2018届二轮复习向量运算与复数运算算法合情推理课件（全国通用）

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第二讲 向量运算与复数运算、算法、合情推理 【 知识回顾 】 1. 平面向量 (1) 两个非零向量平行、垂直的充要条件 : 若 a =(x 1 ,y 1 ), b =(x 2 ,y 2 ), 则 ① a ∥ b ⇔ a =λ b ( b ≠ 0 ,λ∈R)⇔ __________; ② a ⊥ b ⇔ a · b =0⇔__________. x 1 y 2 -x 2 y 1 =0 x 1 x 2 +y 1 y 2 =0 (2) 重要结论 : ① 若 a 与 b 不共线 , 且 λ a +μ b = 0 , 则 λ=μ=0; ② 已知 ( λ,μ 为常数 ), 则 A,B,C 三点共线的充要条件是 λ+μ =1. (3) 三个性质 : ① 若 a =( x,y ), 则 | a |= =________; ② 若 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 则 ___________________; ③ 设 θ 为 a 与 b ( a ≠ 0 , b ≠ 0 ) 的夹角 , 且 a =(x 1 ,y 1 ), b =(x 2 ,y 2 ), 则 cosθ = _______________. 2. 复数 (1) 四则运算法则 : ①(a+ b i)±(c+di )=_______________(a, b , c,d∈R ); ②( a + b i)(c+di)=_________________( a , b ,c,d∈R); ③( a + b i)÷(c+di)= ( a , b ,c,d∈R, c+di≠0). ( a±c )+( b± d)i ( a c- b d)+( b c+ a d)i (2) 常用结论 : ①(1±i) 2 =_____;② =__;③ =___; ④- b + a i =i( a + b i);⑤i 4n =1,i 4n+1 =i,i 4n+2 =-1,i 4n+3 =-i, 其中 n∈N * . ±2i i -i 【 易错提醒 】 1. 忽略复数的定义致误 : 在解决与复数概念有关的问题时 , 在运用复数的概念时忽略某一条件而致误 . 2. 不能准确把握循环次数致误 : 解答循环结构的程序框图 ( 流程图 ) 问题 , 要注意循环次数 , 防止多一次或少一次的错误 . 3. 忽略特殊情况致误 : 两个向量夹角为锐角与向量的数量积大于 0 不等价 ; 两个向量夹角为钝角与向量的数量积小于 0 不等价 . 【 考题回访 】 1.(2016· 全国卷 Ⅰ) 设 (1+i)x=1+yi ，其中 x ， y 是实数，则 | x+yi |=( 　　 ) A.1 B. C. D.2 【 解析 】 选 B. 因为 (1+i)x=1+yi ， 所以 x+xi =1+yi ，得 x=y=1 ， 所以 | x+yi |=|1+i|= . 2.(2016· 全国卷 Ⅱ) 中国古代有计算多项 式值的秦九韶算法 , 如图是实现该算法的程 序框图 . 执行该程序框图 , 若输入的 x=2,n=2, 依次输入的 a 为 2,2,5, 则输出的 s=( 　　 ) A.7 B.12 C.17 D.34 【 解析 】 选 C. 第一次运算 :s=0 × 2+2=2,k=1; 第二次运算 :s=2×2+2=6,k=2; 第三次运算 :s=6×2+5=17,k=3, 结束循环 . 3.(2016· 全国卷 Ⅱ) 已知向量 a =(1 ， m) ， b =(3 ， -2) ，且 ( a + b )⊥ b ，则 m=( 　　 ) A.-8 B.-6 C.6 D.8 【 解析 】 选 D. a + b =(4 ， m-2) ，因为 ( a + b ) ⊥ b ，所以 ( a + b ) · b =12-2(m-2)=0 ，解得 m=8. 热点考向一 　平面向量的运算及应用 命题解读 : 考查向量的加法、减法及其几何意义、向量的坐标运算、向量的数量积及其综合应用 , 主要求向量的夹角、模、参数值或判断向量的平行、垂直关系 , 以选择题、填空题为主 . 【 典例 1】 (1)(2016 · 郑州一模 ) 已知点 P 为△ ABC 所在 平面内一点 , 边 AB 的中点为 D, 若 其中 λ∈R , 则 P 点一定在　 ( 　　 ) A.AB 边所在的直线上　 B.BC 边所在的直线上 C.AC 边所在的直线上　 D.△ABC 的内部 (2)(2016· 全国卷 Ⅰ) 设向量 a =(m ， 1) ， b =(1 ， 2) ，且 | a + b | 2 =| a | 2 +| b | 2 ，则 m=________. 