【数学】2020届一轮复习浙江专版9-1数系的扩充与复数的引入学案

【数学】2020届一轮复习浙江专版9-1数系的扩充与复数的引入学案

第一节数系的扩充与复数的引入 ‎1．复数的有关概念 ‎(1)复数的概念：‎ 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．‎ ‎(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)复数的模：‎ 向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.‎ ‎2．复数的几何意义 ‎(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．‎ ‎(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量 .‎ ‎3．复数的运算 ‎(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；‎ ‎②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；‎ ‎③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ ‎④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．‎ ‎(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．‎ ‎[小题体验]‎ ‎1．(2019·杭州高三质检)设复数z＝(其中i为虚数单位)，则复数z的实部为________，虚部为________．‎ 解析：因为z＝＝＝2＋i，所以复数z的实部为2，虚部为1.‎ 答案：2　1‎ ‎2．(2019·浙江名校联考)设(a＋i)(1－bi)＝3－i(a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝______；若z＝a＋bi，则|z|＝______.‎ 解析：因为(a＋i)(1－bi)＝(a＋b)＋(1－ab)i＝3－i，所以a＋b＝3,1－ab＝－1，则ab＝2，所以|z|＝＝＝＝.‎ 答案：3　 ‎3．(教材习题改编)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为________．‎ 答案：3＋5i ‎1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．‎ ‎2．两个虚数不能比较大小．‎ ‎3．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2＜0在复数范围内有可能成立．‎ ‎[小题纠偏]‎ ‎1．设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i是虚数单位，a∈R)，若z1·z2∈R，则a＝________.‎ 解析：依题意，复数z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i是实数，因此4－a＝0，a＝4.‎ 答案：4‎ ‎2．设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．‎ 解析：因为(2＋ai)i＝－a＋2i，‎ 又其实部与虚部互为相反数，‎ 所以－a＋2＝0，即a＝2.‎ 答案：2‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(2018·台州二模)复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　)‎ A．2　　　　　　　　 　B．1‎ C．－2 D．1或2‎ 解析：选A　由a2－3a＋2＝0，得a＝1或2.因为复数是纯虚数，所以a≠1，所以可知a＝2.‎ ‎2．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝2a＋i的模等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　由题意得，＝ti(t≠0)，‎ ‎∴2－i＝－t＋tai，‎ ‎∴解得 ‎∴z＝2a＋i＝1＋i，|z|＝，故选C.‎ ‎3．(2019·镇海中学模拟)已知i是虚数单位，复数z＝2－i，则z·(1＋2i)的共轭复数为(　　)‎ A．2＋i B．4＋3i C．4－3i D．－4－3i 解析：选C　因为z＝2－i，所以z·(1＋2i)＝(2－i)(1＋2i)＝4＋3i，所以其共轭复数为4－3i.‎ ‎4．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.‎ 解析：(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.‎ 设z2＝a＋2i，a∈R，‎ 则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.‎ ‎∵z1·z2∈R，∴a＝4.‎ ‎∴z2＝4＋2i.‎ 答案：4＋2i ‎[谨记通法]‎ 求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(2019·杭二模拟)在复平面内，复数z＝对应的点位于(　　)‎ A．第一象限　　　　　　 　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选A　z＝＝＝＋i，其在复平面内对应的点为，位于第一象限．‎ ‎2．(2019·河北“五校联盟”质检)在复平面内与复数z＝所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i 解析：选B　因为z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，所以A点坐标为(1，－1)，其对应的复数为1－i.‎ ‎3．(2019·浙江十校联盟适考)复数z＝(i为虚数单位)的虚部为________，其共轭复数在复平面内对应的点位于第________象限．‎ 解析：因为z＝＝＝1＋i，所以z的虚部为1，＝1－i，故复数z的共轭复数在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限．‎ 答案：1　四 ‎[谨记通法]‎ 对复数几何意义的理解及应用 ‎(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.‎ ‎(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(2019·浙江名校协作体联考)＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　B. C. D. 解析：选D　法一：＝＝＝1－2i，|1－2i|＝，即＝，故选D.‎ 法二：＝＝＝，故选D.‎ ‎2．(2019·嘉兴模拟)设复数z＝1－i(i是虚数单位)，则＋z等于(　　 )‎ A．2 B．－2‎ C．2i D．－2i 解析：选A　＋z＝＋1－i＝＋1－i＝1＋i＋1－i＝2.