2018-2019学年广东省实验中学高一下学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年广东省实验中学高一下学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年广东省实验中学高一下学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．关于的不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】将不等式化为，等价于，解出即可。‎ ‎【详解】‎ 由原式得且，解集为，故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分式不等式的解法，解分式不等式时，要求右边化为零，等价转化如下：‎ ‎；；‎ ‎；.‎ ‎2．三边，满足，则三角形是（ ）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】由基本不等式得出，将三个不等式相加得出，由等号成立的条件可判断出的形状。‎ ‎【详解】‎ 为三边，，由基本不等式可得，‎ 将上述三个不等式相加得，当且仅当时取等号，‎ 所以，是等边三角形，故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形形状的判断，考查基本不等式的应用，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”条件的应用，考查推理能力，属于中等题。‎ ‎3．设是等差数列的前项和，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据等差数列片断和的性质得出、、、成等差数列，并将和都用表示，可得出的值。‎ ‎【详解】‎ 根据等差数列的性质，若数列为等差数列，则也成等差数列；又，则数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列片断和的性质，再利用片断和的性质时，要注意下标之间的倍数关系，结合性质进行求解，考查运算求解能力，属于中等题。‎ ‎4．若直线：与直线：平行 ，则的值为（ ）‎ A．1 B．1或2 C．-2 D．1或-2‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为直线：与直线：平行 ‎ ，所以或-2，又时两直线重合，所以。‎ ‎【考点】两条直线平行的条件。‎ 点评：此题是易错题，容易选C，其原因是忽略了两条直线重合的验证。‎ ‎5．如图，在中，，是边上的高，平面，则图中直角三角形的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形。‎ ‎【详解】‎ ‎①平面，,都是直角三角形；‎ ‎②是直角三角形；‎ ‎③是直角三角形；‎ ‎④由得平面，可知：也是直角三角形.‎ 综上可知：直角三角形的个数是个，故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题。‎ ‎6．角的终边在直线上，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由直线的斜率得出，再利用诱导公式将分式化为弦的一次分式齐次式，并在分子分母中同时除以，利用弦化切的思想求出所求代数式的值。‎ ‎【详解】‎ 角的终边在直线上，，‎ 则，故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式化简求值，考查弦化切思想的应用，弦化切一般适用于以下两个方面：‎ ‎（1）分式为角弦的次分式齐次式，在分子分母中同时除以，可以弦化切；‎ ‎（2）代数式为角的二次整式，先除以，转化为角弦的二次分式其次式，然后在分子分母中同时除以，可以实现弦化切。‎ ‎7．已知三棱锥，侧棱两两垂直，且，则以为球心且为半径的球与三棱锥重叠部分的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据三棱锥三条侧棱的关系，得到球与三棱锥的重叠部分为球的，然后利用球体的体积公式进行计算。‎ ‎【详解】‎ 三棱锥，侧棱两两互相垂直，且，‎ 以为球心且为半径的球与三棱锥重叠部分的为球的，‎ 即对应的体积为，故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查球体体积公式的应用，解题的关键就是利用三棱锥与球的关系，考查空间想象能力，属于中等题。‎ ‎8．已知是圆上的三点，（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由等式，得出，并计算出，以及与的夹角为，然后利用平面向量数量积的定义可计算出的值。‎ ‎【详解】‎ 由于是圆上的三点，，‎ 则，，故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的数量积的计算，解题的关键就是要确定向量的模和夹角，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎9．如图，将边长为的正方形沿对角线折成大小等于的二面角分别为的中点，若，则线段长度的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】连接和，由二面角的定义得出，由结合为的中点，可知是的角平分线且，由的范围可得出 的范围，于是得出的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 连接，‎ 可得，即有为二面角的平面角，‎ 且，在等腰中，，‎ 且，，‎ 则，故答案为：，故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线段长度的取值范围，考查二面角的定义以及锐角三角函数的定义，解题的关键在于充分研究图形的几何特征，将所求线段与角建立关系，借助三角函数来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题。