宁夏银川一中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

宁夏银川一中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

银川一中2019/2020学年度(上)高一期末考试 数学试卷 ‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设有直线，当k变动时，所有直线都经过定点（ ）‎ A. （0，0） B. （0，1） C. （3，1） D. （2，1）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原直线方程变形为点斜式方程，即可知所有直线都经过定点．‎ ‎【详解】原直线方程变形为，根据点斜式方程可知，所有直线都经过定点．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线系过定点问题的解法，属于基础题．‎ ‎2.若方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为(　　)‎ A. 2,4,4 B. －2,4,4‎ C. 2，－4,4 D. 2，－4，－4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为，方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，‎ 所以，，解得，，选B.‎ 考点：圆的一般方程 点评：简单题，解答此类问题，可利用“配方法”或“公式法”．‎ ‎3.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正方体的体对角线长等于其外接球的直径长，求出半径，即可得到其外接球的表面积．‎ ‎【详解】设正方体的棱长为，所以，解得．‎ 因为正方体的体对角线长等于其外接球的直径长，所以，解得．‎ ‎∴该球面的表面积．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查正方体的外接球的表面积的求法，属于基础题．‎ ‎4.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列正确的个数为：（ ）‎ ‎①若，则； ②若，则；‎ ‎③若，则或；④若，则 A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：①中则与内任意直线都垂直，又，所以平行或异面，所以；②内存在与平行；③‎ 中由面面垂直的性质定理可知有或；④由已知条件可知两平面的法向量垂直，因此两面垂直 考点：空间线面的位置关系 点评：本题考察了空间线面垂直平行的的判定与性质定理及常用方法，难度不大，属于基本知识点的考察 ‎5.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有 ( )‎ A. k>0，b>0 B. k>0，b<‎0 ‎C. k<0，b>0 D. k<0，b<0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由题可得：直线的斜率大于0，截距小于0，即k>0，b<0．‎ 故答案选B．‎ ‎6.圆)关于直线x＋y－2＝0对称的圆Q的方程是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为圆关于直线对称的圆大小一样，所以只需确定圆的圆心即可．根据点关于直线的对称点的求法求出的圆心，即可得圆Q的方程．‎ ‎【详解】因为圆的圆心为，设其关于直线的对称点为，所以 解得 ，‎ 故圆Q的方程是．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线的标准方程的应用以及点关于直线的对称点的求法，属于基础题．‎ ‎7.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 选B.‎ 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎8.正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，直线AC与直线BC1所成的角、直线AC与平面所成的角分别为（ ）‎ A. 60°，45° B. 90°，45° C. 60°，30° D. 45°，60°‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据异面直线所成角的定义可知，直线AC与直线BC1所成的角为，根据线面所成角的定义可知，直线AC平面所成的角为，由平面几何知识即可求出．‎ ‎【详解】如图所示，因为，所以直线AC与直线BC1所成的角为，而为等边三角形，所以.因为面,所以直线AC与平面所成的角为，而为等腰直角三角形,所以.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法以及直线与平面所成角的求法，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．‎ ‎9.过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据所给信息，利用排除法解题．‎ ‎【详解】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线上，排除B、D，‎ 点在圆上，排除A 故选C ‎【点睛】本题考查利用排除法选出圆的标准方程，属于基础题．‎ ‎10.已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. ‎8 ‎C. 5 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.