黑龙江省绥化市安达市第七中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试卷

黑龙江省绥化市安达市第七中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试卷

数学（理）试题 ‎ 一、选择题 ‎1.设全集则(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知复数 (为虚数单位),则在复平面内对应的点位于(   )‎ A.第一象限     B.第二象限     C.第三象限     D.第四象限 ‎3.“”是“”的(   )‎ A.充分不必要条件                  B.必要不充分条件 C.充要条件                     D.既不充分也不必要条件 ‎4.下列函数中,在其定义域内,既是奇函数又是减函数的是(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.函数的大致图象为(   )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知函数是定义在上周期为的奇函数,当时, ,则 (   )‎ A.1          B.-1         C.0          D.2‎ ‎7.观察下列等式,,,根据上述规律, (   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.为参数直线 (为参数)被曲线所截的弦长为(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，则方程的根落在区间（ ）‎ A． B． C． D．不能确定 ‎10.已知实数,满足,,则函数的零点个数是(   )‎ A.0          B.1          C.2          D.3‎ ‎11.已知是上的增函数,那么实数的取值范围是(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数是定义在上的函数,若函数为偶函数,且对任意,,都有,则(   )‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ 二、填空题 ‎13.函数的定义域为__________.‎ ‎14.曲线与所围成的图形的面积是________.‎ ‎15.关于不等式的解集是               .‎ ‎16.在下列给出的命题中,所有正确命题的序号为__________.‎ ‎①函数的图象关于点成中心对称;‎ ‎②对若,则或;‎ ‎③若实数,满足,则的最大值为;‎ ‎④若为钝角三角形,则.‎ 三、解答题 ‎17.某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.‎ ‎（I）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；‎ ‎（II）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；‎ ‎（III）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：‎ 广告投入x（单位：万元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售收益y（单位：万元）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎7‎ 表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将2的结果填入上表的空白栏，并计算y关于x的回归方程.‎ 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.‎ ‎18.在平面直角坐标系中,已知抛物线,过抛物线焦点F且与Y轴垂直的直线与抛物线相交于两点,且的周长为.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)若直线l过焦点F且与抛物线C相交于两点,过点分别作抛物线C的切线,切线与相交于点P,求：的值.‎ ‎19.已知函数,.‎ ‎1.若为的极值点,求的值;‎ ‎2.若的图象在点处的切线方程为,求在区间上的最大值;‎ ‎20.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为.奖励规则如下: ①若,则奖励玩具一个; ②若,则奖励水杯一个; ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. ‎ ‎ （1）求小亮获得玩具的概率; （2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.‎ ‎21.设命题:实数满足,其中,命题:实数满足. 1.若,且为真,求实数的取值范围; 2.若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.‎ ‎22.在直角坐标系中,已知曲线: (为参数),在以为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线:,曲线:. 1.求曲线与的交点的直角坐标; 2.设点分别为曲线,上的动点,求的最小值.‎ ‎23.已知.‎ ‎1.解不等式;‎ ‎2.若关于的不等式对于任意的恒成立,求的取值范围.‎ ‎24.已知函数,且. 1.若在区间上有零点,求实数的取值范围; 2.若在上的最大值是,求实数的的值.‎ ‎25.已知函数,其中. 1.当时,求曲线在点处的切线方程; 2.当时,若在区间上的最小值为,求的取值范围.‎ 四、证明题 ‎26.已知、、是正实数,且,求证: .‎ 参考答案 ‎1.答案：C 解析：由题意可得,则。‎ ‎2.答案：C 解析：因,故复数对应的点在第三象限,应选答案C。‎ ‎3.答案：B 解析：因为,所以,反之不成立,因此是必要不充分条件,应选答案B。‎ ‎4.答案：C 解析：A中, 是奇函数,但在定义域内不单调; B中, 是减函数,但不具备奇偶性; C中, 既是奇函数又是减函数; D中, 是奇函数,但在定义域内不单调; 故选C.‎ ‎5.答案：C 解析：函数为偶函数,所以去掉A,D.又当时, ,所以选C.‎ ‎6.答案：A 解析：函数是定义在上周期为的奇函数,∴,有,所以,故选A.‎ ‎7.