【 解题导引 】 (1) 将 中的 转化 为 再利用 D 为 AB 的中点求解 . (2) 先求出 a + b 的坐标，再求出 | a + b | 2 ， | a | 2 ， | b | 2 ， 再列方程求解 . 【 规范解答 】 (1) 选 C. 因为 所以 因为 D 为 AB 的中点 , 所以 所以 P 一定在 AC 边 所在的直线上 . (2) 由已知得： a + b =(m+1 ， 3) ， 所以 | a + b | 2 =| a | 2 +| b | 2 ⇔ (m+1) 2 +3 2 =m 2 +1 2 +1 2 +2 2 ， 解得 m=-2. 答案： -2 【 规律方法 】 1. 向量模长的两种计算方法 (1) 转化为向量的数量积 . (2) 把向量转化为坐标的形式 , 利用公式运算求解 . 2. 求解向量数量积最值问题的两种思路 (1) 直接利用数量积公式得出代数式 , 依据代数式求最值 . (2) 建立平面直角坐标系 , 通过坐标运算得出函数式 , 转化为求函数的最值 . 【 题组过关 】 1.(2016 · 全国卷 Ⅲ) 已知向量 则∠ ABC= 　 ( 　　 ) A.30° B.45° C.60° D.120° 【 解析 】 选 A. 因为 所以 cos ∠ ABC = 即∠ ABC=30 ° . 2.(2016· 朔州一模 ) 点 O 为△ ABC 内一点，且满足 = 0 ，设△ OBC 与△ ABC 的面积分别为 S 1 ， S 2 ，则 =( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 延长 OC 到 D ，使 OD=4OC ，延长 CO 交 AB 于 E ， 因为 O 为△ ABC 内一点，且满足 所以 所以 O 为△ DAB 重心， E 为 AB 中点， 所以 OD∶OE=2∶1 ，所以 OC∶OE=1∶2 ，所以 CE∶OE =3∶2 ，所以 因为△ OBC 与 △ ABC 的面积分别为 S 1 ， S 2 ， 所以 3.(2016 · 衡水一模 ) 在等腰三角形 ABC 中 ,∠A=150°, AB=AC=1, 则 = 　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 4.(2016 · 佛山一模 ) 已知向量 a =(1,2), b =(1,0), c =(3,4), 若 λ 为实数 ,( b + λ a )⊥ c , 则 λ 的值为 ________. 【 解析 】 b + λ a =(1+ λ ,2 λ ), 因为 ( b + λ a ) ⊥ c , 所以 ( b + λ a ) · c =0, 即 3(1+ λ )+8 λ =0, 解得 λ = 答案 : 【 加固训练 】 1.(2015· 全国卷 Ⅱ) 设向量 a ， b 不平行，向量 λ a + b 与 a +2 b 平行，则实数 λ=________. 【 解析 】 因为向量 λ a + b 与 a +2 b 平行，所以 λ a + b =k( a +2 b ) ，则 答案： 2.(2015 · 全国卷 Ⅰ) 设 D 为△ ABC 所在平面内一点 , 则　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 由题知 3.(2016 · 福州一模 )AD,BE 分别是△ ABC 的中线 , 若 AD=BE=1, 且 的夹角为 120°, 则 =( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 由 解得 4. 在平行四边形 ABCD 中 ,AP⊥BD, 垂足为 P, 且 AP=3, 则 =________. 【 解析 】 设 AC ∩ BD=O, 则 答案 : 18 5.(2016 · 广州一模 ) 已知向量 a , b 满足 | b |=4, a 在 b 方 向上的投影是 , 则 a · b =________. 【 解析 】 设 a 与 b 的夹角为 θ , 则 a 在 b 方向上的投影为 | a |cosθ = , 所以 a · b =| a | · | b | cosθ =4× =2. 答案 : 2 热点考向二 　复数的概念及运算 命题解读 : 主要考查复数的有关概念 , 纯虚数、复数相等、共轭复数等 , 复数的四则运算中主要考查乘除运算 , 以选择题、填空题为主 . 【 典例 2】 (1)(2015· 全国卷 Ⅱ) 若 a 为实数且 (2+ai)(a-2i)=-4i ，则 a=( 　　 ) A.-1 　　　 B.0 　　　 C.1 　　　 D.2 (2)(2016· 朔州一模 ) 是复数 z 的共轭复数 , 若复数 满足 =1+i, 则 z=________. 【 解题导引 】 (1) 将 (2+ai)(a-2i)=-4i 转化为 m+ni 的形式，利用复数相等求解 .