‎ 详解： ，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 所以共有9个，选A.‎ 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.‎ ‎11.已知圆和直线，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线,切点是，则的最大值是（ ）‎ A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当最大时，也最大．因为，由正弦函数的单调性可知，最短时，最大，所以根据点到直线的距离最短，即可求解．‎ ‎【详解】如图所示，由几何知识可知，．所以当最大时，也最大．‎ 因为，由正弦函数的单调性可知，最短时，最大．‎ ‎，此时，，最大为，故 的最大值是60°．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是转化思想的应用，将角的大小与长度的大小建立关系，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．‎ ‎12.正三棱柱ABC-A1B‎1C1中AB=AA1=6，则其外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正三棱柱的底面边长及高，先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱 外接球的球半径，代入球的体积公式，即可得到棱柱的外接球的体积．‎ ‎【详解】由正三棱柱的底面边长，设底面外接圆的半径为，所以，解得 ‎．又正三棱柱的高，则球心到底面距离为，‎ 根据球心距、底圆外接圆半径与球半径的关系得，，即．‎ 所以外接球的体积为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查正三棱柱外接球的体积的求法，涉及正弦定理的应用，属于基础题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.若原点在直线上的射影为，则该直线的方程为____________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设所求直线的斜率为，则依题意有，而，所以，所以所求直线的方程为即．‎ 考点：1．直线的方程；2．两直线垂直的判定与性质．‎ ‎14.已知是圆上点，则的最大值为_____最小值为______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则点在直线上，又是圆上的点，所以点是直线与圆的交点，根据直线与圆的位置关系即可求出的最大值和最小值．‎ ‎【详解】设，则点在直线上，又是圆上的点，所以点是直线与圆的交点，所以直线与圆相交或相切．‎ 故有，解得．‎ 故答案为：，．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，意在考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎15.已知直线曲线当直线和曲线有两个公共点时，的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数的图象，数形结合即可求出的取值范围．‎ ‎【详解】如图所示，作出函数的图象，‎ 当直线位于图示的两条直线之间时，直线和曲线有两个公共点．‎ 当直线与圆相切时，，解得或(舍去)．‎ 根据直线在轴上的截距，可知．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，意在考查数形结合思想的应用，属于中档题．‎ ‎16.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）.‎ ‎①矩形；‎ ‎②不是矩形的平行四边形；‎ ‎③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；‎ ‎④每个面都是等边三角形的四面体；‎ ‎⑤每个面都是直角三角形的四面体.‎ ‎【答案】①③④⑤‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题中①③④⑤只要能举一例说明正确即可，如图长方体中，四边形是矩形，四面体有三个面是直角三角形，第四个面是等腰三角形，四面体每个面都是等腰三角形，四面体每个面都是直角三角形，故①③④⑤正确，而任取四点构成的平行四边形的两组对边中至少有一组是长方体的平行的一对棱，故这个平行四边形一定是矩形，从而②错误.‎ 考点：线线垂直与线面垂直.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.三角形的三个顶点为 A(-2,4),B(-3,-1),C(1,3).‎ ‎（1）求△ABC的面积S. ‎ ‎（2）过A作直线，使B,C两点到的距离相等，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由其中两点求出直线方程和距离，再求出点到直线的距离，即可由三角形面积公式求出△ABC面积；‎ ‎（2）分别讨论B,C在直线同侧以及异侧，即可根据直线与直线的位置关系求出．‎ ‎【详解】（1）因为，，‎ 所以即．‎ 点到直线的距离为．‎ 所以△ABC面积为．‎ ‎（2）当B,C在直线同侧，此时， ，‎ 所以直线即；‎ 当B,C在直线异侧，则直线过线段的中点．‎ 由，所以直线即．‎ 综上，直线的方程为或．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角形面积的求法，直线方程的求法，点到直线的距离公式以及直线与直线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力和分类讨论思想的应用，属于基础题．‎ ‎18.如图，长方体ABCD–A1B‎1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.