2018届二轮复习（文） 分类讨论思想、转化与化归思想课件（全国通用）
第
3
讲 分类讨论思想
、
转化
与化归思想
一、分类讨论思想
-
3
-
从近五年高考试题来看
,
分类讨论思想在高考试题中频繁出现
,
现已成为高考数学的一个热点
,
也是高考的难点
.
高考中经常会有几道题
,
解题思路直接依赖于分类讨论
,
特别在解答题中
(
尤其导数与函数
)
常有一道分类讨论求解的把关题
,
选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论题
.
-
4
-
1
.
分类讨论思想的含义
分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时
,
首先需要把研究对象按某个标准分类
,
然后对每一类分别研究
,
得出每一类的结论
,
最后综合各类结果得到整个问题的解答
.
2
.
分类讨论的原则
(1)
不重不漏
;(2)
标准要统一
,
层次要分明
;(3)
能不分类的要尽量避免
,
决不无原则地讨论
.
3
.
分类讨论的常见类型
(1)
由数学概念而引起的分类讨论
;(2)
由数学运算要求而引起的分类讨论
;(3)
由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论
;(4)
由图形的不确定性而引起的分类讨论
;(5)
由参数的变化而引起的分类讨论
;(6)
由实际意义引起的讨论
.
-
5
-
应用一
应用二
应用三
应用一
由数学的概念引起的分类讨论
例
1
已知
a
,
b>
0,
且
a
≠1,
b
≠1
.
若
log
a
b>
1,
则
(
D
)
A
.
(
a-
1)(
b-
1)
<
0 B
.
(
a-
1)(
a-b
)
>
0
C
.
(
b-
1)(
b-a
)
<
0 D
.
(
b-
1)(
b-a
)
>
0
解析
:
当
0
1
得
b
0,(
a-
1)(
a-b
)
<
0,(
b-a
)(
b-
1)
>
0
.
∴
排除
A,B,C
.
当
a>
1
时
,
由
log
a
b>
1
得
b>a>
1
.
∴
b-a>
0,
b-
1
>
0
.
∴
(
b-
1)(
b-a
)
>
0
.
故选
D
.
-
6
-
应用一
应用二
应用三
思维升华
由数学概念引起的分类讨论有
:
绝对值的定义、二次函数的定义、分段函数的定义、异面直线所成角的定义、直线的斜率、指数、对数函数等
.
-
7
-
应用一
应用二
应用三
突破训练
1
(
2017
湖北武汉二月调考
,
文
16
)
若
函数
f
(
x
)
=
ln(
ax
2
+x
)
在区间
(0,1)
内单调递增
,
则实数
a
的
取值范围
为
.
解析
:
若函数
f
(
x
)
=
ln(
ax
2
+x
)
在区间
(0,1)
内单调递增
,
即函数
g
(
x
)
=ax
2
+x
在
(0,1)
内单调递增
,
当
a=
0
时
,
g
(
x
)
=x
在
(0,1)
内单调递增
,
符合题意
,
-
8
-
应用一
应用二
应用三
应用二
由数学运算、性质、定理、公式引起的分类讨论
例
2
设等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
.
若
S
3
+S
6
=
2
S
9
,
则数列的公比
q
是
(
C
)
-
9
-
应用一
应用二
应用三
思维升华
1
.
在中学数学中
,
一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性
,
基本不等式
,
等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论
,
或者在一定的限制条件下才成立
,
应根据题目条件确定是否进行分类讨论
.
2
.
有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的
.
比如除以一个数时
,
这个数能否为零的讨论
;
解方程及不等式时
,
两边同乘一个数是零、是正数、还是负数的讨论
;
二次方程运算中对两根大小的讨论
;
差值比较中的差的正负的讨论
;
有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等
.
-
10
-
应用一
应用二
应用三
突破训练
2
若关于
x
的不等式
(
a-
2)
x
2
+
2(
a-
2)·
x-
4
<
0
对一切
x
∈
R
恒成立
,
则
a
的取值范围是
(
C
)
A
.
(
-∞
,2] B
.
[
-
2,2]
C
.
(
-
2,2] D
.
(
-∞
,
-
2)
解析
:
当
a-
2
=
0
即
a=
2
时
,
不等式为
-
4
<
0,
恒成立
,
所以
a=
2
;
所以
a
的范围是
{
a|-
2
0,
函数单调增
,
x
→
-∞
,
此时
f
(
x
)→
-∞
,
不可能恒有
f
(
x
)
≥
0
.
若
a>
0,
由
f'
(
x
)
=
e
x
-a=
0,
得极小值点
x=
ln
a
,
由
f
(ln
a
)
=a-a
ln
a+a-b
≥
0,
得
b
≤
a
(2
-
ln
a
),
ab
≤
a
2
(2
-
ln
a
)
.
令
g
(
a
)
=a
2
(2
-
ln
a
)
.
思维升华
含有参数的分类讨论问题主要包括
:(1)
含有参数的不等式的求解
;(2)
含有参数的方程的求解
;(3)
函数解析式中含参数的最值与单调性问题
;(4)
二元二次方程表示曲线类型的判定等
.
-
13
-
应用一
应用二
应用三
突破训练
3
(
2017
湖北武汉二月调考
,
文
12
)
若
函数
f
(
x
)
=a
e
x
-x-
2
a
有两个零点
,
则实数
a
的取值范围是
(
D
)
-
14
-
应用一
应用二
应用三
解析
:
函数
f
(
x
)
=a
e
x
-x-
2
a
的导函数
f'
(
x
)
=a
e
x
-
1,
当
a
≤
0
时
,
f'
(
x
)
≤
0
恒成立
,
函数
f
(
x
)
在
R
上单调
,
不可能有两个零点
;
-
15
-
1
.
简化分类讨论的策略
:(1)
消去参数
;(2)
整体换元
;(3)
变更主元
;(4)
考虑反面
;(5)
整体变形
;(6)
数形结合
;(7)
缩小范围等
.
2
.
分类讨论遵循的原则是
:
不遗漏、不重复
,
科学地划分
,
分清主次
,
不越级讨论
.