【数学】2020届一轮复习人教A版 导数与不等式学案
破解难点优质课(一) 导数与不等式
破解难点一 导数方法证明不等式
构造函数证明不等式:构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时,根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数,利用函数单调性、极值、最值加以证明.常见的构造方法有:(1)直接构造法:证明不等式f(x)>g(x)(f(x)
0(f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)= f(x)-g(x);(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩,二是利用常见的放缩结论,如ln x≤x-1,ex≥x+1,ln x0),xx+1≤ln(x+1)≤x(x>-1);(3)构造“形似”函数:稍作变形再构造,对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数,把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式,根据“相同结构”构造辅助函数;(4)构造双函数:若直接构造函数求导难以判断符号,导函数零点也不易求得,因此函数单调性与极值点都不易获得,则可构造函数f(x)和g(x),利用其最值求解.
案例
方法与思维
【直接构造法】[2018·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)=1x-x+aln x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:f(x1)-f(x2)x1-x22.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0(函数在极值点处的导数为0),所以x1x2=1.
不妨设x11(注意原函数的定义域).
由于f(x1)-f(x2)x1-x2=-1x1x2-1+alnx1-lnx2x1-x2=-2+alnx1-lnx2x1-x2=-2+a-2lnx21x2-x2,所以f(x1)-f(x2)x1-x20时,f(x)>0.
(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.
(1)证明:当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f'(x)=ln(1+x)-x1+x.
设函数g(x)=f'(x)=ln(1+x)-x1+x,【关键1:直接构造函数】
则g'(x)=x(1+x)2.
当-10时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,【关键2:利用导数判断所构造函数的单调性,得到函数极值与零的关系,从而判断所构造函数的正负】
从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0,所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.【关键3:利用导数判断函数f(x)的单调性】
又f(0)=0,故当-10时,f(x)>0.【关键4:利用单调性证明不等式】
……
(续表)
案例
方法与思维
【适当放缩构造法】[2018·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)=aex-ln x-1.
(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;
(2)证明:当a≥1e时,f(x)≥0.
……
(2)证明:当a≥1e时,f(x)≥exe-ln x-1.【关键1:利用不等式性质放缩,将a代换掉】
设g(x)=exe-ln x-1,【关键2:利用不等式右边构造函数】
则g'(x)=exe-1x.当01时,g'(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.【关键3:利用导数研究函数的单调性、最值】
故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.【关键4:利用函数最值使放缩后的不等式得到证明】
因此,当a≥1e时,f(x)≥0.
【构造双函数法】[2014·全国卷Ⅰ] 设函数f(x)=aexln x+bex-1x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.
(1)求a,b;
(2)证明:f(x)>1.
……
(2)证明:由(1)知,f(x)=exln x+2xex-1,从而f(x)>1等价于xln x>xe-x-2e.【关键1:将所证不等式等价转化,为构造双函数创造条件】
设函数g(x)=xln x,则g'(x)=1+ln x,所以当x∈0,1e时,g'(x)<0;当x∈1e,+∞时,g'(x)>0.故g(x)在0,1e上单调递减,在1e,+∞上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g1e=-1e.【关键2:构造函数,利用导数研究函数的单调性,求最小值】
设函数h(x)=xe-x-2e,则h'(x)=e-x(1-x).所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-1e.【关键3:构造函数,利用导数研究函数的单调性,求最大值】
因为g(x)min=g1e=h(1)=h(x)max,所以当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.【关键4:利用函数最值证明不等式】
提示:在构造函数证明不等式时,常会用到一些放缩技巧:(1)舍去一些正项(或负项);(2)在和或积中换大(或换小)某些项; (3)扩大(或缩小)分式的分子(或分母);(4)构造基本不等式(通常结合代换法,注意对指数的变换).
案例
方法与思维
[2015·全国卷Ⅰ] 设函数f(x)=e2x-aln x.
(1)讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数;
(2)证明:当a>0时,f(x)≥2a+aln2a.
……
(2)证明:由(1)可设f'(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0.当x∈(0,x0)时,f'(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0.
