山西省太原市第二十一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

山西省太原市第二十一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1.直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为 ( 　)‎ A. 5 B. 4 C. 9 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上5个点只能确定一个平面．故选D．‎ ‎2.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是 (　 　)‎ A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】∵ ，‎ ‎∴ 平面 ‎∵ ‎ ‎∴ 平面 ‎∴∥，故选B．‎ ‎3.已知互相垂直的平面，交于直线.若直线，满足，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点、线、面的位置关系逐项进行判断即可．‎ ‎【详解】对于选项A，因为 所以 故A项正确．‎ ‎ 对于选项B，若 且 那么故B项错误．‎ ‎ 对于选项C，已知若 那么故C项错误．‎ ‎ 对于选项D，若 且已知，那么故D项错误．‎ ‎【点睛】本题主要考查点、线、面之间的位置关系．‎ ‎4.设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球的表面积之比为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图为球的轴截面，‎ 由题意，设球的半径为r，则圆柱的底面圆半径为r，圆柱的高为2r，于是圆柱的全面积为S1＝2πr2＋2πr·2r＝6πr2，球的表面积为S2＝4πr2.‎ ‎∴ ，故选C.‎ 请在此填写本题解析!‎ ‎5.如图，是水平放置的的直观图，则的面积为 A. 6 B. ‎ C. D. 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎△OAB是直角三角形，OA＝6，OB＝4，∠AOB＝90°，∴S△OAB＝×6×4＝12.‎ 故选D ‎6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A. 20 B. 10 C. 30 D. 60‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果.‎ ‎【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：‎ 可知三棱锥高：；底面面积：‎ 三棱锥体积：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.‎ ‎7.半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆锥侧面展开图求高，再根据体积公式得结果.‎ ‎【详解】设圆锥底面半径为,则因为圆锥母线长为，所以圆锥高为，因此体积为,选B.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥侧面展开图以及圆锥体积，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎8.直线l过点M(1，－2)，倾斜角为30°.则直线l方程为 (　 　)‎ A. x＋ y－2－1＝0 B. x＋y＋2－1＝0‎ C. x－y－2－1＝0 D. x－y＋2－1＝0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为直线的倾斜角为，∴直线的斜率，‎ 由点斜式方程，得直线的方程为，即，故选C.‎ ‎9.已知直线：与：平行，则的值是（ ）.‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 当k-3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k-3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值．‎ 解：由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为 y=-1 和 y=3/2，显然两直线平行．当k-3≠0时，由，可得 k=5．综上，k的值是 3或5，‎ 故选 C．‎ ‎10.已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变化时，所有直线都通过定点( )‎ A. (0,0) B. (，) C. (，) D. (，)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 直线方程变形为，则直线通过定点，故选C．‎ ‎11.以(－2,1)为圆心且与直线x＋y＝3相切的圆的方程为 (　 　)‎ A. (x－2)2＋(y＋1)2＝2 B. (x＋2)2＋(y－1)2＝4‎ C. (x－2)2＋(y＋1)2＝8 D. (x＋2)2＋(y－1)2＝8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由所求的圆与直线x＋y－3＝0相切，∴圆心(－2,1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝2 ，‎ ‎∴所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝8.‎ 故选D ‎12.直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件确定直线截得圆的弦长，再根据垂径定理求，，即得结果.‎ ‎【详解】由题意得直线和单位圆弦长皆为，‎ 所以圆心到直线和距离皆为，即，选B.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆位置关系以及垂径定理,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上）‎ ‎13.