(2) 直接利用复数的代数形式的混合运算，以及共轭复数的概念求解 . 【 规范解答 】 (1) 选 B. 由题意得 4a+(a 2 -4)i=-4i ，所以 4a=0 ， a 2 -4=-4 ，解得 a=0. (2) 因为 =1+i, 所以 所以 z= 答案 : 【 规律方法 】 1. 与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题的解题思路 : (1) 变形分离出实部和虚部 , 把复数的非代数形式化为代数形式 .(2) 根据条件 , 列方程 ( 组 ) 求解 . 2. 与复数 z 的模 |z| 和共轭复数有关的问题的解题策略 (1) 设出复数 z 的代数形式 z=a+ b i(a , b∈ R), 代入条件 . (2) 待定系数法解决 . 【 题组过关 】 1.(2015· 全国卷 Ⅰ) 设复数 z 满足 =i ，则 |z|=( 　　 ) A.1 　　　　　 B. 　　　　　 C. 　　　　　 D.2 【 解析 】 选 A. 因为 =i ，所以 z= 故 |z|=1. 2.(2016· 蚌埠一模 ) =( 　　 ) A.-i 　　　 B.i 　　 C.1+i 　 D.1-i 【 解析 】 选 B. 3.(2016 · 广州一模 ) 设复数 z 1 =3+2i,z 2 =1-i, 则 　 ( 　　 ) A.2 　　　　 B.3 　　　　 C.4 　　　　 D.5 【 解析 】 选 D. 【 加固训练 】 1. 若复数 的实部与虚部 相等 , 则实数 b 等于 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 因为实部与虚部相等 , 所以 2 b +1=2- b , 即 b = 2.(2016 · 郑州一模 ) 复数 z 满足 z(1-i)=-1-i, 则 |z+1|= 　 ( 　　 ) A.0 　　　　 B.1 　　 C. D.2 【 解析 】 选 C. 因为 z(1-i)=-1-i, 所以 z(1-i)(1+i)=-(1+i) 2 , 所以 2z=-2i, 所以 z=-i, 所以 z+1=1-i, 则 |z+1|= . 3.(2016· 宝鸡二模 ) 已知复数 z 1 =1+ai,z 2 =3+2i, a∈R,i 是虚数单位 , 若 z 1 z 2 是实数 , 则 a= 　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A.z 1 z 2 =(1+ai)(3+2i)=3-2a+(3a+2)i, 因为 z 1 z 2 是实数 , 所以 3a+2=0, 所以 a= 热点考向三 　程序框图 ( 流程图 ) 命题解读 : 主要考查程序框图的应用及基本算法语句 , 特别是含有循环结构的程序框图 ; 与分段函数的求值、数列求和或求积 , 统计等有规律的重复计算问题放在一起、有时与实际问题交汇考查 , 多为选择题、填空题 . 命题角度一　求输入或输出值 【 典例 3】 (2015 · 全国卷 Ⅰ) 执行如图所示 的程序框图 , 如果输入的 t=0.01, 则输出的 n= 　 ( 　　 ) A.5 　　　　　 B.6 C.7 　　　　　 D.8 【 解题导引 】 当 S≤t 时 , 输出 n 的值 , 程序框图结束 . 【 规范解答 】 选 C. 执行第一次 ,t=0.01,S=1,n=0,m= =0.5,S=S-m=0.5,m= =0.25,n=1,S=0.5>t=0.01, 是 , 循环 ; 执行第二次 ,S=S-m=0.25,m= =0.125,n=2, S=0.25>t=0.01, 是 , 循环 ; 执行第三次 ,S=S-m=0.125,m= =0.0625,n=3, S=0.125>t=0.01, 是 , 循环 ; 执行第四次 ,S=S-m=0.0625,m= =0.03125,n=4, S=0.0625>t=0.01, 是 , 循环 ; 执行第五次 ,S=S-m=0.03125,m= =0.015625,n=5, S=0.03125>t=0.01, 是 , 循环 ; 执行第六次 ,S=S-m=0.015625,m= =0.0078125,n=6, S=0.015625>t=0.01, 是 , 循环 ; 执行第七次 ,S=S-m=0.0078125,m= =0.00390625,n=7, S=0.0078125>t=0.01, 否 , 输出 n=7. 【 母题变式 】 1. 若把本例题的条件 t=0.01 变为 t=0.02, 求输出的 n 值 . 【 解析 】 执行第一次 ,t=0.01,S=1,n=0,m= =0.5, S=S-m=0.5,m= =0.25,n=1,S=0.5>t=0.02, 是 , 循环 ; 执行第二次 ,S=S-m=0.25,m= =0.125,n=2, S=0.25>t=0.02, 是 , 循环 ; 执行第三次 ,S=S-m=0.125,m= =0.0625,n=3, S=0.125>t=0.02, 否 , 输出 n=3. 