河北省博野中学2019-2020学年高二11月月考数学试题

河北省博野中学2019-2020学年高二11月月考数学试题

博野中学高二第一学期11月月考数学卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 设,则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不重复条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知定点,,是圆：上任意一点,点关于点的对称点为,线段的中垂线与直线相交于点,则点的轨迹是  ‎ A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 3. 已知,是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,且,则此椭圆离心率的取值范围是    ‎ A. B. C. D. ‎ 4. 四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,,,且,,平面ABCD且,则PB与平面PCD所成角的正弦值为(    )‎ A. B. C. D. ‎ 5. 如图,已知直线与抛物线相交于A,B两点,且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M,N,若,则的值是 A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ 1. 方程表示的曲线是  ‎ A. 一条直线 B. 两条直线 C. 一个圆 D. 两个半圆 2. 设F为抛物线的焦点,过F且倾斜角为的直线交C于两点,O为坐标原点,则的面积为        ‎ A. B. C. D. ‎ 3. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II,其余部分记为在整个图形中随机取一点,此点取自I,II,III的概率分别记为,,,则(    ) ‎ A. B. C. D. ‎ 4. 设分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ 5. 给出下列四个命题：‎ 若样本数据的方差为,则数据的方差为；‎ ‎“平面向量的夹角为锐角,则”的逆命题为真命题；‎ 命题“∀,均有”的否定是“,均有”；‎ 是直线与直线平行的必要不充分条件．‎ 其中正确的命题个数是 A. B. C. D. ‎ 1. 已知抛物线C：的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若,则(    )‎ A. B. ‎3 ‎C. D. 2‎ 2. 已知F为抛物线C：的焦点,过F作两条互相垂直的直线,,直线与C交于A、B两点,直线与C交于D、E两点,则的最小值为  ‎ A. 16 B. ‎14 ‎C. 12 D. 10‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 3. ‎“”是“直线和直线平行”的______ 条件填“充要”,“充分不必要”,“必要不充分”,“既不充分也不必要”‎ 4. 已知椭圆C：,点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则_____．‎ 5. 设是过抛物线焦点的弦,其垂直平分线交轴于点,设,则的值是________‎ 6. 如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于B,C两点,且,则该椭圆的离心率是________． ​‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 7. 某市为了引导居民合理用水,居民生活用水实行二级阶梯式水价计量方法,具体如下；第一阶梯,每户居民每月用水量不超过12吨,价格为4元吨；第二阶梯,每户居民用水量超过12吨,超过部分的价格为8元吨,为了了解全是居民月用水量的分布情况,通过抽样获得了 ‎100户居民的月用水量单位：吨,将数据按照全市居民月用水量均不超过16吨分成8组,制成了如图1所示的频率分布直方图．