2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业

2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业

集合、简易逻辑与不等式 一、单选题 ‎1．已知集合，非空集合满足，则集合有（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用并集的定义直接求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵集合A＝{1，2}，非空集合B满足A∪B＝{1，2}，‎ ‎∴B＝{1}，B＝{2}或B＝{1，2}．‎ ‎∴集合B有3个．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查满足条件的集合的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2．已知集合A={−1,0,1,2}‎，集合B={y|y=2x−3,x∈A}‎，则A∩B=‎（ ）‎ A．‎{−1,0,1}‎ B．‎{−1,1}‎ C．‎{−1,1,2}‎ D．‎‎{0,1,2}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ A={-1, 0, 1, 2}‎‎，集合B=yy=2x-3,x∈A={-5,-3,-1,1}‎，则A∩B={-1,1}‎.故选B.‎ ‎3．设实数满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由约束条件可知， （当且仅当 时等号成立），即的最小值为，故选C.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查约束条件的应用、不等式的性质及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎4．已知两条直线，则是直线的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 略 ‎5．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得，然后根据子集的概念判断出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由于，所以，其它选项不正确.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查补集的概念和运算，考查子集的概念和识别，属于基础题.‎ ‎6．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是（　　）‎ A．没有一个内角是钝角 B．有两个内角是钝角 C．有三个内角是钝角 D．至少有两个内角是钝角 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用命题的否定，写出结果可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是“至少有两个内角是钝角”‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考察命题的否定，相对简单.‎ ‎7．若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质及特值法可得答案．‎ ‎【详解】‎ 对于A，∵，∴，正确；‎ 对于B，当时，显然不成立，错误；‎ 对于C，当时，显然不成立，错误；‎ 对于D，当时，显然不成立，错误．‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎8．已知等比数列中，公比，若，则的最值情况为 A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，由于等比数列中，公比，若，‎ ‎，故可知的最小值为12，选C.‎ 考点：等比数列 点评：主要是考查了等比数列的通项公式 的运用，属于基础题。‎ 二、填空题 ‎9．设，其中实数满足，若的最大值为12，则实数=________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平移．经讨论可得当k＜0时，找不出实数k的值使z的最大值为12；当k≥0时，结合图形求得最优解，代入目标函数，即可得解．‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部， ‎ 其中A（2，0），B（2，3），C（4，4） 设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y进行平移，可得 ①当k＜0时，直线l的斜率-k＞0， 由图形可得当l经过点B（2，3）或C（4，4）时，z可达最大值， 此时，zmax=F（2，3）=2k+3或zmax=F（4，4）=4k+4 但由于k＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z的最大值为12， 故此种情况不符合题意； ②当k≥0时，直线l的斜率-k≤0， 由图形可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值 此时zmax=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意 综上所述，实数k的值为2 故答案为：2‎ ‎【点睛】‎ 本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=kx+y的最大值为12的情况下求参数k的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．‎ ‎10．国家的精准扶贫极大地激发了农村贫困村民的生产积极性．新春伊始，某村计划利用2019年国家专项扶贫款120万元兴建两个扶贫产业：毛驴养殖和蔬菜温室大棚．建一个养殖场的费用是9万元，建一个温室大棚的费用是12万元．