四川省宜宾市第四中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试数学（理）试题

四川省宜宾市第四中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试数学（理）试题

四川省宜宾市第四中学高2020届第二次高考适应性考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合,,则=‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数z满足，则 ‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎3．某公司生产，，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则 ‎ A．96 B．72 C．48 D．36‎ ‎4．已知向量，的夹角为，且，，则 ‎ A． B．3 C． D．‎ ‎5．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点 ‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎6．若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为 ‎ A． B．1 C．2 D．0‎ ‎7．(+)(2-)5的展开式中33的系数为 A．-80 B．-40 C．40 D．80‎ ‎8．已知双曲线：的一条渐近线过点，则的离心率为 ‎ A． B．‎ C． D．3‎ ‎9．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是 ‎ A．0 B． C． D．‎ ‎10．某简单几何体的三视图如图所示,若该几何体的所有顶点都在球的球面上,则球的体积是 A． B． C． D．‎ ‎11．已知是长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．函数在区间上的零点个数为 ‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知直线：，：，且，则k的值______.‎ ‎14．不等式在区间上的解集为__________．‎ ‎15．已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，，若，则双曲线的离心率为_____.‎ ‎16．已知函数（）为奇函数，，若函数与图像的交点为，，…，，则=________.‎ 三、解答题三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求面积的最大值.‎ ‎18．（12分）2020年春季，某出租汽车公司决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为万元/辆和万元/辆的两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车车型使用寿命频数表如下：‎ ‎（1）填写下表，并判断是否有的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关？‎ ‎（2）从和的车型中各随机抽取车，以表示这车中使用寿命不低于年的车数，求的分布列和数学期望；‎ ‎（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租车每年上交公司万元，其余维修和保险等费用自理.假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？‎ 附：，.‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 19． ‎（12分）如图，在三棱柱中，平面，分 20． 别为的中点，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎20．（12分）已知定点S( -2，0) ，T(2，0)，动点P为平面上一个动点，且直线SP、TP的斜率之积为.‎ ‎（1）求动点P的轨迹E的方程；‎ ‎（2）设点B为轨迹E与y轴正半轴的交点，是否存在直线l，使得l交轨迹E于M，N两点，且F(1，0)恰是△BMN的垂心?若存在，求l的方程;若不存在，说明理由.‎ ‎21．（12分）已知函数，.‎ ‎（1）求的极值； （2）若方程有三个解，求实数的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的方程为y=kx.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系；‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）曲线C与直线l交于A、B两点，若，求k的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．‎ 四川省宜宾市第四中学高2020届第二次高考适应性考试 理科数学参考答案 ‎1．C 2．C 3．B 4．C 5．D 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．B 12．C ‎13． 14． 15．或 16．3m ‎17．（1）由正弦定理得：‎ ‎ ，又 ‎ ‎，即 由得：‎ ‎（2）由余弦定理得：‎ 又（当且仅当时取等号） ‎ 即三角形面积的最大值为：‎ ‎18．（1）填表如下：‎ 使用寿命不高于年 使用寿命不低于年 总计 型 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 型 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 总计 ‎80‎ ‎120‎ ‎200‎ 由列联表可知，‎ 故有的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关.‎ ‎（2）由题意可知，型车使用寿命不低于年的车数占，低于年的车数占；型车使用寿命不低于年的车数占，低于年的车数占.且可能的取值为.‎ ‎，，，‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 其数学期望.‎ ‎（3）用频率估计概率，这辆款出租车的平均利润为：‎ ‎（万元），‎ 这辆款出租车的平均利润为：（万元），‎ 故会选择采购款车型.‎ ‎19．解：（1）在三棱柱中，平面，四边形为矩形.‎ 又分别为的中点，‎ 又，‎ 平面，平面平面.‎ ‎（2）由（1）知，由平面，平面.‎ 如图建立空间直角坐称系.‎ 由题意得 设平面的法向量为，‎ ‎，，‎ 令，则，平面的法向量，‎ 又平面的法向量为，.‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20．（1）设，由已知有， ‎ 整理得动点P的轨迹E的方程为 ‎（2）由（1）知，的方程为，所以 又，所以直线的斜率，‎ 假设存在直线，使得是的垂心，则.‎ 设的斜率为，则，所以.‎ 设的方程为，.‎ 由，得， ‎ 由，得，‎ ‎.‎ 因为，所以，因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 整理得，‎ 所以，‎ 整理得，解得或，‎ 当时，直线过点，不能构成三角形，舍去；‎ 当时，满足，‎ 所以存在直线：，使得是的垂心.‎ ‎21．（1）的定义域为，，‎ 当时，在上递减，在上递增，所以在处取得极小值，‎ 当时，，所以无极值，‎ 当时，在上递增，在上递减，所以在处取得极大值.‎ ‎（2）设，即，‎ ‎.‎ ‎①若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，至多有两个零点.‎ ‎②若，则，（仅）.单调递增，至多有一个零点.‎ ‎③若，则，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，要使有三个零点，必须有成立.‎ 由，得，这与矛盾，所以不可能有三个零点.‎ ‎④若，则.当或时，，单调递增；当时，，单调递减，要使有三个零点，必须有成立，‎ 由，得，由及，得，‎ ‎.‎ 并且，当时，，，‎ ‎，.‎ 综上，使有三个零点的的取值范围为.‎ ‎22．（1），‎ 所以曲线的极坐标方程为. ‎ ‎（2）设直线的极坐标方程为，其中为直线的倾斜角，‎ 代入曲线得设所对应的极径分别为.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ 满足，‎ 或的倾斜角为或，则或．‎ ‎23．解：（1）由柯西不等式得．‎ ‎∴，当且仅当时取等号．∴；‎ ‎（2），‎ 要使得不等式恒成立，即可转化为，‎ 当时，，可得，‎ 当时，，可得，‎ 当时，，可得，‎ ‎∴的取值范围为：．‎