北京市中国人民大学附属中学2020届高三4月质量检测数学试题

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人大附中2019~2020学年度高三4月质量检测试题 数学 ‎2020年4月13日 第一部分 一、选择题（本大题共10个小题，在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上.）‎ ‎1.集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，再计算交集得到答案.‎ ‎【详解】，，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.‎ ‎2.已知复数是正实数，则实数的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.‎ ‎【详解】因为为正实数，‎ 所以且，解得.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.‎ ‎3.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.‎ ‎【详解】A. ，值域为，非奇非偶函数，排除； ‎ B. ，值域为，奇函数，排除；‎ C. ，值域为，奇函数，满足； ‎ D. ，值域为，非奇非偶函数，排除；‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.‎ ‎4.设等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. 10 B. ‎9 ‎C. 8 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，解得，，得到答案.‎ ‎【详解】，解得，，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.‎ ‎5.在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为，由任意角的三角函数的定义可以求得的值，依题有,则，利用诱导公式即可得到答案.‎ ‎【详解】如图，设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为 因为点在角的终边上，所以 依题有,则，‎ 所以，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.‎ ‎6.设为非零实数，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案.‎ ‎【详解】，故，，故正确；‎ 取，计算知错误；‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.‎ ‎7.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示：在边长为正方体中，四棱锥满足条件，故，得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件.‎ 故，，.‎ 故，故，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎8.已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，‎ 设，，则，‎ 当，即时等号成立.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎9.已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）‎ ‎①绕着轴上一点旋转; ‎ ‎②沿轴正方向平移;‎ ‎③以轴为轴作轴对称;‎ ‎④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.‎ A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.‎ ‎【详解】，，，‎ 当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确；‎ ‎，，‎ 故，函数关于对称，故④正确；‎ 根据图像知：①③不正确；‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.‎ ‎10.设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案.‎ ‎【详解】，画出函数图像，如图所示：‎ 根据图像知：，，故，且.‎ 故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.‎ 第二部分 二、填空题（本大题共6个小题）‎ ‎11.在二项式的展开式中，的系数为________.‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用二项式定理计算得到答案 ‎【详解】二项式的展开式通项为：，‎ 取，则的系数为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎12.若向量满足，则实数的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意计算，解得答案.‎ ‎【详解】，故，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.‎ ‎13.在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从‎2月7日到‎2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：‎ 根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处.‎ ‎①_________________________________________________.‎ ‎②_________________________________________________.‎ ‎【答案】 (1). 甲省比乙省的新增人数的平均数低 (2). 甲省比乙省的方差要大 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据折线图得到答案.‎ ‎【详解】根据折线图知：‎ ‎①甲省比乙省的新增人数的平均数低；②甲省比乙省的方差要大.‎ 故答案为：甲省比乙省的新增人数的平均数低；甲省比乙省的方差要大.‎ ‎【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.‎ ‎14.函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增，则的最大值为________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接计算得到答案，根据题意得到，，解得答案.‎ ‎【详解】，故，当时，，‎ 故，解得.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎15.集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________‎ ‎①的值可以为2；‎ ‎②的值可以为；‎ ‎③的值可以为；‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算：，得到，，得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，‎ 集合：，故，即或，‎ 集合：，是平面上正八边形的顶点所构成的集合，‎ 故所在的直线的倾斜角为，，故：，‎ 解得，此时，，此时.‎ 故答案为：②③.‎ ‎【点睛】本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键.‎ 三、解答题（本大题共6个小题，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）‎ ‎16.