安徽省合肥市蜀山区合肥一六八中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试卷

安徽省合肥市蜀山区合肥一六八中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试卷

高二理科数学试题 ‎ (时间:120分钟　满分:150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．经过圆上任意三个不同的点可以作出_____个平面.(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.0个 B.1个 C.2个 　D.1个或无数个 ‎2.已知光线从点A(-3,4)射出,到x轴上的点B后,被x轴反射,这时反射光线恰好过点C(1,6),则BC所在直线的方程为(　　)‎ A.5x-2y+7=0 　　 　B.2x-5y+7=0‎ C.5x+2y-7=0 　　 　D.2x+5y-7=0‎ ‎3．如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BB1,BC的中点,‎ 则图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影为(　　)‎ ‎ ‎ ‎4. 设长方体的三条棱长分别为、、，若长方体所有棱长度之和为，一条对角线长度为，体积为，则等于( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎5．设、是不同的两条直线，、是不同的两个平面，分析下列命题，其中正确的是（ ）． ‎ A．， ， B．∥，，∥‎ C．， ，∥ D．，，‎ ‎6．连结的直角顶点与斜边的两个三等分点，所得线段的长分别为和，则长为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知四棱锥底面四边形中顺次三个内角的大小之比为2:3:4，此棱锥的侧棱与底面所成的角相等，则底面四边形的最小角是（ ）．‎ A． B． C． D．无法确定 ‎8.《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”‎ ‎（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.在《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑 堵”ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上,且AB=AC=1.若球O的表面积为3π,则这个三棱柱的体积是(　　)‎ A. B. C. D.1‎ ‎9.球面上有三点A,B,C组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点,其中AB=18,BC=24,AC=30,球心到这个截面的距离为球半径的一半,则该球的表面积为(　　)‎ A.1200π B.1400π C.1600π D.1800π ‎10.两条异面直线a，b所成的角，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为( 　 )．‎ A. 　　　 B. ‎ C. D.‎ ‎11.如图,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,‎ 平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是(　　)‎ A.一条线段　　　　　　　　B.一条直线 C.一个圆　　　　　　　　　D.一个圆,但要去掉两个点 ‎12.已知矩形ABCD,AB=1,BC△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中(　　)‎ A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直 B.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直 C.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直 D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)‎ ‎13.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有　　　　　个. ‎ ‎14.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线:2x+y-7=0和:2x+y-5=0上移动,则AB的中点到原点的距离的最小值为　　　　　.‎ ‎15.如图,正方体ABCDA'B'C'D'有12条棱，选取其中6条棱，每条棱上取一点，使这6个点正好成为正八面体的6个顶点.(注：正八面体共有6个顶点.）比如就从点A出发，来进行构建。在与点A相邻的三条棱上分别取一点，使其到点A的距离都为棱长的四分之三，得到3个点：E、F、G。同理，对与点A相对的点C'进行类似的操作，得到另外3个点：E'、F'、G'.如下图所示，显然，位于正方体界面上的6条线段相等，即EF=FG=GE=E'F'=F'G'=G'E'.从正方体内部穿过的线段也有六条：EF'、EG'、FE'、FG'、GE'、GF'。这样一共得到12条线段，它们就是所要构建的正八面体的12条棱.通过计算它们的长度全都相等，即构建的是正八面体.在此正八面体中与所成角的余弦值是___.‎ ‎ ‎ ‎16. 在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1＝1，底面△ABC是边长为4的正三角形，则此三棱柱的体积为________．‎ 三、解答题(本大题共6小题,共10+12×5=70（分）.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题10分)如图,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且平面AOB⊥平面AOC.动点D在斜边AB上.‎ ‎(1)求证:平面COD⊥平面AOB;‎ ‎(2)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的正切值.(本题限用几何法，若运用坐标法不得分.)‎ P l y B O x A ‎18. (本小题12分)如图，在直角坐标系中，射线OA: x－y=0（x≥0）,OB: x+2y=0（x≥0）,过点P(1,0)作直线分别交射线OA、OB于A、B两点.‎ ‎(1)当AB中点为P时，求直线AB的方程；‎ ‎(2)当AB中点为在直线上时，求直线AB的方程.‎ ‎19.(本小题12分)Ｈ城市要在某小区前一块广场ABCDE(如图)上规划出一块长方形地面(不改变方位)，改善人们室外活动生活.问:如何设计才能使开发面积最大?并求出最大面积.(已知|BC|=210 m,|CD|=240 m,|DE|=300 m,|EA|=180 m)‎ ‎20.(本小题12分)在边长为的正方形中，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，重合后的点记为，构成一个三棱锥．‎ ‎ ‎ (1) 请判断与平面的位置关系，并给出证明；‎ ‎(2)证明：平面；‎ ‎(3)求四棱锥的体积．‎ ‎21.(本小题12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝4，M是棱CC1上的一点．‎ ‎(1)求证：BC⊥AM；‎ ‎(2)若N是AB的中点，且CN∥平面AB1M，求CM的长．(本题限用几何法，若运用坐标法不得分.)‎ ‎22.(本小题12分)如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，.‎ ‎(1)设线段、的中点分别为、，求证： ∥；‎ ‎(2)求二面角所成角的正弦值.(本题限用几何法，若运用坐标法不得分.)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A A B B B B C A C D C 高二上理科数学参考答案：‎ 13. ‎1个或无数个 14. 15. 16.‎ ‎17.解析:(1)由题意知,CO⊥AO,平面AOB⊥平面AOC,所以CO⊥平面AOB.‎ 又CO⊂平面COD,‎ 所以平面COD⊥平面AOB.‎ ‎(2)作DE⊥OB,垂足为E,连接CE(如图),‎ 则DE∥AO.‎ 所以∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.‎ 由(1)知CO⊥BO,‎ 在Rt△OCB中,CO=BO=2,OE 所以CE 又DE 所以在Rt△CDE中,tan∠CDE 故异面直线AO与CD所成的角的正切值 ‎18.解析:（1）因为分别为直线与射线及的交点， ‎ 所以可设，又点是的中点，所以有即 ‎∴A、B两点的坐标为，‎ ‎∴，‎ 所以直线AB的方程为 即.‎ ‎（2）①当直线的斜率不存在时，则的方程为，易知两点的坐标分别为所以的中点坐标为，显然不在直线上,‎ 即的斜率不存在时不满足条件. ‎ ‎②当直线的斜率存在时，记为，易知且，则直线的方程为 分别联立及 可求得两点的坐标分别为 所以的中点坐标为.‎ 又的中点在直线上,‎ 所以，‎ 解之得.‎ 所以直线的方程为，即.‎ ‎19.解析:以BC所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy,如图,则A(0,60),B(90,0).‎ AB所在的直线方程 即y=60‎ 所以可0

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