2015年高考真题——数学理（新课标Ⅰ）解析版

2015年高考真题——数学理（新课标Ⅰ）解析版

绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 (1)设复数 z 满足 = ，则|z|=( ) （A）1 （B） （C） （D）2 【答案】A （2） =( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】D 1 1 z z   i 2 3 o o o osin 20 cos10 cos160 sin10 3 2 3 2 1 2 1 2 （3）设命题 ： ，则 为( ) （A） （B） （C） （D） [来源:学科网] 【答案】C （4）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且 各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 【答案】A （5）已知 M（ ）是双曲线 C： 上的一点， 是 C 上的两个焦点，若 ， 则 的取值范围是( ) （A）（- ， ） （B）（- ， ） （C） （ ， ） （D）（ ， ） 【答案】A p 2, 2nn N n   p 2, 2nn N n   2, 2nn N n   2, 2nn N n   2, =2nn N n  0 0,x y 2 2 12 x y  1 2,F F 1 2 0MF MF   0y 3 3 3 3 3 6 3 6 2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 3 【解析】由题知 ， ，所以 = = ，解得 ，故选 A. 【考点定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法. 【名师点睛】本题考查利用向量数量积的坐标形式将 表示为关于点 M 坐标的函数，利用点 M 在 双曲线上，消去 x0，根据题意化为关于 的不等式，即可解出 的范围，是基础题，将 表示为 的函数是解本题的关键. （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺， 高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆 为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（ ） (A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛[来源:学*科*网 Z*X*X*K] 【答案】B[来源:学科网 ZXXK] （7）设 为 所在平面内一点 ，则（ ） （A） (B) 1 2( 3,0), ( 3,0)F F 2 20 0 12 x y  1 2MF MF  0 0 0 0( 3 , ) ( 3 , )x y x y      2 2 2 0 0 03 3 1 0x y y     0 3 3 3 3y   1 2MF MF  0y 0y 1 2MF MF  0y D ABC 3BC CD  1 4 3 3AD AB AC     1 4 3 3AD AB AC    （C） (D) 【答案】A (8)函数 = 的部分图像如图所示，则 的单调递减区间为( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】D （9）执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=( ) 4 1 3 3AD AB AC    4 1 3 3AD AB AC    ( )f x cos( )x  ( )f x 1 3( , ),4 4k k k Z    1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z    1 3( , ),4 4k k k Z   1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z   （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 【答案】C 【解析】执行第 1 次，t=0 .01,S=1,n=0,m = =0.5,S=S-m=0.5, =0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环， 执行第 2 次，S=S-m=0.25, =0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环， 执行第 3 次，S=S-m=0.125, =0.0625,n= 3,S=0.125＞t=0.01,是，循环， 执行第 4 次，S=S-m=0.0625, =0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环， 执行第 5 次，S=S-m=0.03125, =0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环， 执行第 6 次，S=S-m=0.0 15625, =0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环， 执行第 7 次，S=S-m=0.0078125, =0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出 n=7，故选 C. 【考点定位】本题注意考查程序框图 【名师点睛】本题是已知程序框图计算输出结果问题，对此类问题，按程序框图逐次计算，直到输出时， 即可计算出输出结果，是常规题，程序框图还可考查已知输入、输出，不全框图或考查程序框图的意义， 处理方法与此题相同. （10） 的展开式中， 的系数为( ) （A）10 （B）20 （C）30 （D）60 （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视 图如图所示.若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则 r=（ ） 1 2 2 mm  2 mm  2 mm  2 mm  2 mm  2 mm  2 mm  2 5( )x x y  5 2x y  （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱 的高为 2r，其表面积为 = =16 + 20 ，解得 r=2，故选 B. 【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题，先看俯视图 确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则 组合体中的各个量. 12.设函数 = ,其中 a 1，若存在唯一的整数 ，使得 0，则 的取值范围 是（ ） (A)[- ，1） (B)[- ， ） (C)[ ， ） (D)[ ，1） 【答案】D 2 21 4 2 2 22 r r r r r r        2 25 4r r   ( )f x (2 1)xe x ax a   0x 0( )f x a 3 2e 3 2e 3 4 3 2e 3 4 3 2e 【名师点睛】对存在性问题有三种思路，思路 1：参变分离，转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函 数），则参数该于该函数的最大值（大于该函数的最小值）；思路 2：数形结合，利用导数先研究函数的图像 与性质，再画出该函数的草图，结合图像确定参数范围，若原函数图像不易做，常化为一个函数存在一点 在另一个函数上方，用图像解；思路 3：分类讨论，本题用的就是思路 2. 