‎ ‎3．(2019·浙江期初联考)已知i是虚数单位，若复数z满足＝1－i，则z·＝(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．8‎ 解析：选B　由＝1－i，得z＝－1＝1＋2i，所以＝1－2i，则z·＝(1＋2i)(1－2i)＝5，故选B.‎ ‎4．(2018·全国卷Ⅱ)＝(　　)‎ A．－－i B．－＋i C．－－i D．－＋i 解析：选D　＝＝＝－＋i.‎ ‎[谨记通法]‎ 复数代数形式运算问题的解题策略 ‎(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．‎ ‎(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．‎ ‎[提醒]　在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．‎ ‎(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i；‎ ‎(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；‎ ‎(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，‎ i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.‎ 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 ‎1．(2019·浙江9＋1期中)已知i为虚数单位，表示复数的共轭复数，若z＝1＋i，则＝(　　)‎ A．2i　　　　　　　　　　 　B．－2i C．2 D．－2‎ 解析：选B　＝＝＝－2i.‎ ‎2．(2019·湖州模拟)已知复数(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a＝(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．0 D．2‎ 解析：选A　＝＝是纯虚数，所以a＋2＝0，解得a＝－2.‎ ‎3．(2018·杭州名校协作体二模)在复平面内，复数z和表示的点关于虚轴对称，则复数z为(　　)‎ A.＋i B.－i C．－＋i D．－－i 解析：选A　因为＝＝－＋i，其在复平面内对应的点为，所以由条件可知z＝＋i.故选A.‎ ‎4．(2019·金丽衢十二校联考)设a∈R，若复数z＝(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则a＝________，||＝________.‎ 解析：＝＝，‎ 所以a＋1＝1－a，解得a＝0.‎ 所以z＝＋i，所以||＝＝.‎ 答案：0　 ‎5．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.‎ 解析：∵|a＋bi|＝＝，‎ ‎∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.‎ 答案：3‎ 二保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．(2019·杭州质检)设z＝(i为虚数单位)，则＝(　　 )‎ A. B. C. D．2‎ 解析：选B　因为z＝＝＝－＋i，‎ 所以|z|＝＝，‎ 所以＝.‎ ‎2．(2019·宁波模拟)已知复数z满足z(1＋i)＝2－i，则z的虚部为(　　)‎ A．－i B.i C．－ D. 解析：选C　因为z(1＋i)＝2－i，所以z＝＝＝－i，所以其虚部为－.‎ ‎3．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z的共轭复数在复平面内对应的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B　由题意得，2zi－[－i(1＋i)]＝0，则z＝＝－－i，∴＝－＋i，其在复平面内对应的点在第二象限，故选B.‎ ‎4．已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2 018＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．i D．0‎ 解析：选C　∵z＝1＋＝1＋＝i，∴1＋z＋z2＋…＋z2 018＝＝＝＝i.‎ ‎5．(2019·杭州七校联考)已知复数z＝2＋ai(a∈R)，|(－1＋i)z|＝3，则a的值是(　　)‎ A．± B. C．± D. 解析：选A　法一：|(－1＋i)z|＝|(－2－a)＋(2－a)i|＝ ＝ ＝3，则a＝±，故选A.‎ 法二：|(－1＋i)z|＝|－1＋i|·|z|＝·＝3，则a＝±，故选A.‎ ‎6．(2018·嘉兴4月)若复数z满足(3＋i)z＝2－i(i为虚数单位)，则z＝________，|z|＝________.‎ 解析：因为(3＋i)z＝2－i，所以z＝＝＝，所以|z|＝.‎ 答案：　 ‎7．已知复数z满足＝i(其中i是虚数单位)，则|z|＝________.‎ 解析：由＝i知，z＋2＝zi－2i，即z＝，所以|z|＝＝＝2.‎ 答案：2‎ ‎8．已知a∈R，若为实数，则a＝________，＝________.‎ 解析：＝＝＝＋i，‎ ‎∵为实数，∴＝0，∴a＝－.‎ 所以＝.‎ 答案：－　 ‎9．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．‎ 解析：∵|z－2|＝＝，‎ ‎∴(x－2)2＋y2＝3.‎ 由图可知max＝＝.‎ 答案： ‎10．计算：(1)；‎ ‎(2)；‎ ‎(3)＋；‎ ‎(4).‎ 解：(1)＝＝－1－3i.‎ ‎(2) ‎＝ ‎＝＝ ‎＝＋i.‎ ‎(3)＋＝＋＝＋＝－1.‎ ‎(4)＝ ‎＝＝ ‎＝－－i.‎ 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．(2018·杭州二模)已知i是虚数单位，则＝(　　)‎ A．2＋i B．2－i C．－2＋i D．－2－i 解析：选B　＝＝－i(1＋2i)＝2－i.故选B.‎ ‎2．(2018·湖丽衢三地期末联考)已知a，b∈R，i是虚数单位，z1＝a＋i，z2＝b－i，若z1·z2是纯虚数，则ab＝________，|z1·z2|的最小值为________．‎ 解析：因为z1＝a＋i，z2＝b－i，所以z1·z2＝(a＋i)(b－i)＝ab＋1＋(b－a)i.因为z1·z2是纯虚数，所以ab＝－1.|z1·z2|＝＝＝≥＝2，当且仅当a＝－b时，等号成立．‎ 答案：－1　2‎ ‎3．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．‎ 解：1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i ‎＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i ‎＝＋(a2＋2a－15)i.‎ ‎∵1＋z2是实数，‎ ‎∴a2＋2a－15＝0，‎ 解得a＝－5或a＝3.‎ ‎∵a＋5≠0，‎ ‎∴a≠－5，故a＝3.‎