乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“一音”，则不是吹奏乐器的概率为 ．‎ ‎7．已知函数若，则实数的值是 ． ‎ ‎（第6题图）‎ ‎8．已知和均为等差数列，若，，则的值是 ．‎ ‎9．已知为函数的两个极值点，则的最小值为 ．‎ ‎10．在长方体中，，若在长方体中挖去一个体积最大的圆柱，则此圆柱与原长方体的体积比为 ．‎ ‎11．在平面直角坐标系中，已知圆，若对于直线 上的任意一点P，在圆C上总存在Q使，则实数的取值范围为 ．‎ ‎（第12题图）‎ ‎12．如图，在平行四边形ABCD中，，E为BC的中点，若线段DE上存在一点M满足 ‎，则的值是 ．‎ ‎13．在中，设角对应的边分别为，记的面积为S，若，则的最大值为 ．‎ ‎14．已知函数，其图象记为曲线，曲线上存在异于原点的点，使得曲线与其在的切线交于另一点，曲线与其在的切线交于另一点，若直线与直线的斜率之积小于，则的取值范围为 ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知平面向量，．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在三棱锥中，平面．已知，分别为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若点在线段AC上，且，‎ 求证：∥平面．‎ ‎（第16题图）‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为 和，离心率为，左准线方程为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设不经过的直线与椭圆相交于两点，直线的斜率分别为，且，求k的取值范围．‎ ‎(第17题图)‎ x y O A B ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，在一个圆心角为，半径为10米的扇形草地上，需铺设一个直角三角形的花地，其中为直角，要求三点分别落在线段和弧上，且，的面积为．‎ ‎（1）当且时，求的值；‎ ‎（2）无论如何铺设，要求始终不小于20平方米，求的取值范围．‎ 第18题图 ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知在每一项均不为0的数列中，，且（为常数，），记数列的前项和为．‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）当时，‎ ‎①求证：数列为等比数列；‎ ‎②是否存在正整数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 定义：函数的导函数为，函数的导函数为，我们称函数称为函数的二阶导函数．已知，．‎ ‎（1）求函数的二阶导函数；‎ ‎（2）已知定义在R上的函数满足：对任意，恒成立．P为曲线上的任意一点．求证：除点P外，曲线上每一点都在点P处切线的上方；‎ ‎（3）试给出一个实数a的值，使得曲线与曲线有且仅有一条公切线，并证明你的结论．‎ ‎21．【选做题】本题包括、、三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）‎ 求曲线在矩阵对应变换作用下得到的曲线的方程．‎ ‎．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 在极坐标系中，已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线的方程为，曲线的方程为．‎ ‎（1）将和的方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若和分别为和上的动点，求的最小值．‎ ‎．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）‎ 已知均为正实数，且有，求证：．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线在点处切线的斜率为，抛物线的准线与对称轴交于T，直线PT与抛物线交于另一点Q．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设M为抛物线C上一点，且M在P与Q之间运动，求面积的最大值．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 集合，‎ 记集合的元素个数为．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证：能被3整除．‎ 参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． ‎ ‎1． 2． 3． 4．15 5．34‎ ‎6． 7．4 8．12 9． 10．‎ ‎11． 12． 13． 14．‎ 解答与提示：‎ ‎1．根据交集定义可知，．‎ ‎2．由可知，．‎ ‎3．．‎ ‎4．由题意，所以．‎ ‎5．执行第一次循环；执行第二次循环；执行第三次循环，终止循环．所以．‎ ‎6．由枚举法知从音中任取不同1音共有8种不同的取法，不含吹奏乐器的有5种，由古典概型得．‎ ‎7．时，因为，所以无解．从而要使，只能，解得．‎ ‎8．因为成等差数列，所以，所以，得．‎ ‎9．，所以，所以的最小值为．‎ ‎10．分别以三种面上最大圆为圆柱的底面的圆柱体积为，所以最大体积为，所以此圆柱与原长方体的体积比为．‎ ‎11．由题意过P总可以作圆C的切线，所以圆C与直线相离，所以，解得．‎ ‎12．因为，‎ 所以所以．‎ ‎13．法一：由角化边得，所以，‎ ‎，‎ 故．‎ 令，则，‎ ‎，所以．‎ 法二：不妨设，则，‎ 以为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则．‎ 设，由可得，‎ 而（是顶点到底边的高），‎ 所以，所以．‎ 法三：在中，过点C作，垂足为H．‎ 由，得．设，则.‎ ‎（当且仅当时取“”）．‎ ‎14．，设，‎ 则，即，‎ 联立得，同理，‎ 则，，‎ 又，所以由，得，‎ 令，则在上有解，由得．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． ‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 解：（1）因为，，且，‎ 所以． 3分 所以，即． 