‎ ‎  ‎ Ⅰ求频率分布直方图中字母的值,并求该组的频率；‎ Ⅱ通过频率分布直方图,估计该市居民每月的用水量的中位数的值保留两位小数；‎ Ⅲ如图2是该市居民张某2016年月份的月用水费元与月份的散点图,其拟合的线性回归方程是,若张某2016年月份水费总支出为312元,试估计张某7月份的用水吨数．‎ ‎18.椭圆的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为． 当l与x轴垂直时,求直线AM的方程； 设O为坐标原点,证明：．‎ ‎19.已知椭圆：,点,．‎ Ⅰ若直线与椭圆交于,两点,且为线段的中点,求直线的斜率；‎ Ⅱ若直线：与椭圆交于,两点,求的面积的最大值． ‎ ‎20.在四棱锥中,底面ABCD是边长为2的菱形,,,面ABCD,E、F分别为BC、PA的中点． 求证：平面PDE； 求二面角的正弦值； 求点C到平面PDE的距离．‎ ‎21.如图,已知直三棱柱中,,E是棱上的动点,F是AB的中点,,． 当E是棱的中点时,求证：平面； 在棱上是否存在点E,使得二面角的大小是？若存在,求出CE的长,若不存在,请说明理由． 22.设抛物线的焦点为F,过点的动直线交抛物线于不同两点,线段PQ中点为M,射线MF与抛物线交于点A．‎ 求点M的轨迹方程；‎ 求面积的最小值． ‎ 高二数学期中考试答案 ‎【答案】‎ ‎1. A 2. D 3. C 4. B 5. C 6. D 7. D 8. A 9. D 10. B 11. B 12. A ‎ ‎13. 充分不必要  ‎ ‎14. 12  ‎ ‎15. 2  ‎ ‎16.   ‎ ‎17. 解：Ⅰ, 第四组的频率为： Ⅱ Ⅲ且 张某7月份的用水费为 设张某7月份的用水吨数吨, , 则张某7月份的用水吨数15吨．  ‎ ‎18. 解：, , 与x轴垂直, , 由,解得或, ．,或, 直线AM的方程为或, 证明：当l与x轴重合时,, 当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,, 当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为,, ‎ ‎,,则,, 直线MA,MB的斜率之和为,之和为, 由,得, 将代入可得, ,, 从而, 故MA,MB的倾斜角互补, , 综上．  ‎ ‎19. 解：设,故, 将两式相减,可得, 即, 因为A为线段MN的中点,所以, 得, 即, 故直线MN的斜率 联立可得, 由, 设,由根与系数的关系可得    , 又因为点B到直线的距离 , ‎ 当且仅当,即时取等号． 故的面积的最大值为．  ‎ ‎20. 解：如图所示,取PD中的G,连结GF、GE, 、F分别为BC、PA的中点,． 所以四边形BFGE是平行四边形, 平面PDE． Ⅱ作与E,作于I,连结DI,可得面PAB, ,又因为,,面DIH, 即为二面角的平面角, 在直角中,, 二面角的正弦值为． Ⅲ设点C到平面PDE的距离为h, ,, ,解得, 点C到平面PDE的距离为．  ‎ ‎21. 解：取中点M,连接EM、FM-----------------分 中,M、F分别是AB、的中点, 且, 又矩形中,且, 且,可得四边形MFCE是平行四边形-------------分 平面,平面, 平面----------------------分 ‎ 以CA、CB、为x、y、z轴,建立如图空间直角坐标系, 可得0,,2,,设,得0, 0,,2, 设平面的法向量为y, 则有,解之并取,得 平面的法向量为0,,-------------------分 当二面角的大小是时,有 ,,解之得． 因此,在棱上存在点E,当时,二面角的大小是-------------分  ‎ ‎22. 解：设直线PQ方程为,代入,得： , 设,,则,,, 所以． 设,由,消去t得中点M的轨迹方程为． 设,, 又,,于是, 由A点在抛物线上,得, 又,,, 点A到直线PQ的距离, 又． 面积, 设,,有, 故在上是减函数,在上是增函数, ‎ 当时取到最小值． 面积的最小值是．  ‎ ‎【解析】‎ ‎1. 【分析】 本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断、不等式的解法,属于基础题利用必要条件、充分条件与充要条件的判断,关键要分清条件与结论,即可得结果． 【解答】 由得, 由得, 故是的充分不必要条件． 故选A．‎ ‎2. 【分析】 本题以圆为载体,考查了利用双曲线的定义判断圆锥曲线的类型的问题,解决本题的关键是由N为圆上一点可得,结合N为的中点,由三角形中位线的性质可得,还要灵活应用垂直平分线的性质得到解决本题的第二个关键点从而根据圆锥曲线的定义可求解,体现了转化思想的应用． 