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22） 题～第（24）题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 （13）若函数 f(x)= 为偶函数，则 a= 【答案】1 2ln( )x x a x  （14）一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】 （15）若 满足约束条件 ，则 的最大值为 . 【答案】3 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图 可知，点 A（1,3）与原点连线的斜率最大，故 的最大值为 3. 【考点定位】线性规划解法 【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用 z 的几何意义，结合可行域即可找 出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标 函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型. （16）在平面四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则 AB 的取值范围是 . 【答案】（ ， ） 2 2 116 4 x y  2 23 25( )2 4x y   ,x y 1 0 0 4 0 x x y x y          y x y x y x 6 2 6+ 2 【考点定位】正余弦定理；数形结合思想 【名师点睛】本题考查正弦定理及三角公式，作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，边 BC 长 定，平移 AD，当 AD 重合时，AB 最长，当 CD 重合时 AB 最短，再利用正弦定理求出两种极限位置是 AB 的长，即可求出 AB 的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的关键. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分 12 分） 为数列{ }的前 项和.已知 ＞0， = . （Ⅰ）求{ }的通项公式； （Ⅱ）设 ,求数列{ }的前 项和. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先用数列第 项与前 项和的关系求出数列{ }的递推公式，可以判断数列{ }是等差 数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{ }的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{ }的通项公式， 再用拆项消去法求其前 项和. nS na n na 4 3nS  na 1 1 n n n b a a   nb n 2 1n  1 1 6 4 6n  n n na na na nb n 【考点定位】数列前 n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法 【名师点睛】已知数列前 n 项和与第 n 项关系，求数列通项公式，常用 将所给条件化 为关于前 n 项和的递推关系或是关于第 n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或 等差数列通项公式求出数列 的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 18.如图，，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面 ABCD，DF⊥ 平面 ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （Ⅰ）证明：平面 AEC⊥平面 AFC （Ⅱ）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 【解析】 试题分析：（Ⅰ）连接 BD，设 BD∩AC=G，连接 EG，FG，EF，在菱形 ABCD 中，不妨设 GB=1 易证 EG⊥AC，通过计算可证 EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知 EG⊥平面 AFC，由面面垂直判定定理知平 面 AFC⊥平面 AEC；（Ⅱ）以 G 为坐标原点，分别以 的方向为 轴，y 轴正方向， 为单位长 度，建立空间直角坐标系 G-xyz，利用向量法可求出异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值. 试题解析：（Ⅰ）连接 BD，设 BD∩AC=G，连接 EG，FG，EF，在菱形 ABCD 中，不妨设 GB=1，由 1 1 , 1 , 2n n n S na S S n     3 3 ,GB GC  x | |GB ∠ABC=120°，可得 AG=GC= . 由 BE⊥平面 ABCD，AB=BC 可知，AE=EC， 又∵AE⊥EC，∴EG= ，EG⊥AC， 在 Rt△EBG 中，可得 BE= ，故 DF= . 在 Rt△FDG 中，可得 FG= . 在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE= ，DF= 可得 EF= ， ∴ ，∴EG⊥FG， ∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面 AFC， ∵EG 面 AEC，∴平面 AFC⊥平面 AEC. ……6 分 【考点定位】空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力 【名师点睛】对空间面面垂直问题的证明有两种思路，思路 1：几何法，先由线线垂直证明线面垂直，再由 线面垂直证明面面垂直；思路 2：利用向量法，通过计算两个平面的法向量，证明其法向量垂直，从而证明 面面垂直；对异面直线所成角问题，也有两种思路，思路 1：几何法，步骤为一找二作三证四解，一找就是 先在图形中找有没有异面直线所成角，若没有，则通常做平行线或中位线作出异面直线所成角，再证明该 3 3 2 2 2 6 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2EG FG EF   角是异面直线所成角，利用解三角形解出该角. （19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单 位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 和年销售量 （ =1,2，···，8）数据作 了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 ， = （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？ （给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： (ⅰ)年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？