高考数学（理）一轮复习人教A版-第四章 第6节正弦定理和余弦定理
第6节 正弦定理和余弦定理
最新考纲 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量
问题.
知 识 梳
理
b2＋c2－2bccos A
c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
2Rsin B
2Rsin C
sin A∶sin B∶sin C
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A
b a≤b
解的个数 _______ _______ _______ _______ _______一解 两解 一解 一解 无解
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，
△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.( )
诊 断 自
测
解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
答案 D
答案 A
答案 75°
5.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为
________.
解析 由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三
角形.
答案 等腰三角形或直角三角形
考点一 利用正、余弦定理解三角形
解析 (1)由题意得sin(A＋C)＋sin A(sin C－cos C)＝0，
∴sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，
∴满足条件的三角形有2个.
规律方法 1.判断三角形解的个数的两种方法
(1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数值判断.
(2)几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.
2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用
余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一
元二次方程根的情况判断解的个数.
解 (1)2acos C－c＝2b，由正弦定理得2sin Acos C－sin C＝2sin B，2sin
Acos C－sin C＝2sin(A＋C)＝2sin Acos C＋2cos Asin C，
所以sin C0，所以cos B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
(2)由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.
∴△ABC为直角三角形.
答案 (1)A (2)B
规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角
之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定
理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则
会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数
值的限制.
【训练2】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c－
acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
解析 ∵c－acos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，
∴由正弦定理得sin C－sin Acos B
＝2sin Acos A－sin Bcos A，
∴sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B
＝2sin Acos A－sin Bcos A，
∴cos A(sin B－sin A)＝0，
∴cos A＝0或sin B＝sin A，
∴△ABC为等腰或直角三角形.
答案 D
即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.
又因为S△ABC＝3，所以bcsin A＝6，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