【解答】 解：连接ON,由题意可得,且N为的中点,所以 因为点关于点N对称点为M,线段的中垂线与直线相交于点P, 由垂直平分线的性质可得 所以 由双曲线的定义可得点P得轨迹是以为焦点的双曲线, 故选：D．‎ ‎3. 【分析】 本题主要考查椭圆的几何性质,设点,用向量表示,从而可求． 【解答】 解：设,则,, ‎ 由,得, , 又椭圆中,,, 即, 解得, 故选C 椭圆离心率的取值范围为．‎ ‎4. 解：依题意,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP 为x,y,z轴建立空间直角坐标系,,,,则0,, 0,,2,,3,, 从而0,,2,,3,, 设平面PCD的法向量为b,,即, 不妨取,则,, 所以平面PCD的一个法向量为2,, 所以PB与平面PCD所成角的正弦值 ,, 故选：B． 以A为坐标原点建立空间直角坐标系,求出 ,平面PCD的法向量,即可求PB与平面PCD所成角的正弦值； 本题考查了空间向量的应用,线面角的计算,属于中档题．‎ ‎5. 【分析】 直线恒过定点,由此推导出,由此能求出点B的坐标,从而求出k的值。 【解答】 解答：设抛物线的准线为直线恒过定点,‎ ‎​ 如图过 B分别作于M,于N, 由, 则,点B为AP的中点、连接OB, 则, ,点B的横坐标为, 点B的坐标为, 把B代入直线, 解得, 故选C．‎ ‎6. 由题意当时,平方整理得,若,则是以为圆心,以1为半径的右半圆 ,若,则是以为圆心,以1为半径的左半圆,方程表示的曲线是以为圆心,以1为半径的右半圆与以为圆心,以1为半径的左半圆合起来的图形．‎ ‎7. 【分析】 本题考查直线与抛物线的位置关系,考查数学转化思想方法,涉及直线和圆锥曲线关系问题,常采用联立直线和圆锥曲线,然后利用一元二次方程的根与系数关系解题,是中档题． 由抛物线方程求出焦点坐标,由直线的倾斜角求出斜率,写出过A,B两点的直线方程,和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程,由根与系数关系得到A,B两点纵坐标的和与积,把的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案． 【解答】 解：由,得,, 则． 过A,B的直线方程为, ‎ 即． 联立,得． 设,, 则,, ． 故选：D．‎ ‎8. 【分析】 本题考查的是面积型几何概型的有关问题,题中需要解决的是概率的大小,根据面积型几何概型的概率公式,将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小,利用相关图形的面积公式求得结果． 首先设出直角三角形三条边的长度,根据其为直角三角形,从而得到三边的关系,之后应用相应的面积公式求得各个区域的面积,根据其数值大小,确定其关系,再利用面积型几何概型的概率公式确定出,,的关系,从而求得结果． 【解答】 解：设,则有, 从而可以求得的面积为, 黑色部分的面积为 其余部分的面积为, 所以有, 根据面积型几何概型的概率公式,可以得到, 故选A．‎ ‎9. 【分析】‎ 本题考查双曲线的定义和双曲线的简单性质的应用,其中,判断是直角三角形是解题的关键．‎ 利用向量的加减法可得,故有,可得,由勾股定理求出离心率． 【解答】‎ 解：,‎ ‎, ,,‎ ‎,  中,,‎ 由双曲线的定义得  ,, 由勾股定理得,‎ ‎ 故选D．‎ ‎10. 【分析】 本题主要考查命题的真假判断与应用由方差、逆命题、全称命题与存在命题的关系、必要不充分条件的定义可判断得答案． 【解答】 解：中数据的方差为,所以正确； ‎ 当时,所以逆命题为假命题,所以错误； 根据全称命题与存在命题的关系可知,此命题正确； 若直线与直线平行,则解得 所以是两直线平行的充分不必要条件,所以错误, 综上所述：正确的命题个数为2, 故选B．‎ ‎11. 【分析】 本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线的位置关系,属于中档题． 求得直线PF的方程,与联立可得,利用可求． 【解答】 解：设Q到l的距离为d,则, , , 不妨设直线PF的斜率为, , 直线PF的方程为, 与联立可解得, , 故选B．‎ ‎12. 