‎ ‎10．已知圆关于直线成轴对称图形，则的取值范围　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据圆关于直线成轴对称图形得，根据二元二次方程表示圆得，再根据指数函数的单调性得的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：圆关于直线成轴对称图形，‎ 圆心在直线上，‎ ‎，解得 又圆的半径，，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．‎ ‎11．已知函数，正实数是公差为正数的等差数列，且满足，若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：① ；②；③；④中一定不成立的是（ ）‎ A．① B．②③ C．①④ D．④‎ ‎【答案】D ‎【解析】先判断出函数的单调性，分两种情况讨论：①；②。结合零点存在定理进行判断。‎ ‎【详解】‎ 在上单调减，值域为，又。‎ ‎（1）若，由知，③成立；‎ ‎（2）若，此时，①②③成立。‎ 综上，一定不成立的是④，故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查零点存在定理的应用，考查自变量大小的比较，解题时要充分考查函数的单调性，对函数值符号不确定的，要进行分类讨论，结合零点存在定理来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题。‎ ‎12．已知实数满足，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分和两种情况讨论，在时，得出所求代数式等于零；在时，在所求分式中分子分母同时除以，得出 ‎，设，转化为直线与圆有公共点时，求出的取值范围，再结合双勾函数的单调性求出所求代数式的最大值。‎ ‎【详解】‎ 当时，，当时，，‎ 令，则，‎ 可先求过点与动点的直线的斜率的取值范围.‎ 动点落在圆上，若与圆相切，则有，‎ 解得，又过点且与圆相切的直线还有，‎ ‎，由函数单调性，当时单调递减，‎ 当时单调递增，当时有最小值，‎ 即的最小值为的最大值为，故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双勾函数求最值，考查直线与圆的位置关系，利用直线与圆的位置关系求出的取值范围是解题的关键，另外就是双勾函数单调性的应用，综合性较强，属于难题。‎ 二、填空题 ‎13．在等比数列中，已知，则=________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎14．正方体中，分别是的中点，则所成的角的余弦值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取的中点，由得出异面直线与所成的角为，然后在由余弦定理计算出，可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 取的中点，由且可得为所成的角，‎ 设正方体棱长为，中利用勾股定理可得，‎ 又，由余弦定理可得，‎ 故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线找出异面直线所成的角，再选择合适的三角形，利用余弦定理或锐角三角函数来计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题。‎ ‎15．已知为直线上一点，过作圆的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】利用切线长最短时，取最小值找点：即过圆心作直线 的垂线，求出垂足点。就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程。‎ ‎【详解】‎ 设切线长为，则，所以当切线长取最小值时，取最小值，‎ 过圆心作直线的垂线，则点为垂足点，此时，直线的方程为，‎ 联立，得，点的坐标为.‎ ‎①若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，圆心到该直线的距离为，合乎题意；‎ ‎②若切线的斜率存在，设切线的方程为，即.‎ 由题意可得，化简得，解得，‎ 此时，所求切线的方程为，即.‎ 综上所述，所求切线方程为或，‎ 故答案为：或。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查过点的圆的切线方程的求解，考查圆的切线长相关问题，在过点引圆的切线问题时，要对直线的斜率是否存在进行分类讨论，另外就是将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题。‎ ‎16．下列说法中：‎ ‎①若，满足，则的最大值为；‎ ‎②若，则函数的最小值为 ‎③若，满足，则的最小值为 ‎④函数的最小值为 正确的有__________．（把你认为正确的序号全部写上）‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】①令，得出，再利用双勾函数的单调性判断该命题的正误；‎ ‎②将函数解析式变形为，利用基本不等式判断该命题的正误；‎ ‎③由得出，得出，利用基本不等式可判断该命题的正误；‎ ‎④将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求出 的最小值，进而判断出该命题的正误。‎ ‎【详解】‎ ‎①由得，则，则，‎ 设，则，则，则上减函数，则上为增函数，‎ 则时，取得最小值，当时，，故的最大值为，错误；‎ ‎②若，则函数，‎ 则，‎ 即函数的最大值为，无最小值，故错误；‎ ‎③若，满足，则，则，‎ 由，得，‎ 则 ‎ ‎，‎ 当且仅当，即得，即时取等号，‎ 即的最小值为，故③正确；‎ ‎④‎ ‎，‎ 当且仅当，即，即时，取等号，‎ 即函数的最小值为，故④正确，故答案为：③④。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用基本不等式来判断命题的正误，利用基本不等式需注意满足“一正、二定、三相等”这三个条件，同时注意结合双勾函数单调性来考查，属于中等题。