根据村民意愿，养殖场至少要建3个，温室大棚至少要建2个，并且由于建设用地的限制，养殖场的数量不能超过温室大棚数量的2倍，则建养殖场和温室大棚个数之和的最大值为__________．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设建养殖场和温室大棚的个数分别为设建养殖场和温室大棚个数之和根据题意求出线性约束条件,作出可行域,然后根据数形结合求出目标函数的最值.‎ ‎【详解】‎ 设建养殖场和温室大棚的个数分别为设建养殖场和温室大棚个数之和 则，即，画出满足不等式组的平面区域，如下图所示，作出直线并平移，当平移后的直线经过直线和直线的交点时，目标函数取得最大值，‎ 故填：12.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实际应用中的线性规划问题，关键是将生活实际问题转化为数学问题，属于基础题.‎ ‎11．，求的取值范围 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，当时，当时，所以，综上的取值范围 考点：集合的子集关系及解不等式 ‎12．记不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：画出可行域和直线图象如下图所示，注意到直线过定点．由图象可知，斜率的取值范围在之间，，所以取值范围是．‎ 考点：线性规划．‎ ‎【思路点晴】对于线性目标函数，必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系；对于非线性目标函数，应考虑其具有的几何意义，依平面几何知识解答；对于交汇问题应转化为目标函数最值问题处理．线性规划也是求值的一种，是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题，其关键是列出所有的限制条件，不能有遗漏的部分，如有时变量要求为正实数或自然数，其次是准确找到目标函数，如果数量关系多而杂，可以用列表等方法把关系理清．‎ ‎13．已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ，设其导函数为 f ¢(x) ，当 x Î (- ¥,0]时，恒有xf ¢(x) + f (x) £ 0 ，令 F (x) = xf (x)，则满足 F(3) > F (2x -1) 的实数 x 的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：根据函数的奇偶性和条件，判断函数F（x）的单调性，利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可．‎ 详解：∵F（x）=xf（x），∴=x+f（x），‎ 即当x∈（﹣∞，0]时，xf ¢(x) + f (x) £ 0，函数F（x）为减函数，‎ ‎∵f（x）是奇函数，∴F（x）=xf（x）为偶数，且当x＞0为增函数．‎ 即不等式F（3）＞F（2x﹣1）等价为F（3）＞F（|2x﹣1|），‎ ‎∴|2x﹣1|＜3，∴﹣3＜2x﹣1＜3，‎ 即﹣2＜2x＜4，∴﹣1＜x＜2，‎ 即实数x的取值范围是（﹣1，2），‎ 故答案为：‎ 点睛：（1）本题主要考查函数单调性和导数之间的关系的应用，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键，综合考查了函数性质的应用．（2）对于公式，不仅要会顺用，还要会逆用.‎ ‎14．已知实数，满足约束条件时，所表示的平面区域为，则的最大值等于 ，若直线与区域有公共点，则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】，．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的可行域，作直线：，平移 ‎，即可知，当时，，直线恒过点，∴可知实数的取值范围是．‎ 考点：线性规划的运用．‎ ‎15．如图，在△ABC中，AD＝DB，F在线段CD上，设，，，则的最小值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三点共线以及，可得，利用基本不等式即可求得的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎,由图可知均为正数.‎ 又三点共线，则，则.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）平面向量中三点共线：若,则三点共线的充要条件是.（2）“1”的代换是基本不等式中构造的基本方法.‎ 三、解答题 ‎16．已知对任意实数x，恒有成立，求y的最小值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用换元法首先求得函数的最大值，然后结合恒成立的结论即可确定y的最小值.‎ ‎【详解】‎ 令，则，‎ ‎，‎ 由于二次函数在对称轴处取得最大值，‎ 故由恒成立的结论可知.‎ 即y的最小值是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查换元法求函数最值的方法，二次函数在给定区间求最值的问题，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎17．（2015秋•郑州校级期末）已知集合A={x|x2﹣x﹣12＜0}，集合B={x|x2+2x﹣8＞0}，集合C={x|x2﹣4ax+3a2＜0，a≠0}，‎ ‎（Ⅰ）求A∩（CRB）；‎ ‎（Ⅱ）若C⊇（A∩B），试确定实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（﹣3，2]；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先通过解一元二次不等式化简集合A和B，再求集合B的补集，最后求出A∩（CRB）即可；‎ ‎（Ⅱ）由于一元二次方程x2﹣4ax+3a2=0的两个根是：a，3a．