2. 若把本例题的条件 t=0.01 变为 t=0.55, 循环体中 , 交换 S=S-m 与 m= ,n=n+1 的位置 , 结果如何 ? 【 解析 】 执行第一次 ,m= =0.25,n=1,S=0.75>t =0.55, 是 , 循环 ; 执行第二次 ,m= =0.125,n=2,S=0.625>t=0.55, 是 , 循环 ; 执行第三次 ,m= =0.0625,n=3,S=0.5625>t=0.55, 是 , 循环 ; 执行第四次 ,m= =0.03125,n=4,S=0.53125>t=0.55, 否 , 输出 n=4. 命题角度二　完善程序框图 ( 流程图 ) 【 典例 4】 (2016 · 福州一模 ) 执行如图所示 的程序框图 , 若输出的 S=88, 则判断框内应 填入的条件是　 ( 　　 ) A.k >7? 　　　　　 B.k >6? C.k >5? 　　　　　 D.k >4? 【 解题导引 】 分析程序中各变量、各语句的作用 , 再根据程序框图所示的顺序可知 : 该程序的作用是累加并输出 S 的值 , 判断框内的语句决定是否结束循环 , 模拟执行程序即可得到答案 . 【 规范解答 】 选 C. 程序在运行过程中各变量值变化 如下表 : 　　　 k 　 S 　　是否继续循环 循环前 1 　 0 第一次 2 　 2 　　　　是 第二次 3 　 7 　　　　是 第三次 4 　 18 　　　　是 第四次 5 　 41 　　　　是 第五次 6 　 88 　　　　否 故退出循环的条件应为 k>5? 或 k≥6?. 【 规律方法 】 解答程序框图 ( 流程图 ) 问题的关注点 (1) 要读懂程序框图 , 熟练掌握程序框图的三种基本结构 , 特别是循环结构 ( 在如累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中 , 都有循环结构 ). (2) 准确把握控制循环的变量 , 变量的初值和循环条件 , 弄清在哪一步结束循环 ; 弄清循环体和输入条件、输出结果 . (3) 对于循环次数比较少的可逐步写出 , 对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果 , 找出规律 . 【 题组过关 】 1.(2016· 全国卷 Ⅲ) 执行如图所示的程 序框图 , 如果输入的 a=4, b =6, 那么输出的 n= 　 ( 　　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 【 解题导引 】 注意 a, b 的变化 . 【 解析 】 选 B. 执行第一次循环的情况是 :a=2, b =4,a=6, s=6,n=1; 执行第二次循环的情况是 :a=-2, b =6,a=4, s=10,n=2, 执行第三次循环的情况是 :a=2, b =4,a=6, s=16,n=3, 执行第四次循环的情况是 :a=-2, b =6,a=4, s=20,n=4. 根据走出循环体的判断条件可知执行完第 四次走出循环体 , 输出 n 值 ,n 值为 4. 2.(2015· 全国卷 Ⅱ) 如图程序框图 的算法思路源于我国古代数学名著 《 九章算术 》 中的“更相减损术” . 执行该程序框图 , 若输入的 a, b 分别 为 14,18, 则输出的 a 为　 ( 　　 ) A.0 　　　 B.2 　　　 C.4 　　　 D.14 【 解析 】 选 B. 程序在执行过程中 ,a, b 的值依次为 a=14, b =18; b =4;a=10;a=6;a=2; b =2, 此时 a= b =2 程序结束 , 输 出 a 的值为 2. 3.(2016 · 广州一模 ) 执行如图所示的 程序框图 , 输出的结果为　 ( 　　 ) A.(-2,2) B.(-4,0) C.(-4,-4) D.(0,-8) 【 解析 】 选 B. 模拟程序框图的运行过程 , 如下 ; x=1,y=1, k=0 时 ,s= x-y =0,t= x+y =2; x=s=0,y=t=2, k=1 时 ,s= x-y =-2,t= x+y =2; x=s=-2,y=t=2, k=2 时 ,s= x-y =-4,t= x+y =0; x=s=-4,y=t=0, k=3 时 , 循环终止 , 输出 ( x,y ) 是 (-4,0). 【 加固训练 】 1.(2016 · 长沙二模 ) 执行如图的程序框图 , 若程序运行中输出的一组数是 (x,-12), 则 x 的值为　 ( 　　 ) A.27 　　　 B.81 　　　 C.243 　　　 D.729 【 解析 】 选 B. 由程序框图可知 : n 3 5 7 9 x 3 3 2 3 3 3 4 y -3 -6 -9 -12 2.