‎ 三、解答题 ‎17．设数列的前项和为，若且 求 若数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由时，，再验证适合，于是得出，再利用等差数列的求和公式可求出；‎ ‎（2）求出数列的通项公式，判断出数列为等比数列，再利用等比数列的求和公式求出数列的前项和。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当且时，；‎ 也适合上式，所以，，则数列为等差数列，‎ 因此，；‎ ‎（2），且，所以，数列是等比数列，且公比为，‎ 所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的前项和与数列通项的关系，考查等差数列与等比数列的求和公式，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎18．设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, ‎ ‎（Ⅰ）求B的大小;‎ ‎（Ⅱ）若,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由条件利用正弦定理求得 sinB的值，可得B的值 ‎（Ⅱ）使用正弦定理用sinA，sinC表示出a，c，得出a+c关于A的三角函数，根据A的范围和正弦函数的性质得出a+c的最值．‎ ‎【详解】‎ 解（Ⅰ）锐角 ‎ 又 ‎ ‎，，‎ 由正弦定理得 ， ‎ ‎∴ ‎ ‎ ． ∴ ‎ 的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的应用，属于基础题．‎ ‎19．已知四棱锥的底面是菱形，底面，是上的任意一点 求证：平面平面 设，求点到平面的距离 在的条件下，若，求与平面所成角的正切值 ‎【答案】（1）见解析（2）（3）‎ ‎【解析】（1）由平面，得出，由菱形的性质得出，利用直线与平面垂直的判定定理得出平面，再利用平面与平面垂直的判定定理可证出结论；‎ ‎（2）先计算出三棱锥的体积，并计算出的面积，利用等体积法计算出三棱锥的高，即为点到平面的距离；‎ ‎（3）由（1）平面，于此得知为直线与平面所成的角，由，得出平面，于此计算出，然后在中计算出即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）平面，平面，，‎ 四边形是菱形，，‎ 平面；‎ ‎（2）设，连结，则，‎ 四边形是菱形，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 设点到平面的距离为平面，，‎ ‎，解得，‎ 即点到平面的距离为；‎ ‎（3）由（1）得平面，为与平面所成角，‎ 平面，‎ ‎，与平面所成角的正切值为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面与平面垂直的证明、点到平面的距离以及直线与平面所成的角，求解点到平面的距离，常用的方法是等体积法，将问题转化为三棱锥的高来计算，考查空间想象能力与推理能力，属于中等题。‎ ‎20．两地相距千米，汽车从地匀速行驶到地，速度不超过千米小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度的平方成正比，比例系数为，固定部分为元，‎ ‎(1)把全程运输成本(元)表示为速度(千米小时)的函效:并求出当时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；‎ ‎(2)随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小，‎ ‎【答案】（1），当汽车以的速度行驶，能使得全称运输成本最小；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】（1）计算出汽车的行驶时间为小时，可得出全程运输成本为，其中，代入，，利用基本不等式求解；‎ ‎（2）注意到 时，利用基本不等式取不到等号，转而利用双勾函数的单调性求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知，汽车从地到地所用时间为小时，‎ 全程成本为，.‎ 当，时，，‎ 当且仅当时取等号，‎ 所以，汽车应以的速度行驶，能使得全程行驶成本最小；‎ ‎（2）当，时，，‎ 由双勾函数的单调性可知，当时，有最小值，‎ 所以，汽车应以的速度行驶，才能使得全程运输成本最小。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的应用，解题的关键就是建立函数模型，得出函数解析式，并通过基本不等式进行求解，考查学生数学应用能力，属于中等题。‎ ‎21．已知函数 当时，求函数的定义域；‎ 若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）将问题转化为解不等式，即，然后就与的大小进行分类讨论，求出该不等式的解，即可得出函数的定义域；‎ ‎（2），将问题转化为：关于的方程有两个不同的正根，得出，两根之和为正、两根之积为正，列出不等式组可解出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，，即，‎ 解方程，得，.‎ ‎①当时，即当时，解不等式，得或，‎ 此时，函数的定义域为；‎ ‎②当时，即当时，解不等式，得，‎ 此时，函数的定义域为；‎ ‎③当时，即当时，解不等式，解得或，‎ 此时，函数的定义域为；‎ ‎（2）令，‎ 则关于的方程有四个不同的实根可化为，‎ 即有两个不同的正根，则，‎ 解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查含参不等式的求解，考查函数的零点个数问题，在求解含参不等式时，找出分类讨论的基本依据，在求解二次函数的零点问题时，应结合图形找出等价条件，通过列不等式组来求解，考查分类讨论数学思想以及转化与化归数学思想，属于中等题。‎