5分 ‎（2）因为，，且，‎ 所以，即． 8分 若，则，不满足上式，舍去． 10分 所以，所以， 12分 所以． 14分 ‎16．（本小题满分14分）‎ 解：（1）因为平面，平面，所以． 2分 因为，是的中点，所以． 4分 又因为，平面，所以平面． 6分 ‎ （2）连结，交于点，连结．如图．‎ 因为分别是的中点，‎ 所以为的中位线， 8分 从而，可得， 10分 因为，所以，所以． 12分 又因为平面，平面，所以∥平面． 14分 ‎17．（本小题满分14分）‎ 解：（1）由可知，又左准线方程为，即，‎ 联立解得，，椭圆方程为． 4分 ‎（2）①由（1）可知，．‎ 设直线，‎ 联立消得， 6分 由韦达定理可知， ‎ 因为点和点不重合，且直线的斜率存在，‎ 所以，得． 8分 因为，，由条件，‎ 可得，即，‎ 化简得． 10分 若，则直线过点，不符合条件，‎ 因此，故，得， 12分 代入可知，得，‎ 所以． 14分 ‎18．（本小题满分16分）‎ 解：（1）以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系．‎ 因为且，所以点在直线上．‎ 又因为点在圆上，所以． 3分 ‎ 此时，‎ 所以当且时，S的值为20平方米． 6分 ‎（2）法一：过作，垂足为，作，垂足为，‎ 所以，并且相似比为，所以， 8分 又因为点在圆上，代入计算得． 10分 设，则，‎ 所以， 12分 当R与M重合时，，此时取得最小值，‎ 所以， 14分 要使S始终不小于20平方米，‎ 则，解得，所以的取值范围为．‎ 答：要使S始终不小于20平方米，的取值范围为． 16分 法二：过作，垂足为，作，垂足为，‎ 所以，并且相似比为，所以， 8分 又因为点在圆上，代入计算得． 10分 设由逆时针转过的角的大小为，‎ 当与重合时设，当与重合时设，‎ 则，此时，所以， 12分 所以， 14分 所以，‎ 解得，所以的取值范围是． ‎ 答：要使S始终不小于20平方米，的取值范围为． 16分 法三：以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系．‎ 设Q点坐标为，‎ ①当QP斜率不存在时，，，，又因为点在圆 上，代入计算得． 8分 ②当QP斜率存在时，设斜率为k，则直线PQ的方程为，‎ 令， ，所以P点坐标为．‎ 直线QR的方程为，‎ 令，，所以R点坐标为．‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 整理得，所以，又因为都为正数，‎ 所以， 10分 点在圆上，代入计算得 ‎ ‎，又，‎ 所以， 12分 ‎，所以，所以．‎ 由①②得， 14分 所以，‎ 解得，所以的取值范围是． ‎ 答：要使S始终不小于20平方米，的取值范围为． 16分 法四：设，，其中，，点到AC边的距离为，到BC边的距离为.‎ 则， 8分 ‎，‎ 所以． 10分 以下同法三．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 解：（1）当时，，因为，所以，‎ 所以数列是以3为首项、为公比的等比数列． 2分 当时，；当时，．‎ 综上所述， 4分 ‎（2）①当时，，‎ 所以，．‎ 若存在，使得，则，与矛盾．‎ 所以，所以， 5分 所以． 7分 又因为，所以，‎ 所以数列是以为首项、2为公比的等比数列． 8分 ‎②由①可知，所以，‎ 所以． 10分 由，得，，‎ 所以当时，， 13分 所以（当且仅当时取“”），所以， 15分 又因为，且，所以的最小值为2． 16分 ‎20．（本小题满分16分）‎ 解：（1），． 3分 ‎（2）设，则曲线在点P处的切线方程为．‎ 设，则，．‎ 所以在上递增．又，‎ 所以当时，；当时，．‎ 所以在递减，在递增．‎ 所以，．所以．‎ 所以除点P外，曲线上每一点都在点P处切线的上方． 8分 ‎（3）给出，此时．‎ 因为，所以．‎ 又，所以曲线在x＝0处的切线为．‎ 因为，所以．‎ 又，所以曲线在x＝0处的切线为．‎ 从而两曲线有一条公切线． 10分 下面证明它们只有这一条公切线．‎ ‎①先证明，，当且仅当时取“”．‎ 设，则，‎ 所以，当且仅当时取“”．‎ 所以在上递增．又，‎ 所以当时，；当时，．‎ 所以在递减，在递增．‎ 所以，，当且仅当时取“”．‎ 所以，，当且仅当时取“”． 13分 ‎②再证明它们没有其它公切线．‎ 若它们还有一条公切线，它与曲线切于点，与曲线切于点，显然，，．‎ 因为，由（2）知，，当且仅当时取“”．‎ 因为，所以．‎ 又由①知，矛盾．故它们只有这一条公切线．‎ 综上，当时，曲线与曲线有且仅有一条公切线． 16分 ‎ ‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ 参考答案 ‎21．【选做题】本题包括、、三小题，请选定其中两题，若多做，则按作答的前两题评分． ‎ ‎．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）‎ 解：设曲线上任一点对应曲线上的点，‎ 则，得所以 4分 带入的方程，得，即．‎ 所以曲线的方程为． 10分 ‎．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 解：（1）设为上任一点，则有，， 2分 所以由得，即， 4分 ‎，消得． 6分 ‎（2）圆心到直线的距离，‎ 所以的最小值为． 10分 ‎．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）‎ 证：因为，，， 2分 所以， 4分 ‎，‎ 当且仅当时取等号，所以． 10分 ‎【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 解：（1）由得，，‎ 所以当时，，得，‎ 所以抛物线的方程为． 3分 ‎（2）由抛物线的准线可知，‎ 直线的方程为， 5分 代入得，设，由条件可知，‎ 当面积取最大值时，抛物线在M处的切线平行于直线PT，‎ 则，，所以，M到直线PT的距离为，‎ 又，所以． 10分 ‎23．（本小题满分10分）‎ 解：（1），得；，得；‎ ‎ ，得；，得．‎ 所以． 3分 ‎（2）由题意， 集合中的各位数字之和为，对于中的每个数，各位数字之和为，若的首位为1，则其余各位数字之和为，总个数为；若的首位为2，则其余各位数字之和为，总个数为，所以． 6分 下面用数学归纳法证明能被3整除．‎ ‎1．当时，能被3整除；‎ ‎2．假设时，能被3整除；‎ 则当时，，‎ 因为能被3整除，所以也能被3整除，‎ 所以当时，结论成立 综上可知，能被3整除． 10分