欲表示出集合C，须对a进行分类讨论：①若a=0，②若a＞0，③若a＜0，再结合C⊇（A∩B），列出不等关系求得a的取值范围，最后综合得出实数a的取值范围即可．‎ 解：（Ⅰ）依题意得：A={x|﹣3＜x＜4}，B={x|x＜﹣4或x＞2}，（CRB）={x|﹣4≤x≤2}‎ ‎∴A∩（CRB）=（﹣3，2]‎ ‎（Ⅱ）∴A∩B={x|2＜x＜4}①若a=0，则C={x|x2＜0}=∅不满足C⊇（A∩B）∴a≠0‎ ‎②若a＞0，则C={x|a＜x＜3a}，由C⊇（A∩B）得 ‎③若a＜0，则C={x|3a＜x＜a}，由C⊇（A∩B）得 综上，实数a的取值范围为 考点：一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用；交集及其运算；补集及其运算．‎ ‎18．设集合，，求满足下列条件的 的取值范围：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）结合数轴，列出不等式组，即可求解实数的取值范围；（2）根据和两种情况，分类讨论，分别求解的取值范围.‎ 试题解析：（1）结合数轴可知：‎ ‎（2）若，此时，解得，‎ 当时结合数轴只需或，解得 综上可得：或.‎ 考点：集合的运算.‎ ‎19．已知关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用一元二次方程在上有两个不相等的实数根可得判别式大于零,再解一元二次不等式可得.‎ ‎【详解】‎ 由已知得，‎ 整理得，‎ 解得或，‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次方程有解问题,一元二次不等式的解法,属于基础题.‎ ‎20．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．‎ ‎【答案】p≤3‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：化简集合A，由B⊆A 可得B=或B≠．当B=时，由p+1＞2p-1，求出p的范围；当B≠时，由，解得p的范围，再把这两个p的范围取并集即得所求 试题解析：由x2－3x－10≤0，得－2≤x≤5．‎ ‎∴A＝[－2，5]．‎ ‎①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2．由BA得－2≤p＋1且2p－1≤5，得－3≤p≤3．∴2≤p≤3．‎ ‎② 当B＝时，即p＋1>2p－1p＜2．BA成立．‎ 综上得p≤3．‎ 考点：集合关系中的参数取值问题 ‎21．过点的直线分别与轴和轴的正半轴交于两点．求：‎ ‎（1）取最小值时直线的方程．‎ ‎（2）取最小值时直线的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出直线方程的截距式，利用基本不等式求最小值；则方程可求 ‎（2）设点斜式，得A,B坐标，由两点间的距离公式求出|PA|，|PB|，然后利用基本不等式求最值，进而求得直线 ‎【详解】‎ ‎（1）设直线的方程为，则．，于是，，即的最小值为8，当且仅当，即，时取得等号．故所求直线的方程为．‎ ‎（2）显然直线的斜率存在，设其方程为，则，．由及，得．，当且仅当，即时取等号，的最小值为4时，直线的方程为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线方程的应用，训练了利用基本不等式求最值，解答的关键在于利用基本不等式求最值的条件，是中档题．‎ ‎22．已知数列的前n项的和Sn，点（n，Sn）在函数=2x2+4x图象上：‎ ‎（1）证明是等差数列；‎ ‎（2）若函数，数列{bn}满足bn=，记cn=an•bn，求数列前n项和Tn；‎ ‎（3）是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f(x)=﹣x2+4x﹣≤0对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ，若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】(1) 数列{an}的通项公式为an=4n+2;(2) Tn=10﹣（2n+5） ;(3) 实数λ=1,见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）要求数列的通项公式，利用，然后把 代入验证； （2）由函数 ，数列满足 ，利用错位相减法可得数列{ 前 项和 （3）假设存在实数 ，使得当 时， ‎ 对任意 恒成立，即对任意恒成立，由 是递增数列，能推导出存在最大的实数 ，使得当 时， 对任意恒成立 试题解析;（1）由题意，Sn=2n2+4n，‎ 当n=1时，a1=S1=6，‎ ‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n2+4n）﹣[2（n﹣1）2+4（n﹣1）]=4n+2，‎ 当n=1时，a1=S1=4+2=6，也适合上式 ‎∴数列{an}的通项公式为an=4n+2，n∈N*；是等差数列 ‎（2）∵函数g（x）=2﹣x，‎ ‎∴数列{bn}满足bn=g（n）=2﹣n，‎ 又∵cn=an•bn，‎ ‎∴Tn=6×2﹣1+10×2﹣2+14×2﹣3+…+（4n+2）×2﹣n，…①，‎ ‎∴Tn=6×2﹣2+10×2﹣3+…+（4n﹣2）×2﹣n+（4n+2）×2﹣（n+1），…②，‎ ‎①﹣②得：‎ ‎ ‎ ‎（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，对任意 n∈N*恒成立，即任意n∈N*恒成立，‎ ‎∵an=4n+2，是递增数列，‎ 所以只要﹣x2+4x≤c1，即x2﹣4x+3≥0，解得x≤1或x≥3．‎ 所以存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）≤cn对任意n∈N*恒成立．‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查数列不等式的应用，解题时要认真审题，注意错位相消法和等价转化思想的合理运用．‎