‎ ‎（1）证明：BE⊥平面EB‎1C1；‎ ‎（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见详解；（2）18‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）先由长方体得，平面，得到，再由，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；‎ ‎（2）先设长方体侧棱长为，根据题中条件求出；再取中点，连结，证明平面，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）因为在长方体中，平面；‎ 平面，所以，‎ 又，，且平面，平面，‎ 所以平面； ‎ ‎（2）设长方体侧棱长为，则，‎ 由（1）可得；所以，即，‎ 又，所以，即，解得；‎ 取中点，连结，因为，则；‎ 所以平面，‎ 所以四棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.‎ ‎19.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N , AE⊥PB，垂足为E .‎ ‎（1）求证：平面PAM⊥平面PBM. ‎ ‎（2）求证：是二面角A-PB-M的平面角.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为易证 ，所以面，根据面面垂直的判定定理，即平面PAM⊥平面PBM；‎ ‎（2）根据二面角的平面角的定义，即证明．又题目已知，只需证明，再根据面即可证出．‎ ‎【详解】（1）因为PA垂直于圆O所在的平面，所以，又为直径所对的圆周角，所以，而，故面，而面，所以 平面PAM⊥平面PBM.‎ ‎（2）由（1）知，面，所以，而，所以 面，‎ 即有，又，所以面，由此可得，而，‎ 根据二面角的定义可知，是二面角A-PB-M的平面角．‎ ‎【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理的应用，以及二面角的平面角的定义应用，涉及到线面垂直与线线垂直的相互转化，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．‎ ‎20.已知点，直线及圆 ‎（1）求过点M的圆C的切线方程；‎ ‎（2）若直线与圆C相切，求实数的值；‎ ‎（3）若直线与圆C相交于A、B两点，且弦AB的长为，求的值.‎ ‎【答案】（1）或；（2）或；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）考察斜率不存在的直线是否与圆相切，斜率存在时，设切线方程为，由圆心到切线的距离等于半径求得；‎ ‎（2）由圆心到切线的距离等于半径求得；‎ ‎（3）求出圆心到直线的距离，由勾股定理列式，可求得．‎ ‎【详解】由题意，．‎ ‎（1）过点且斜率不存在的直线为与圆相切，‎ 过点且斜率存在的直线，设其方程为，即，‎ ‎∴，解得，切线方程为，即．‎ ‎∴所求切线方程为或．‎ ‎（2）由题意，解得或．‎ ‎（3），‎ ‎∴，解得．‎ ‎【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查求圆的切线方程，考查求直线与圆相交弦长．求切线方程一般可设出切线方程，由圆心到切线的距离等于圆半径求出参数得切线方程，注意要讨论斜率不存在的直线是否是圆的切线；求直线被圆所截弦长，一般用垂径定理，即求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求得弦长．‎ ‎21.如图，在三棱柱ABC-A1B‎1C1中，，，面， 是线段上的动点，是的中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若且直线与所成角是，求出的长，并求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2），．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）只要证出面，即可得．由 ，即可证出面，因此命题得证；‎ ‎（2）根据直线与所成的角是，可以确定点的位置，计算出的长．根据等积法，即可求出．‎ ‎【详解】（1）因为，是的中点，所以．‎ 又面， ，所以面，即有，‎ 而，所以面，又面，所以．‎ ‎（2）因为，所以直线与所成的角为，故．‎ 易证面，所以面．故为直角三角形．‎ ‎，，‎ ‎．‎ 因为是的中点，所以点到面的距离为1，‎ 而，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查异面直线所成角的定义应用，线面垂直的性质定理，判定定理的应用以及等积法的应用，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．‎ ‎22.已知一个动点在圆C:x2＋y2＝36上移动，它与定点所连线段的中点为.‎ ‎（1）设，求点的轨迹方程；‎ ‎（2）过点作圆C的弦，最长的弦记为,最短的弦记为,求四边形 的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用点的坐标表示出的坐标，根据点在圆C:x2＋y2＝36上，代入即可求出点的轨迹方程；‎ ‎（2）因为点在圆的内部，所以过点作圆C的弦，最长的弦为直径，最短的弦垂直于最长的弦，四边形的面积即为，即可求出．‎ ‎【详解】（1）根据中点公式可得，，即 ，而点在圆C:x2＋y2＝36上，所以 ，即点的轨迹方程为．‎ ‎（2）因为，所以点在圆的内部，所以过点作圆C的弦，最长的弦为直径，最短的弦垂直于最长的弦．‎ 即，又，所以．‎ 故四边形的面积即为．‎ ‎【点睛】本题主要考查相关点代入法求轨迹方程，以及圆的几何知识的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．‎ ‎ ‎