重庆市南开中学2020届高三上学期第四次教学质量检测数学（理）试题

重庆市南开中学2020届高三上学期第四次教学质量检测数学（理）试题

重庆南开中学2020级高三第四次教学质量检测考试 数学（理科）‎ ‎1.已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的模（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对等式的两边求模，然后进行运算求解即可．‎ ‎【详解】复数满足，则，‎ 可得，‎ ‎．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查复数模的求法，考查基本运算求解能力，求解时直接对等式两边取模可使运算过程更简洁．‎ ‎2.抛物线的焦点到准线的距离为（ ）‎ A. 4 B. 2 C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线方程中的几何意义进行求解即可．‎ ‎【详解】抛物线的焦点到准线的距离为：．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查对抛物线方程及对的几何意义的理解，属于基础题．‎ ‎3.已知全集，集合，，图中阴影部分所表示的集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可．‎ ‎【详解】由图可知阴影部分对应的集合为，‎ 集合，，‎ ‎，‎ 即，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的基本运算，求解时利用文氏图先确定集合关系是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎4.已知，均为实数，则下列说法一定成立的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特殊值代入法排除、、，利用不等式的基本性质，可得，从而得到，从而得出结论．‎ ‎【详解】对于①，不妨令，，，，尽管满足，，但显然不满足，故错误；‎ 对于②，不妨令，，显然满足，但不满足，故错误；‎ 对于③，不妨令，，显然满足，但不满足，故错误；‎ 对于④，若，则，即，，故正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质与不等关系，在限定条件下，比较几个式子的大小时，用特殊值代入法，能快把答案进行排除是解此类问题的常用方法．‎ ‎5.已知函数是定义在上的奇函数，当0时，，则（ ）‎ A. 3 B. -3 C. -2 D. -1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可求，代入可求，然后结合奇函数的定义得，进而求得的值.‎ ‎【详解】是定义在上的奇函数，且时，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 则.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查奇函数性质，即若函数为奇函数且在有定义，则，理解这一知识点是求解本题的关键．‎ ‎6.已知圆半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆心坐标为，根据圆与直线相切可求出，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程．‎ ‎【详解】由题意设圆心坐标为，‎ ‎∵圆与直线相切，‎ ‎∴，解得a=2．‎ ‎∴圆心为，半径为，‎ ‎∴圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4，即．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．‎ ‎7.诗歌是一种抒情言志的文学体裁，用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感，诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋，使抽象理性的数学问题诗词化，比如诗歌：“十里长街闹盈盈，庆祝祖国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三数之时剩两盏，灯笼几盏放光明”，则此诗歌中长街上灯笼最少几盏（ ）‎ A. 70 B. 128 C. 140 D. 150‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得灯笼数除以7余2，再利用代入法和排除法可得答案．‎ ‎【详解】由七七数时余两个，可知灯笼数除以7余2，则，，错.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题以数学传统文化为背景，要求读懂题意，考查简单的合情推理，属于基础题．‎ ‎8.若等边三角形的边长为1，点满足，则（ ）‎ A. B. 2 C. D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平行四边形法则画出图形找到点的位置，然后根据两个向量的数量积的定义进行计算．‎ ‎【详解】根据平行四边形法则画出如下图形，为平行四边形边的中点，‎ 由图可知：，‎ ‎．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量数量积的定义运算，考查数形结合思想的运用，求解时要充分利用平面向量既有几何又有代数的双重身份，借助图形进行数量积运算，能使运算更有方向性．‎ ‎9.已知为不等式组表示平面区域内任意一点，当该区域的面积为2时，函数的最大值是（ ）‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为2的 值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】作出约束条件所表示的可行域，如图所示：‎ 由图可得，，‎ 由该区域的面积为2时，解得：．‎ ‎，‎ 化目标函数为，‎ 当过点时，，‎ 函数的最大值是3．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划，求解的关键是利用直线在轴上截距的最值得到目标函数的最值，考查数形结合的运用．‎ ‎10.如图，内角所对的边分别为，且，延长至，使是以为底边的等腰三角形，，当时，边（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用余弦定理求出的值，进一步利用三角形的内角和定理和正弦定理求出的长，进一步得到，即可得到答案．‎ ‎【详解】内角，，所对的边分别为，，，且，‎ 利用余弦定理整理得，化简为，‎ 所以，‎ 由于，所以．‎ 由于是以为底边的等腰三角形，，‎ 所以，则．‎ 利用三角形内角和定理：，，解得．‎ 中，利用正弦定理，解得，‎ 所以．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用、三角形内角和、等腰三角形性质，考查数形结合思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力．‎ ‎11.已知曲线与曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则当变化时，实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出两函数的导函数，得到两函数在公共点处的导数值，写出切线方程，由斜率与轴上的截距相等可得与及与的关系，由求得的范围，然后利用导数求解的范围，则实数的取值范围可求．