已知函数（，）满足下列3个条件中的2个条件：‎ ‎①函数的周期为；‎ ‎②是函数的对称轴；‎ ‎③且在区间上单调.‎ ‎（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若，求函数的值域.‎ ‎【答案】（Ⅰ）只有①②成立，；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案.‎ ‎（Ⅱ）得到，得到函数值域.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由①可得，；由②得：，；‎ 由③得，，，；‎ 若①②成立，则，，，‎ 若①③成立，则，，不合题意，‎ 若②③成立，则，，‎ 与③中的矛盾，所以②③不成立，‎ 所以只有①②成立，.‎ ‎（Ⅱ）由题意得，，‎ 所以函数的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎17.在四棱锥的底面中，，，平面，是的中点，且 ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）线段上是否存在点，使得，若存在指出点的位置，若不存在请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，点为线段的中点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）连结，，，则四边形为平行四边形，得到证明.‎ ‎（Ⅱ）建立如图所示坐标系，平面法向量为，平面的法向量，计算夹角得到答案.‎ ‎（Ⅲ）设，计算，，根据垂直关系得到答案.‎ ‎【详解】（Ⅰ）连结，，，则四边形为平行四边形.‎ 平面.‎ ‎（Ⅱ）平面，四边形为正方形.‎ 所以，，两两垂直，建立如图所示坐标系，‎ 则，，，，‎ 设平面法向量为，则，‎ 连结，可得，又所以，平面，‎ 平面的法向量，‎ 设二面角的平面角为，则.‎ ‎（Ⅲ）线段上存在点使得，设，‎ ‎，，，‎ 所以点为线段的中点.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行，二面角，根据垂直关系确定位置，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎18.2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:‎ ‎(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;‎ ‎(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)‎ ‎【答案】(Ⅰ)万；(Ⅱ)分布列见解析， ；(Ⅲ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.‎ ‎(Ⅱ) 的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.‎ ‎(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，解得答案.‎ ‎【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.‎ ‎(Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.‎ ‎，，.‎ 故分布列为：‎ ‎(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，故.‎ 故最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎19.设函数其中 ‎(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;‎ ‎(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)求导得到，，解得答案.‎ ‎(Ⅱ) ，故，在上单调递减，在上单调递增，，设，证明函数单调递减，故，得到证明.‎ ‎【详解】(Ⅰ)，故，‎ ‎，故.‎ ‎(Ⅱ) ，即，存在唯一零点，‎ 设零点为，故，即，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 故 ‎，‎ 设，则，‎ 设，则，单调递减，‎ ‎，故恒成立，故单调递减.‎ ‎，故当时，.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.‎ ‎20.设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点.‎ ‎(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积;‎ ‎(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:;‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)计算得到故，，，，计算得到面积.‎ ‎(Ⅱ) 设为，联立方程得到，计算，同理，根据得到，得到证明.‎ ‎(Ⅲ) 设中点为，根据点差法得到，同理，故 ‎，得到结论.‎ ‎【详解】(Ⅰ)，，故，，，.‎ 故四边形的面积为.‎ ‎(Ⅱ)设为，则，故，‎ 设，，故，‎ ‎，‎ 同理可得，‎ ‎，故，‎ 即，，故.‎ ‎(Ⅲ)设中点为，则，，‎ 相减得到，即，‎ 同理可得：的中点，满足，‎ 故，故四边形不能为矩形.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎21.对于正整数，如果个整数满足，‎ 且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.‎ ‎(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;‎ ‎(Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;‎ ‎(Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.‎ ‎(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)‎ ‎【答案】(Ⅰ) ，，，，；(Ⅱ) 为偶数时，，为奇数时，；(Ⅲ)证明见解析，，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据题意直接写出答案.‎ ‎(Ⅱ)讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案.‎ ‎(Ⅲ) 讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故，当为偶数时， ‎ 根据对应关系得到，再计算，，得到答案.‎ ‎【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.‎ ‎(Ⅱ)当为偶数时，时，最大为；‎ 当为奇数时，时，最大为；‎ 综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.‎ ‎(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；‎ 当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，‎ 则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，‎ 故.‎ 综上所述：.‎ 当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；‎ 当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，‎ 故；‎ 当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故.‎ 综上所述：使成立的为：或.‎ ‎【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎ ‎