2012年陕西高考试题（文数解析版）

2012年陕西高考试题（文数解析版）

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）‎ 数学（文科）‎ ‎【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．集合，，则（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】，，则，故选C．‎ ‎2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】选项中是奇函数的有B、C、D，增函数有A、D，故选D．‎ ‎3．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是（ ） ‎ A．46，45，56 B．46，45，53‎ C．47，45，56 D．45，47，53‎ ‎【解析】根据图形，知共有30个数据，所以中位数是（45+47）÷2=46，众数是45，极差是 ‎ 68-12=56．故选A．‎ ‎4．设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】“”则或，“复数为纯虚数”则且，则 ‎ “”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件，故选B．‎ ‎5．下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率的程序框图，则图中空白框内应填入（ ） ‎ A． ‎ ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎【解析】根据程序框图，知表示及格人数，表示不及格人数．再由及格率的定义，得 ‎ 及格率．故选D．‎ ‎6．已知圆，过点的直线，则（ ） ‎ A．与相交 B．与相切 ‎ C．与相离 D．以上三个选项均有可能 ‎【解析】点在圆内，则必与相交，故选A．‎ ‎7．设向量=（1，）与=（-1， 2）垂直，则等于（ ） ‎ A． B． C．0 D．-1‎ ‎【解析】∵向量与垂直，∴，即，∴．‎ ‎ ∴．故选C．‎ ‎8．将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ） ‎ ‎【解析】显然从左边看到的是一个正方形，因为割线可见，所以用实线表示；而割线 ‎ 不可见，所以用虚线表示．故选B．‎ ‎9．设函数，则（ ） ‎ A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为 的极小值点 ‎【解析】，令，则．‎ ‎ 当时，；‎ ‎ 当时，．‎ ‎ 即当时，是单调递减的；当时，是单调递增的．‎ ‎ 所以是的极小值点．故选D．‎ ‎10．小王从甲地到乙地的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则（ ） ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解析】设从甲地到乙地的全程为，则．‎ ‎ ∵，∴，，所以，‎ ‎ 则，即．故选A．‎ 二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11．设函数则 ．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】根据题意，知，．所以．‎ ‎12．观察下列不等式 ‎,‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎……[来源:Z．xx．k．Com]‎ 照此规律，第五个不等式为____________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】观察不等式的左边发现，第个不等式的左边=，‎ ‎ 右边=，所以第五个不等式为．‎ ‎13．在三角形中，角所对应的长分别为，若，，，则 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据余弦定理，得，‎ ‎ 所以．‎ ‎14．右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．‎ ‎【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点的坐标为（0,0），‎ ‎ 设与抛物线的交点为，根据题意，知（-2，-2），（2，-2）．‎ ‎ 设抛物线的解析式为，‎ ‎ 则有，∴． ‎ ‎ ∴抛物线的解析式为．‎ ‎ 水位下降1米，则-3，此时有或．‎ ‎ ∴此时水面宽为米．‎ ‎15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）‎ A．（不等式选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】表示在数轴上，a到1的距离小于等于3，即，‎ ‎ 则．‎ B．（几何证明选做题）如图，在圆中，直径与弦垂直，垂足为，，垂足为，若，，则 ． ‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】∵，则圆的半径为3，连接，则． ‎ ‎[来源:学+科+网] 又，则，‎ ‎ 在直角三角形OED中，，‎ ‎ 根据射影定理，在直角三角形中，．‎ C．（坐标系与参数方程）直线与圆相交的弦长为 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】是过点且垂直于极轴的直线，‎ ‎ 是以为圆心，1为半径的圆，则弦长=．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）‎ ‎16．已知等比数列的公比为．‎ ‎（Ⅰ）若，求数列的前项和；‎ ‎（Ⅱ）证明：对任意，，，成等差数列．‎ ‎ 【解析】（Ⅰ）由及，得，‎ ‎ 所以数列的前项和．‎ ‎ （Ⅱ）证明：对任意，‎ ‎ ，‎ ‎ 由得=0，故=0．‎ ‎ 所以，对任意，，，成等差数列．‎ ‎17．（本小题满分12分） ‎ 函数（）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）设，则，求的值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）∵函数的最大值是3，∴，即．‎ ‎ ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期，∴．‎ ‎ 故函数的解析式为．‎ ‎ （Ⅱ）∵，即，‎ ‎ ∵，∴，∴，故．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 直三棱柱中，，．‎ ‎（Ⅰ）证明；‎ ‎（Ⅱ）已知，，求三棱锥的体积．‎ ‎ 【解析】（Ⅰ）如图，连结,‎ ‎ 是直三棱柱，=，[来源:，，‎ ‎ 平面,故． ‎ ‎ 又，四边形是正方形，‎ ‎ ，又，‎ ‎ 平面，故．‎ ‎ （Ⅱ），，．‎ ‎ 由（Ⅰ）知，平面，‎ ‎ S△·=．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：‎ ‎（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；‎ ‎（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．‎ ‎【解析】（Ⅰ）甲品牌产品寿命小于200小时的频率为，用频率估计概率，所以，‎ ‎ 甲品牌产品寿命小于200小时的概率为．‎ ‎ （Ⅱ）根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75+70=145个，其中甲品牌产品 ‎ ‎ 是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是，‎ ‎ 用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为坐标原点，点分别在椭圆和上，，求直线的方程．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆的方程为，‎ ‎ 其离心率为，故，则．‎ ‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎ （Ⅱ）解法一：两点的坐标分别为，‎ ‎ 由及（Ⅰ）知，三点共线且点不在轴上，‎ ‎ 因此可设直线的方程为．‎ ‎ 将代入中，得，所以，‎ ‎ 将代入中，得，所以，‎ ‎ 又由，得，即．‎ ‎ 解得，故直线的方程为或．‎ ‎ 解法二： 两点的坐标分别为，‎ ‎ 由及（Ⅰ）知，三点共线且点不在轴上，‎ ‎ 因此可设直线的方程为．‎ ‎ 将代入中，得，所以，‎ ‎ 又由，得，，‎ ‎ 将代入中，得，即，‎ ‎ 解得，故直线的方程为或 ‎21．（本小题满分14分） ‎ 设函数 ‎（Ⅰ）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；‎ ‎（Ⅱ）设为偶数，，，求b+3c的最小值和最大值；‎ ‎（Ⅲ）设，若对任意，有，求的取值范围．‎ ‎【解析】（Ⅰ）当 ‎ ．‎ ‎ 又当，‎ ‎ ．‎ ‎ （Ⅱ）解法一：由题意，知即 ‎ ‎ 由图像，知在点取到最小值-6，在点取到最大值0．‎ ‎ ∴的最小值是-6，最大值是0．‎ ‎ 解法二：由题意，知，即； ①‎ ‎ ，即． ②‎ ‎ ①×2+②，得，‎ ‎ 当时，；当，．‎ ‎ ∴的最小值是-6，最大值是0．‎ ‎ 解法三：由题意，知 ‎ 解得，．‎ ‎ ∴．‎ ‎ 又∵，，∴．‎ ‎ 当时，；当，．‎ ‎ ∴的最小值是-6，最大值是0．‎ ‎ （2）当时，．‎ ‎ 对任意上的最大值 ‎ 与最小值之差,据此分类讨论如下：‎ ‎ （ⅰ），．‎ ‎ （ⅱ），‎ ‎ ．‎ ‎ （ⅲ），‎ ‎ ．‎ ‎ 综上可知，．‎ ‎ 注：（ⅱ）（ⅲ）也可合并并证明如下：‎ ‎ 用，当，‎ ‎ ‎