‎ ‎【详解】由，，得，，‎ 设与曲线的公共点为，‎ 则，，‎ 两曲线在切点处的切线方程分别为与，‎ 即与．‎ 则，整理得．‎ 由①且，得或，当时，两曲线无公共切线，则．‎ 由②得，．‎ 令，则，函数在上为单调减函数，‎ ‎，又当时，，‎ 实数的取值范围是．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究曲线在某点处的切线方程，及利用构造法求参数的取值范围，考查函数与方程思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题．‎ ‎12.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的左、右焦点分别为，，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，联立双曲线的方程可得的坐标，设，，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得，的方程，结合离心率公式可得所求值．‎ ‎【详解】设双曲线的左、右焦点分别为，，‎ 设双曲线的一条渐近线方程为，‎ 可得直线的方程为，与双曲线联立，‎ 可得，，‎ 设，，‎ 由三角形的面积的等积法可得，‎ 化简可得①‎ 由双曲线的定义可得②‎ 在三角形中，为直线倾斜角），‎ 由，，可得，‎ 可得，③‎ 由①②③化简可得，‎ 即为，‎ 可得，则．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等积法，考查运算求解能力，属于难题．‎ ‎13.已知，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所求式子的分子和分母同时除以，转化化关于的齐次式，再将的值代入即可得到答案.‎ ‎【详解】因为，又，‎ 所以原式.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查基本运算求解能力，属于基础题.‎ ‎14.已知椭圆的上顶点为，右焦点为，，且满足：，则椭圆的标准方程为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求出向量以及的坐标，又由可得，变形可得，结合椭圆的性质求出、的值，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，椭圆的上顶点为，则，‎ 则，，，‎ 若，则有，则有，‎ 又由椭圆的右焦点为，即，则有，‎ 解可得：，则，‎ 所以椭圆的方程为.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆标准方程的计算，属于基础题．‎ ‎15.已知实数，且满足，则的最小值为___________.‎ ‎【答案】17‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可得，的关系，代入运用基本不等式求解．‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎，，‎ ‎.‎ 故答案为：17．‎ ‎【点睛】本题考查消元代入法及基本不等式的应用，考查转化与化归思想，利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三等”三个条件都需满足．‎ ‎16.在学习导数和微积分时，应用到了“极限”的概念，极限分为函数极限和数列极限，其中数列极限的概念为：对数列，若存在常数，对于任意，总存在正整数，使得当时，成立，那么称是数列的极限，已知数列满足：，，，由以上信息可得的极限__________，且时，的最小值为_________.‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). 11‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用构造法得到数列是等比数列，公比为，首项为，进而得出的通项公式，再由极限的定义求出及的最小值．‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 数列是等比数列，公比为，首项为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的极限，‎ 当时，总存在正整数，使得当时，成立，‎ 使得当时，成立，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的最小值为11．‎ 故答案为：2，11．‎ ‎【点睛】本题考查根据数列的递推关系求通项公式、数列极限求解、不等式求解，考查函数与方程思想、极限思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，对阅读理解能力要求较高．‎ ‎17.已知数列的前项和为，且2，，成等差数列，令，.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用等差中项的性质和数列的递推式：当时，；时，，结合等比数列的定义和通项公式，可得；再由对数的运算性质可得；‎ ‎（2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得数列的前项和．‎ ‎【详解】（1）∵，∴当时，，‎ 两式相减得：，即 令，有，故，‎ ‎∴是以2为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎∴，‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）‎ ‎∴‎ 两式相减得：‎ 整理得：.‎ ‎【点睛】本题考查数列递推式的运用、等比数列的通项公式和求和公式的运用、数列的错位相减法求和，考查逻辑推理能力和运算求解能力，利用错位相减法求和时，注意结果中的常数的正确性．‎ ‎18.已知向量，，且函数.‎ ‎（1）若，且，求的值；‎ ‎（2）若将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数在的值域.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据已知条件求出函数解析式，再根据条件以及角的范围即可求出结论；‎ ‎（2）先求出的解析式，再根据三角函数的单调性即可求解．‎ ‎【详解】（1）由条件可得：；‎ ‎；‎ ‎．因为，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（2）函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，‎ 得，‎ 再将所得图像向左平移个单位，‎ 得；‎ 当时，．‎ 当时，；当时，，‎ 所以函数在的值域是．‎ ‎【点睛】本题考查数量积运算性质、三角函数的性质及图像变换，考查逻辑推理能力与运算求解能力，求函数的值域时注意整体思想的运用．‎ ‎19.