答案：C 解析：∵所给等式左边的底数依次分别为 右边的底数依次分别为,(注意:这里,),‎ ‎∴由底数内在规律可知:第五个等式左边的底数为 右边的底数为,又左边为立方和,‎ 右边为平方的形式,故有,故选 ‎8.答案：A 解析：由直线的参数方程可得,直线的普通方程为,又由,可得表示以为圆心,半径为的圆,此时圆心在直线上,所以截得的弦长为,故选A.‎ ‎9.答案：B 解析：方程的解等价于的零点.由于在R上连续且单调递增, ,所以在内有零点且唯一,所以方程的根落在区间,故选B.‎ ‎10.答案：B 解析：依题意, ,,令,,为增函数, 为减函数,故有个零点.‎ ‎11.答案：D 解析：依题意,函数在上为增函数,故,解得.‎ 点睛:本题主要考查分段函数的单调性.由于函数是在上的增函数,所以分段函数的两段都是增函数,即当时,一次函数的斜率大于零,当时,对数函数的底数大于.除此之外,还需要满足在处的函数值,左边不大于右边.由此列出不等式组,从而求得实数的取值范围.‎ ‎12.答案：A 解析：依题意, 为偶函数,则函数关于对称,由于函数,即函数在上为减函数,在上为减函数.所以.‎ 点睛:本题主要考查函数的奇偶性,考查函数的单调性,考查函数图象变换.对于形如的函数,都可以看作是向左或右平移得到,根据这个特点,可以判断本题中函数的图像是关于对称的.再结合函数的单调性,并且将转化为,就能比较出大小.‎ ‎13.答案：(-2,3)‎ 解析：由题意得,即定义域为.‎ ‎14.答案：‎ 解析：由积分的几何意义可知, .‎ ‎15.答案：‎ 解析：当,即时,原不等式可化为,则;当,即时,原不等式可化为,则,故原不等式的解集是.‎ ‎16.答案：①②③‎ 解析：由函数可得.所以函数关于点成中心对称成立.所以①正确.由②的逆否命题是若且,则.显然命题成立.所以②正确.由图可知③正确.显然④不正确,如果都是锐角则大小没办法定.所以④不正确.故填①②③.‎ 考点:1.函数的对称性.2.命题的真假.3.几何法解决最值问题.4.三角函数问题.‎ ‎17.答案：（1）设各小长方形的宽度为m，可得：‎ ‎，.‎ ‎（2）可得各组中点从左向右依次是1，3，5，7，9，11，‎ 各组中点对应的频率从左向右依次是0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，‎ ‎∴平均值.‎ ‎（3）得空白栏为5，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 根据公式可得，，‎ 故回归直线方程为.‎ 解析： ‎ ‎18.答案：（1）由题意知焦点F的坐标为将代人抛物线C的方程可求得点的坐标分别为,‎ 有，可得的周长为有，得 故抛物线C的方程为 ‎（2）由1知抛物线C的方程可化为，求导可得.‎ 设点的坐标分别为.‎ 设直线l的方程为（直线l的斜率显然存在）.‎ 联立方程消去y整理为：，可得.‎ 有.‎ 可得直线的方程为，整理为.‎ 同理直线的方程为.‎ 联立方程，解得，则点p的坐标为.‎ 由抛物线的几何性质知，‎ 有 ‎∴‎ 解析：‎ ‎19.答案：1. 因为为的极值点,所以,即解得或 经检验,当或时, 是的极值点,故或 2.因为切点在切线: 上,故.因为切点在上,‎ 所以, .又,故,解得: .‎ 所以, ,‎ 由可知和是函数的极值点.‎ 因为, .‎ 所以在区间上的最大值为.‎ 解析：‎ ‎20.答案：（1） （2）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.‎ 解析：用数对表示儿童参加活动先后记录的数, 则基本事件空间与点集一一对应. 因为中元素个数是,所以基本试卷总数为. （1）记“”为事件.则事件包含的基本事件共有5个, 即, 所以, ,即小亮获得玩具的概率为. （2）记“”为事件,“”为事件. 则事件包含的基本事件共有6个, 即所以, 则事件包含的基本事件共有5个,即 所以因为所以,小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.‎ ‎21.答案：1.由,其中,‎ ‎ ‎ 得,,‎ ‎ ‎ 则:,.‎ ‎ ‎ 由,解得,‎ ‎ ‎ 即.‎ ‎ ‎ 若,则,‎ ‎ ‎ 若为真,则,同时为真,‎ ‎ ‎ 即解得,‎ ‎ ‎ ‎∴实数的取值范围. 2.若是的充分不必要条件,‎ 即是的充分不必要条件,‎ ‎∴,即,‎ 解得.‎ 解析：‎ ‎22.答案：1.曲线:消去参数,得,. ①‎ 曲线:, ②‎ 联立①②,消去可得: 或 (舍去),所以. 2.曲线:,是以为圆心,半径的圆.设圆心为,点,到直线的距离分别为,,则,,所以的最小值为.‎ 解析：1.先把曲线的参数方程化成普通方程为,利用三角函数公式和极坐标转换直角坐标公式得曲线的直角坐标系方程,两个方程联立解得交点的直角坐标为.与的交点的直角坐标. 2.先由已知得曲线的直角坐标方程为,根据点到直线的距离公式求出曲线的圆心到直线的距离,所以.‎ ‎23.答案：1.不等式即,由于表示数轴上的对应点到和对应点的距离之和,‎ 而和对应点到和对应点的距离之和正好等于,‎ 故不等式的解集为. 2.因为,‎ 所以的最小值为,‎ 要使得关于的不等式对任意的恒成立,‎ 只需解得,故的取值范围是.‎ 解析：1.分三种情况,,去掉绝对值解不等式即可. 2.若关于的不等式对于任意的恒成立,‎ 故的最小值大于.‎ 而由绝对值的意义可得的最小值为,‎ ‎∴,解得,故所求的的取值范围为.‎ ‎24.答案：1.解:由,得.‎ 又在区间上有零点,且的一个零点是;‎ 所以, . 2. ,对称轴为.‎ ‎①当时, ,则;‎ ‎②当时, ,则,或 (舍去);‎ ‎③当时, ,则 (舍去);‎ 综上: 或.‎ 解析：1.由,得.又在区间上有零点可得.或者可用求根公式求得另一零点,使其在区间内. 2.函数的图像是开口向上的抛物线,对称轴为.讨论对称轴与区间的关系,根据函数的单调性求其最大值.‎ ‎25.答案：1.当时, ,,则,,所以切线方程是. 2.函数的定义域是. 当时, , 令,得或. ①当,即时, 在上单调递增, 所以在上的最小值是; ②当,即时, 在上单调递减,在上单调递增, 所以在上的最小值是,不合题意,故舍去; ③当,即时, 在上单调递减, 所以在上的最小值是,不合题意,故舍去; 综上所述, 的取值范围为.‎ 解析：1.我们易求出及的值,代入点斜式方程即可得到答案. 2.确定函数的定义域,求导函数,分类讨论,确定函数的单调性,利用函数在区间上的最小值为,即可求的取值范围.‎ ‎26.答案：由、、是正实数,∴要证,只要证,即证,即证, ∵,∴原不等式成立.‎ 解析：只要证明,只要证明,只要证,而为已知条件,命题得证.‎ ‎ ‎