中，已知，则边上的中线所在的直线的一般式方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用中点坐标公式可得线段的中点. 得到边上的中线所在的直线的点斜式方程，即可化为一般式方程.‎ ‎【详解】线段的中点. ‎ 边上的中线所在的直线的方程：，‎ 化简为一般式方程：. ‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了中点坐标公式、点斜式与一般式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎14.已知实数、满足，且，则的最大值和最小值分别为______，______.‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同除,得到,分析函数在的单调性,求得函数在上的最值，即可得到的最大值和最小值.‎ ‎【详解】解: 且，‎ 因为函数在上单调递减,‎ 故 故的最大值为,最小值为 ‎【点睛】本题考查幂函数的单调性，以及函数的最值，属于基础题.‎ ‎15.空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC形状是____.‎ ‎【答案】直角三角形 ‎【解析】‎ ‎　如图，过点A作AE⊥BD，E为垂足．‎ ‎∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，‎ ‎∴AE⊥平面BCD，∴AE⊥BC．‎ 又∵DA⊥平面ABC，∴DA⊥BC．‎ 又∵AE∩DA＝A，∴BC⊥平面ABD，‎ ‎∴BC⊥AB．‎ ‎∴△ABC为直角三角形．‎ ‎16.设O为原点，点M在圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1上运动，则|OM|的最大值为____.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 圆心C的坐标为(3,4)，‎ ‎∴|OC|＝ ＝5，‎ ‎∴|OM|max＝5＋1＝6.‎ 故答案6‎ 点睛：本题主要考查圆的标准方程，点与圆的位置关系，求圆外一点O与圆上点M的距离的最大值为 O到圆心的距离加上半径，最小值为O到圆心的距离减半径.‎ 三、解答题（本大题共5个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图案中圆锥、球、圆柱的体积比.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设圆柱底面半径为r，则球的半径为r，圆柱和圆锥的高均为2r，代入几何体体积公式计算即可．‎ 试题解析：‎ 设圆柱的底面半径为r，高为h，则V圆柱＝πr2h.由题意知圆锥的底面半径为r，高为h，球的半径为r，∴V圆锥＝πr2h，∴V球＝πr3，又h＝2r，‎ ‎∴V圆锥︰V球︰V圆柱＝(πr2h)︰(πr3)︰(πr2h)＝(πr3)︰(πr3)︰(2πr3)＝1︰2︰3.‎ 点睛：本题考查了空间几何体的体积，找到三个几何体的关系是解题关键.‎ ‎18.已知直线经过点（－2，5），且斜率为 ‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) 3x＋4y－14＝0；(2) 3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入点斜式方程求直线 的方程；（2）根据（1）设的方程为，将点到直线的距离转化为平行线的距离求.‎ ‎【详解】（1）由点斜式方程得，，∴.‎ ‎（2）设的方程为，则由平线间的距离公式得，，‎ 解得：或.‎ ‎∴或 ‎【点睛】本题考查求直线方程，意考查基础知识，属于简单题型.‎ ‎19.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.‎ ‎(1)求证：PA⊥BD；‎ ‎(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；‎ ‎(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直；（Ⅱ）要证明面面垂直，一般转化为证明线面垂直、线线垂直；（Ⅲ）由即可求解.‎ 试题解析:（I）因为，，所以平面，‎ 又因为平面，所以.‎ ‎（II）因为，为中点，所以，‎ 由（I）知，，所以平面.‎ 所以平面平面.‎ ‎（III）因为平面，平面平面，‎ 所以.‎ 因为为的中点，所以，.‎ 由（I）知，平面，所以平面.‎ 所以三棱锥的体积.‎ ‎【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可根据性质定理转化为证明面面垂直.‎ ‎20.一圆与两平行直线x＋3y－5＝0和x＋3y－3＝0都相切，圆心在直线2x＋y＋1＝0上，求圆的方程.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据直线和圆的位置关系，两平行线间的距离为直径，求出半径，设圆心为 则根据圆心在直线2x＋y＋1＝0上，及圆心到直线的距离为半径，可得出圆心，即可得到圆的方程.‎ 试题解析：‎ 两平行直线之间的距离为＝，∴圆的半径为，设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝，则，‎ 解得.‎ 故所求圆的方程为2＋2＝.‎ ‎21.已知.‎ ‎(1)若的切线在轴、轴上截距相等，求切线的方程；‎ ‎(2)从圆外一点向圆引切线为切点，为原点，若，求使 最小的点坐标．‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）分两种情况讨论，切线过原点可得方程为 ，切线不过原点可设方程为 ，分别利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得 的值，从而可得切线方程；(2)由，可得,在外，，将代入得恒成立，利用二次函数配方法可得，此时.‎ 试题解析：：(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心C(－1,2)，半径r＝2.‎ ‎(1)若切线过原点设为y＝kx，则或 若切线不过原点，设为x＋y＝a，则，切线方程，‎ 或.‎ ‎(2),,‎ 在外，，将代入得，恒成立 ‎，此时.‎ ‎ ‎