某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为五个等级，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到、、、、五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：‎ 等级 比例 赋分区间 而等比例转换法是通过公式计算：‎ 其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，、分别表示等级分区间的最低分和最高分，表示原始分，表示转换分，当原始分为，时，等级分分别为、‎ 假设小南的化学考试成绩信息如下表：‎ 考生科目 考试成绩 成绩等级 原始分区间 等级分区间 化学 ‎75分 等级 设小南转换后的等级成绩为，根据公式得：，‎ 所以（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.‎ 已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表：‎ 成绩 ‎95‎ ‎93‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎88‎ ‎87‎ ‎85‎ 人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎（1）从化学成绩获得等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；‎ ‎（2）从化学成绩获得等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为，求的分布列和期望.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据成绩换算公式，计算出等级成绩不低于96分时的原始成绩，进而得到等级成绩不低于96分的人数，根据古典概型的概率即可得到所求；‎ ‎（2）列出随机变量的所有可能的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，计算期望即可．‎ ‎【详解】（1）设化学成绩获得等级的学生原始成绩为，等级成绩为，由转换公式得：‎ ‎，即：，‎ 所以，得：，‎ 显然原始成绩满足的同学有3人，获得等级的考生有15人.‎ 恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为.‎ ‎（2）由题意可得：等级成绩不小于96分人数为3人，获得等级的考生有15人，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 则期望为：‎ ‎【点睛】本题考查古典概型、计数原理、统计表的应用、超几何分布，考查数据处理能力和运算求解能力，属于中档题．‎ ‎20.已知函数 ‎（1）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）证明：，（）.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得，再对进行讨论判断单调性；‎ ‎（2）根据的性质，得到，令，2，3，‎ ‎，求出一组不等式，两边相加求和即可．‎ ‎【详解】（1）当时，‎ ‎（ⅰ）当，即时，，在时递增，由，不等式成立；‎ ‎（ⅱ）当，即时，，‎ 所以函数在时单调递减，由，与不等式对任意恒成立矛盾，所以不成立；‎ 综上所述.‎ ‎（2）由（1）得：当时对时恒成立，‎ 取得不等式：，‎ 令，得，‎ 由（1）知：取等条件不成立，即成立.‎ 当时，，，，…，，‎ 相加得：.‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查不等式恒成立问题、函数的单调性与最值、导数的几何意义、不等式的证明，考查逻辑推理能力和运算求解能力，考查转化与化归思想、分类讨论思想的综合运用．‎ ‎21.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，以为直径作圆，当直线的斜率为1时，.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过焦点作的垂线与圆的一个交点为，交抛物线于，（点在点，之间），记的面积为，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得直线的方程，联立抛物线方程，解得的坐标，由两点的距离公式可得，进而得到所求抛物线方程；‎ ‎（2）求得，设，，，，，，，，且，由向量垂直的坐标表示可得，由三角形的勾股定理和三角形的面积公式可得，设，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得，再由两直线垂直的条件，以及构造函数法，求得导数和单调性，计算可得所求最小值．‎ ‎【详解】（1）当直线的斜率为1时，‎ 可得直线的方程为，联立抛物线方程，‎ 解得，即，，即，‎ 抛物线的方程为；‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 设，，，，且，‎ 由题意可得，即，‎ 又，即，‎ 整理可得，‎ 又，‎ 则，即，‎ 又的斜率存在且不为0，，联立抛物线方程可得，‎ 可得，，则 ‎，‎ 由，可得，即，可得，‎ 则，‎ 可令，，‎ 显然在递增，且，‎ 当时，，时，，‎ 可得在递减，在递增，‎ 可得时，取得最小值23．‎ 即求的最小值为23．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及向量垂直的坐标表示，考查函数方程思想和化简运算能力，属于难题．‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（为实数）.‎ ‎（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）当时，设、分别为曲线和曲线上的动点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1），（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．‎ ‎（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．‎ ‎【详解】（1）因为曲线的参数方程为为参数），‎ 所以曲线的直角坐标方程为．‎ 曲线的极坐标方程为为实数），‎ 整理得，‎ 因为 所以的直角坐标方程为．‎ ‎（2）当时，直线方程为，‎ 因为点在曲线上，设点，‎ 则到直线的距离，‎ 当时，．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用、参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换、点到直线的距离公式的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数的最大值为3，其中．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，，求证：‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分三种情况去绝对值，求出最大值与已知最大值相等列式可解得；（2）将所证不等式转化为2ab≥1，再构造函数利用导数判断单调性求出最小值可证．‎ ‎【详解】（1）∵，‎ ‎∴. ‎ ‎∴当时，取得最大值. ‎ ‎∴ ‎ ‎（2）由（Ⅰ），得，‎ ‎. ‎ ‎∵，当且仅当时等号成立，‎ ‎∴. ‎ 令，.‎ 则在上单调递减.∴. ‎ ‎∴当时，.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号，及合理转化恒成立问题是解答本题的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.‎ ‎ ‎ ‎ ‎