[来源:学&科&网] 附：对于一组数据 , ，……， ,其回归线 的斜率和截距的最小二乘估计分 别为： ， 【 答 案 】（Ⅰ ） 适 合 作 为 年 销 售 关 于 年 宣 传 费 用 的 回 归 方 程 类 型 ； （ Ⅱ ） （Ⅲ）46.24 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令 ，先求出建 ix iy i x y w 8 2 1 ( )i i x x   8 2 1 ( )i i w w   8 1 ( )( )i i i x x y y    8 1 ( )( )i i i w w y y    i iw x w 1 8 8 1 i i w   x 1 1( , )u v 2 2( , )u v ( , )n nu v v u    1 2 1 ( )( ) = ( ) n i i i n i i u u v v u u          =v u  y c d x  y x  100.6 68y x  w x 立 关于 的线性回归方程，即可 关于 的回归方程；（Ⅲ）(ⅰ)利用 关于 的回归方程先求出年销 售量 的预报值，再根据年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x 即可年利润 z 的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ） 的结果知，年利润 z 的预报值，列出关于 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值 时的年宣传费用. （20）（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 中，曲线 C：y= 与直线 ( ＞0)交与 M,N 两点， （Ⅰ）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； （Ⅱ）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由. y w y x y x y x xoy 2 4 x y kx a  a 【答案】（Ⅰ） 或 （Ⅱ）存在 （21）（本小题满分 12 分） 已知函数 f（x）= .[来源:Zxxk.Com] 0ax y a   0ax y a   3 1 , ( ) ln4x ax g x x    (Ⅰ)当 a 为何值时，x 轴为曲线 的切线； （Ⅱ）用 表示 m,n 中的最小值，设函数 ，讨论 h（x）零 点的个数. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）当 或 时， 由一个零点；当 或 时， 有两个零点；当 时， 有三个零点. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的 值；（Ⅱ）根 据对数函数的图像与性质将 分为 研究 的零点个数，若零点不容易求解，则对 再分类讨论. 试题解析：（Ⅰ）设曲线 与 轴相切于点 ，则 ， ，即 ， 解得 . 因此，当 时， 轴是曲线 的切线. ……5 分 (ⅱ)若 ，则 在（0， ）单调递减，在（ ，1）单调递增，故当 = 时， 取的最小值，最小值为 = . ①若 ＞0，即 ＜ ＜0， 在（0,1）无零点. ( )y f x min  ,m n ( ) min ( ), ( ) ( 0)h x f x g x x  3- 4a  3 4a   5 4a   ( )h x 3 4a   5 4a   ( )h x 5 3 4 4a    ( )h x a x 1, 1,0 1x x x    ( )h x a ( )y f x x 0( ,0)x 0( ) 0f x  0( ) 0f x  3 0 0 2 0 1 04 3 0 x ax x a        0 1 3,2 4x a   3 4a   x ( )y f x 3 0a   ( )f x 3 a 3 a x 3 a ( )f x ( )3 af  2 1 3 3 4 a a  ( )3 af  3 4 a ( )f x 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第 一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂 黑。 （22）（本题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，AB 是 O 的直径，AC 是 O 的切线，BC 交 O 于 E. （Ⅰ）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是 O 的切线； （Ⅱ）若 ，求∠ACB 的大小. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60° 【解析】 试题分析：（ Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE⊥BC，AC⊥AB，由直角三角形中线性质知 DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以 DE 是圆 O 的切线；（Ⅱ） 设 CE=1,由 得，AB= ，设 AE= ，由勾股定理得 ，由直角三角形射影定理 可得 ，列出关于 的方程，解出 ，即可求出∠ACB 的大小. 试题解析：（Ⅰ）连结 AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB， 在 Rt△AEC 中，由已知得 DE=DC，∴∠DEC=∠DCE， 连结 OE，∠OBE=∠OEB， ∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°， ∴∠OED=90°，∴DE 是圆 O 的切线. ……5 分 （Ⅱ）设 CE=1，AE= ,由已知得 AB= ， ，     3OA CE 3OA CE 2 3 x 212BE x  2AE CE BE  x x x 2 3 212BE x  由射影定理可得， ， ∴ ，解得 = ，∴∠ACB=60°. ……10 分 【考点定位】圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理 【名师点睛】在解有关切线的问题时，要从以下几个方面进行思考：①见到切线，切点与圆心的连线垂直 于切线；②过切点有弦，应想到弦切角定理；③若切线与一条割线相交，应想到切割线定理；④若要证明 某条直线是圆的 切线，则证明直线与圆的交点与圆心的连线与该直线垂直. （23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线 : = 2，圆 ： ,以坐标原点为极点， 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求 ， 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 , ,求 的面积. 【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ） 【名师点睛】对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要熟记互化公式，另外要注意互化时要将极坐标 2AE CE BE  2 212x x  x 3 xOy 1C x  2C    2 21 2 1x y    x 1C 2C 3C  4 R   2C 3C M N 2C MN cos 2    2 2 cos 4 sin 4 0        1 2 方程作适当转化，若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形 式，两边可以同乘以 ，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决. （24）（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 =|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当 a=1 时，求 不等式 f(x)>1 的解集； （Ⅱ）若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）（2，+∞）  2{ | 2}3x x 