故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).【关键1:利用导数判断函数单调性,并求函数最小值】
由于2e2x0-ax0=0,将式子变形,可得①e2x0=a2x0,
②ln x0=-2x0-ln2a(利用取对数法,把ln x0用a及x0表示出来),
所以f(x0)=a2x0+2ax0+aln2a≥2a+aln2a.【关键2:利用代换法,结合基本不等式消去x0,证明不等式成立】
故当a>0时,f(x)≥2a+aln2a.
(续表)
案例
方法与思维
[2016·全国卷Ⅲ] 设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)·(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.
(1)求f'(x);
(2)求A;
(3)证明:|f'(x)|≤2A.
……
(3)证明:由(1)得|f'(x)|=|-2αsin 2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|.【关键1:利用三角函数有界性及绝对值不等式性质放缩】
当0<α≤15时,|f'(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A.【关键2:分类讨论,利用绝对值定义去绝对值符号,并放缩证明不等式】
当15<α<1时,A=α8+18α+34≥1,所以|f'(x)|≤1+α<2A.【关键3:分类讨论,利用绝对值定义去绝对值符号,利用基本不等式与放缩法证明不等式】
当α≥1时,|f'(x)|≤3α-1≤6α-4=2A,所以|f'(x)|≤2A.【关键4:分类讨论,利用绝对值定义去绝对值符号,并放缩证明不等式】
例1 [2018·台州中学模拟] 已知函数f(x)=x2e2x-2.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当x∈[0,2]时,求证:f(x)≥-2x2+8x-5.
[总结反思] 根据不等式的特点,有时可以构造函数,利用导数求出函数的最值,结合最值证得不等式成立.这一过程是把证明不等式问题转化为构造函数求函数最值问题.
变式题 [2018·南昌模拟] 已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)证明:ex-e2ln x>0恒成立.
例2 [2018·南昌模拟] 已知函数f(x)=aln(x-1)+2x-1,其中a为正实数.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明:当x>2时,f(x)g(x)在区间D上恒成立,则构造函数h(x)=f(x)-g(x),再根据函数单调性证明h(x)>0.
例3 已知函数f(x)=sin x-ax.
(1)当a=1时,令h(x)=f(x)-sin x+ln x+1,求h(x)的最大值;
(2)求证:ln(n+1)<1+12+13+…+1n-1+1n(n∈N*).
[总结反思] 放缩法作为证明不等式的一种方法,其原理是不等式的传递性,所以在使用放缩法时主要从两方面入手:一是寻找可传递的不等式;二是构造辅助不等式.与导数结合使用主要体现在利用函数的单调性与有界性证明不等式.
破解难点二 根据不等式确定参数范围
一般地,若a>f(x)对x∈D恒成立,则只需a>f(x)max;若af(x0)成立,则只需a>f(x)min;若存在x0∈D ,使a0,由f'(x)=1-ax=x-ax知,当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.【关键2:根据导函数的零点分类讨论】
…1+12n0时,g'(t)>0.故g(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,故当t∈[-1,1]时,g(t)≤0.【关键3:根据导函数的零点分类讨论】
故当m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;
当m>1时,由g(t)的单调性,知g(m)>0,即em-m>e-1;
当m<-1时,g(-m)>0,即e-m+m>e-1.【关键4:通过分类讨论得到参数的取值范围】
综上,m的取值范围是[-1,1].
【结合导函数的零点分类讨论】[2013·全国卷Ⅰ] 设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.
(1)求a,b,c,d的值;
(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.
……
(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).
设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,则F'(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).【关键1:直接构造函数,并求导】
由题设可得F(0)≥0,即k≥1.令F'(x)=0,得x1=-ln k,x2=-2.【关键2:求出导函数的零点,进而确定分类讨论的标准】
①若1≤k0,即F(x)在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+∞)上单调递增.故F(x)在[-2,+∞)上的最小值为F(x1).而F(x1)=2x1+2-x12-4x1-2=-x1(x1+2)≥0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.