(2016· 福州一模 ) 阅读如图所示的 程序框图 , 若输入 a=0.45, 则输出的 k 值 是　 ( 　　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 【 解析 】 选 D. 该程序框图计算的是数列前 n 项和 , 其中 数列通项为 a n = 因为 S n >0.45, 所以 n>4.5, 所以 n 最小值为 5 时满足 S n >0.45, 由程序框图可得输出 的 k 值是 6. 3.(2016 · 石家庄一模 ) 执行如图的 程序框图 , 如果输入的 N=10, 则输出 的 x= 　 ( 　　 ) A.0.5 B.0.8 C.0.9 D.1 【 解析 】 选 C. 4.(2016 · 成都一模 ) 执行如图的程序框图 , 若输出 i 的值为 12, 则① ,② 处可填入的条件 分别为　 ( 　　 ) A.S>384?,i=i+1 　　 B.S≥384?,i=i+2 C.S>3840?,i=i+1 D.S≥3840?,i=i+2 【 解析 】 选 D. 从选项中可知②处填 i+1 或 i+2. 如果②处填 i+1, 则 S=1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 ×… 不会出现 384 或 3840, 如果②处填入 i=i+2, 则 S=1 × 2 × 4 × 6 × 8 × 10 =3840. 热点考向四 　合情推理 命题解读 : 主要以数表、数阵、图形等为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理、类比推理 , 以填空题为主 . 【 典例 5】 (1) 观察下列等式 : 据此规律 , 第 n 个等式可为 __________. (2)(2016 · 葫芦岛一模 )36 的所有正约数之和可按如下 方法得到 : 因为 36=2 2 ×3 2 , 所以 36 的所有正约数之和为 (1+3+3 2 )+(2+2×3+2×3 2 )+(2 2 +2 2 ×3+2 2 ×3 2 )=(1+2+2 2 ) (1+3+3 2 )=91, 参照上述方法 , 可求得 200 的所有正约数 之和为 ________. 【 解题导引 】 (1) 观察已知等式左右两侧分母的变化规律 , 利用归纳推理解决 . (2) 可采用类比的方法 , 先将 200 分解成质因数的乘积 , 然后依据质因数写出它所有正约数的和 . 【 规范解答 】 (1) 等式左边的通项为 前 n 项 和为 等式右边的每个式子的 第一项为 共有 n 项 , 故为 故第 n 个等式可为 答案 : (2) 类比 36 的所有正约数之和的方法有 :200 的所有正约数之和可按如下方法得到 : 因为 200=2 3 ×5 2 , 所以 200 的所有正约数之和为 (1+2+2 2 +2 3 )(1+5+5 2 )=465, 所以 200 的所有正约数之和为 465. 答案 : 465 【 规律方法 】 合情推理的解题思路 (1) 在进行归纳推理时 , 要根据已知的部分个体 , 适当变形 , 找出它们之间的联系 , 从而归纳出一般结论 . (2) 在进行类比推理时 , 要充分考虑已知对象性质的推理过程 , 然后通过类比 , 推导出类比对象的性质 . (3) 归纳推理关键是找规律 , 类比推理关键是看共性 . 【 题组过关 】 1.(2016 · 长沙二模 ) 已知 2 1 ×1=2,2 2 ×1×3=3×4, 2 3 ×1×3×5=4×5×6,…, 以此类推 , 第 5 个等式为 ( 　　 ) A.2 4 ×1×3×5×7=5×6×7×8 B.2 5 ×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9 C.2 4 ×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10 D.2 5 ×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10 【 解析 】 选 D. 因为 2 1 × 1=2,2 2 × 1 × 3=3 × 4, 2 3 × 1 × 3 × 5=4 × 5 × 6, … , 所以第 5 个等式为 2 5 ×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10. 2. 已知 θ∈ 由不等式 归纳得到推广结论 : tanθ + ≥n+1(n∈N * ), 则实数 m=________. 【 解析 】 观察所给三个不等式的特点可以发现 , 分母 中 tan θ 的指数是 k 时 , 分子是 k k , 不等式右端为 k+1, 故 所以 m= n n . 答案 : n n