解：如图,,直线与C交于A、B两点, 直线与C交于D、E两点, 要使最小, 则A与D,B与E关于x轴对称,即直线DE的斜率为1, 又直线过点, 则直线的方程为, 联立方程组,则, ,, , ‎ 的最小值为, 故选A． 根据题意可判断当A与D,B与E关于x轴对称,即直线DE的斜率为1,最小,根据弦长公式计算即可． 本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系,弦长公式,属于中档题．‎ ‎13. 【分析】 本题考查了充分必要条件,考查直线的平行关系以及集合的包含关系,是一道基础题根据充分必要条件的定义结合直线的平行关系判断即可． 【解答】 解：时,和平行,是充分条件, 若直线和直线平行, 时两直线不平行,故, 则有,解得：或,不是必要条件, 故答案为充分不必要．‎ ‎14. 【分析】 本题考查椭圆的定义,椭圆的基本性质的应用,是对基本知识的考查． 画出图形,利用中点坐标以及椭圆的定义,即可求出的值． 【解答】 解：如图： MN的中点为Q,易得,, 在椭圆C上, ‎ ‎, ． 故答案为12．‎ ‎15. 【分析】 本题考查抛物线的定义及简单几何性质,考查直线与抛物线的位置关系首先设出A,B两点坐标,写出AB的垂直平分线方程,令,得到点G 坐标,进而求得,结合抛物线的定义求得,即可求出的值． 【解答】 解：由题意,设,, , 则AB的垂直平分线方程为：, 令,得到, , 由抛物线的定义得, , ． 故答案为2．‎ ‎16. 【分析】 本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为,考查化简整理的运算能力,设右焦点,将代入椭圆方程求得B,C的坐标,运用两直线垂直的条件：斜率之积为,结合离心率公式,计算即可得到所求值方法二、运用向量的数量积的性质,向量垂直的条件：数量积为0,结合离心率公式计算即可得到所求属于中档题． 【解答】 解：设右焦点, 将代入椭圆方程可得, 可得,, 由,可得, ‎ 即有, 化简为, 由,即有, 由,可得, 可得,另解：设右焦点, 将代入椭圆方程可得, 可得,, ,, ,则十, 因为,代入得, 由,可得, 可得． 故答案为．‎ ‎17. Ⅰ根据小长方形的面积之和为1,即可求出a； Ⅱ由频率分布直方图估计样本数据的中位数,规律是：中位数,出现在概率是的地方； Ⅲ根据回归方程即可求出答案．‎ ‎18. 本题考查了直线和椭圆的位置关系,以韦达定理,考查了运算能力和转化能力,属于中档题． 先得到F的坐标,再求出点A的方程,根据两点式可得直线方程, 分三种情况讨论,根据直线斜率的问题,以及韦达定理,即可证明．‎ ‎19. 本题考查了直线与椭圆的位置关系,弦长公式和点到直线的距离,也考查了点差法在弦中点的应用,计算能力和均值不等式,属于中档题． 因为,得,由,,由弦长公式可得点B到直线的距离由 计算即可．‎ ‎20. 取PD中的G,连结GF、GE,得到四边形BFGE是平行四边形,即可得到平面PDE． Ⅱ作与E,作于I,连结DI,可得即为二面角的平面角, 在直角中,求解即可 Ⅲ设点C到平面PDE的距离为h, 由,求得h,即为点C到平面PDE的距离 本小题主要考查直线平行与平面的判定,以及几何法求二面角,等体积法求点面距离,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于中档题．‎ ‎21. 取中点M,连接EM、FM,在中根据中位线定理,得且,在矩形中,且,得到四边形MFCE是平行四边形,,从而证出平面； 以CA、CB、为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,设,得到A、和E各点的坐标,根据垂直向量的数量积为零的方法列方程组并解之,得到平面的法向量为,再由题意得到平面的法向量和平面的法向量夹角的余弦绝对值为,由此建立关系式,可解出,从而得出存在点满足条件的点E． 本题在直三棱柱中,求证线面平行并探索二面角的大小能否为45度,着重考查了直线与平面垂直的判定、用空间向量研究二面角的大小等知识点,属于中档题．‎ ‎22. 本题考查点的轨迹方程的求法,考查三角形面积的最小值的求法,考查抛物线、直线方程、弦长公式、韦达定理、点到直线距离公式等基础知识,考查函数与方程思想,考查运算求解能力,是中档题． 设直线PQ方程为,代入,得,利用韦达定理、中点坐标公式,能求出点M的轨迹方程． 设,,由,,得,由A点在抛物线上,得,由此利用点到直线的距离公式、弦长公式,结合已知条件能求出面积的最小值．‎ ‎ ‎