【数学】2019届一轮复习人教A版与三角函数相关的最值问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版与三角函数相关的最值问题学案

一．方法综述 三角函数相关的最值问题历来是高考的热点之一，而三角函数的最值问题是三角函数的重要题型，其中包括以考查三角函数图象和性质为载体的最值问题、三角函数的有界性为主的最值问题时屡见不鲜的题型，熟悉三角函数的图象和性质和掌握转化思想是解题关键．‎ 二．解题策略 类型一 与三角函数的奇偶性和对称性相关的最值问题 ‎【例1】若将函数的图象向左平移（）个单位，所得的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【指点迷津】具有奇偶性时，（）或（）.‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、【广州市 高三第一学期第一次调研】将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B学 ‎ ‎【解析】将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数 ‎ ‎，又其为奇函数，‎ ‎∴， ， ， ，又 当时， 的最小值为学 ‎ 故选 B ‎2、【河南省 高三12月联考】若函数关于直线（）对称，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得， ，即， ， 时， 的最大值为 .‎ ‎3、【2018河南省林州市第一中学模拟】定义运算，将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 令可得的最小值为.‎ 本题选择B选项. 学 ‎ 类型二 与三角函数的单调性相关的最值问题 ‎【例2】已知, 在上单调递减，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【指点迷津】‎ 熟记三角函数的单调区间以及五点作图法做函数图象是解决单调性问题的关键．‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、【皖江名校 高三12月份大联考】若函数的图象在区间上只有一个极值点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】结合题意，函数唯一的极值点只能是，所以有 得。‎ 故选B. 学 ‎ ‎2、【2018福建省闽侯第四中学模拟】将函数（）的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎3.【2018广西桂林市第十八中学模拟】已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 类型三 转化为型的最值问题 ‎【例3】【2018河南省林州市第一中模拟】已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D学 ‎ ‎【解析】分类讨论 ‎ 当时， ，此时有 ，‎ 当时， ，此时有 ，‎ 综上可得 的取值范围是 .‎ 本题选择D选项.学 ‎ ‎【指点迷津】先求的范围，进而结合三角函数的图象求值域.‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、【2018山东省济南外国语学校模拟】函数的图象向左平移（）个单位后关于对称，且两相邻对称中心相距，则函数在上的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 2、【2018湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三10月联考】函数在内的值域为,则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示， ，解得，故选B. 学 ‎ ‎3、已知函数（）向左平移半个周期得的图像，若 在上的值域为，则的取值范围是（ ）[ 学, , ]‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 即函数的最小值为,最大值为1,则,得.‎ 综上,ω的取值范围是，‎ 本题选择D选项.‎ 类型四 转化为二次函数型的最值问题 ‎【例4】【湖南省衡阳县 高三12月联考】函数，当对恒成立时， 的最大值为，则__________．‎ ‎【答案】-7‎ ‎【指点迷津】分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. ‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、【2018华中学模拟】函数，关于的为等式对所有都成立，则实数的范围为__________．‎ ‎【答案】‎ 令， ，设 当即时， ‎ ‎∴（舍）‎ 当即时， ‎ ‎∴‎ 当即时， ，即 ‎∴‎ ‎∴‎ 综上所述， ‎ 故答案为 ‎2、求函数的值域.‎ ‎【解析】‎ ‎[令sinx+cosx=t,则,其中 所以 ,故值域为.‎ 三．强化训练 ‎1、【2018广东深圳市耀华实验学校模拟】函数是上的偶函数，则的值是 A. B. 0 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎2、【2018陕西省西安中学模拟】若函数， ， ，又， ，且的最小值为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵ 函数 ‎∴‎ ‎∴函数的最大值为2‎ ‎∵， ，且的最小值为 ‎∴函数的周期为 ‎∴由周期公式可得 ‎∵‎ ‎∴‎ 故选A ‎3、【2018湖南省长沙市长郡中模拟】若函数，又， ，且的最小值为，则正数的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ 4. 【2018湖南省五市十校教研教改共同体联考】将余弦函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若关于的方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得， ‎ 若关于的方程在内有两个不同的解，‎ 根据图像知，选A.‎ ‎5、【2018山西省实验中学模拟】若函数在上的图象与直线恰有两个交点.则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎6. 【2018四川省（大教育联盟）】当时，函数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数 ‎=sin+（1+cos）﹣‎ ‎=（sin+cos）‎ ‎=sin（+），‎ 当时， +∈[， ]，‎ ‎∴sin（+）∈[，1]；∴函数f（x）=sin（﹣）的最小值为．故选 ‎ ‎7、【2018山西省芮城中学模拟】将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎8. 【河南省中原名校（豫南九校） 高三上学期第四次质量考评】已知，则的最大值为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得。由辅助角公式可得， 所以最大值为2.故选C。‎ ‎9. 【2018广西桂林市第十八中学模拟】已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 10、【2018山东青岛市胶南市第八中学模拟】已知函数为的零点， 为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】为的零点， 为图象的对称轴， 即，即为正奇数， 在，则，即，解得，当时， ， ，此时在不单调，不满足题意，当时， ， ，此时在单调，满足题意，故的最大值为，故选D.‎ ‎11、【2018湖北省襄阳市四校联考】函数为奇函数，且在上为减函数的值可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ 12. 【2018山东省烟台市实验中学模拟】已知函数，且，则的最小值为_____________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 画出了函数图像， ，故得到a和b是关于轴对称的， ； ‎ 等号成立的条件为 ‎ 故答案为 9.‎ ‎13. 【上海市浦东新区 高三数学一模试题】已知函数（），将的图像向左平移个单位得到函数的图像，令，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为________‎