②若k=e2,则F'(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).从而当x>-2时,F'(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)上单调递增,而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.
③若k>e2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0,从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.【关键3:根据导函数的零点分类讨论,分别研究函数的单调性、最小值,并确定参数的取值范围】
综上,k的取值范围是[1,e2].
(续表)
案例
方法与思维
【由导函数的特点直接分类讨论】
[2014·全国卷] 函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.
……
(2)当a>0,x>0时,f'(x)=3ax2+6x+3>0,【关键1:求导函数,根据导函数的特点确定分类标准】
故当a>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数.
当a<0时,f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当f'(1)≥0且f'(2)≥0,解得-54≤a<0.【关键2:利用导数判断函数的单调性,结合需满足的条件,求解关于参数的不等式,得到参数的取值范围】
综上,a的取值范围是-54,0∪(0,+∞).
提示:破解不等式求参问题,时常会通过不等式的同解变形,构造一个与背景函数相关的函数,利用函数最值确定参数的取值范围.在构造函数或求最值过程中常用的放缩方法有函数放缩法、基本不等式放缩法、叠加不等式放缩法等.
案例
方法与思维
[2017·全国卷Ⅲ] 已知函数f(x)=x-1-aln x.
(1)若f(x)≥0,求a的值;
(2)设m为整数,且对于任意正整数n,1+121+122…1+12n0.
令x=1+12n,得ln1+12n<12n,从而
ln1+12+ln1+122+…+ln1+12n<12+122+…+12n=1-12n<1,【关键:利用放缩法变形】
故1+121+122…1+12n2,所以m的最小值为3.
[2016·江苏卷] 已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)设a=2,b=12.
①求方程f(x)=2的根;
②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;
(2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.
(1)因为a=2,b=12,所以f(x)=2x+2-x.
①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,
所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.
②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=[f(x)]2-2.
因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,
所以m≤[f(x)]2+4f(x)对于x∈R恒成立.【关键1:分离参数】
而[f(x)]2+4f(x)=f(x)+4f(x)≥2f(x)·4f(x)=4,且[f(0)]2+4f(0)=4,
所以m≤4,故实数m的最大值为4.【关键2:利用基本不等式求最值,进而得到参数的取值范围】
……
例4 已知函数f(x)=(ax-2)ex-e(a-2).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x>1时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
[总结反思] 通过对参数的讨论确定函数中参数的取值范围是很重要的一种方式.一般通过讨论确定导数的符号,进而依据函数的单调性及极值、最值的要求,确定满足题意的参数的取值范围.
变式题 [2018·哈尔滨六中模拟] 已知函数f(x)=xex.
(1)证明:f(x)≥ln x+x+1;
(2)若x≥1时,f(x)-e≥a(ln x+x-1)恒成立,求实数a的取值范围.
例5 [2018·北京师大附中月考] 已知函数f(x)=kx-1x-(k+1)ln x,k∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当k>0时,若函数f(x)在区间(1,2)上单调递减,求k的取值范围.
[总结反思] 已知函数在某个区间上单调、在定义域上存在单调递增(减)区间等问题的一般解决方法是根据函数导数与单调性的关系建立不等式,通过研究不等式得出问题答案.
变式题 已知函数f(x)=13x3+1-a2x2-ax,x∈R,其中a>0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)(x∈(-2,0))的图像与直线y=a有两个不同交点,求a的取值范围.
例6 [2018·江西师大附中月考] 已知函数f(x)=ax+ln x+1.
(1)若a=-1,求函数f(x)的最大值;
(2)对任意x>0,不等式f(x)≤xex恒成立,求实数a的取值范围.
[总结反思] 利用导数研究含参数的不等式问题,若能够分离参数,则常先将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式,再通过求函数f(x)的最值求得参数范围.
变式题 [2018·南宁模拟] 已知函数f(x)=[ln(x-1)]2-1x-1-x+3.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若当x≥1时,不等式(x+1)x+m≤exx+m恒成立,求实数m的取值范围.