【数学】2019届一轮复习北师大版 集合与常用逻辑用语 学案
【考向解读】
集合与常用逻辑用语在高考中是以选择题或填空题的形式进行考查的，属于容易题．但命题真假的判断，这一点综合性较强，联系到更多的知识点，属于中挡题．预测2016年高考会以集合的运算和充要条件作为考查的重点．
【命题热点突破一】集合的关系及运算
集合是高考每年必考内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度大多数为最低档，有时候在填空题中以创新题型出现，难度稍高．在复习中，本部分应该重点掌握集合的表示、集合的性质、集合的运算及集合关系在常用逻辑用语、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面的应用．同时注意研究有关集合的创新问题，研究问题的切入点及集合知识在相关问题中所起的作用．
1．集合的运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
2．集合运算中的常用方法 学 ]
(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；
(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；
(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
例1、【2017课标3，理1】已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【变式探究】【2016高考新课标3理数】设集合 ，则
（ ）
(A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+） (C) [3,+ ） (D)（0，2] [3,+）
【答案】D
【解析】由解得或，所以，
所以，故选D．学
【感悟提升】
(1)集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后可借助Venn图或数轴求解．
(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．
【变式探究】(1)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2
4，即c＝4.
【点评】(1)弄清集合中所含元素的性质是集合运算的关键，这主要看代表元素，即“|”前面的表述．(2)当集合之间的关系不易确定时，可借助Venn图或列举实例．
【命题热点突破二】四种命题与充要条件
逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度以低、中档为主．在复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用．这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查．
1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．
2．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．
例2、【2017天津，理4】设，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
【答案】
【变式探究】【2016高考天津理数】设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n−1+a2n<0”的（ ）
（A）充要条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题意得，，故是必要不充分条件，故选C. 学
【感悟提升】充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法 正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
(2)集合法 利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．
(3)等价法 将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
【变式探究】(1)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】m⊂α，m∥β⇒/α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，
所以m∥β是α∥β的必要而不充分条件．
(2)给出下列命题
①若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
②a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
③在△ABC中，sinA>sinB的充要条件为A>B；
④在△ABC中，设命题p △ABC是等边三角形，命题q a∶b∶c＝sinB∶sinC∶sinA，那么命题p是命题q的充分不必要条件．
其中正确的命题为________．(把你认为正确的命题序号都填上)
【答案】①③
④不正确．若△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，sinB＝sinC＝sinA，即命题p是命题q的充分条件；若a∶b∶c＝sinB∶sinC∶sinA，则＝，又由正弦定理得＝，即＝，所以＝，即c2＝ab，同理得a2＝bc，b2＝ac，所以c＝a＝b，所以△ABC是等边三角形．因此命题p是命题q的充要条件．
综上所述，正确命题的序号是①③.
【点评】判断充分、必要条件时应注意的问题
(1)先后顺序 “A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
(2)举出反例 如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例 说明．
(3)准确转化 若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若綈p是綈q的充要条件，那么p是q的充要条件．
【命题热点突破三】 逻辑联结词、量词
1．命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．
2．命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．
3．“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”．
例3、【2017山东，理3】已知命题p ；命题q 若a＞b，则，下列命题为真命题的是
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【变式探究】【2016高考浙江理数】命题“，使得”的否定形式是（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，使得 D．，使得
【答案】D
【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D．学
【感悟提升】
(1)命题的否定和否命题是两个不同的概念 命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度 思考，将问题转化为集合间的运算． [ 学 ]
【变式探究】(1)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
(2)已知命题p 若x>y，则－x<－y；命题q 若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
【答案】(1)D (2)C
(2)当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．
当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．
由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．故选C.
【点评】利用等价命题判断命题的真假，是判断命题真假快捷有效的方法．在解答时要有意识地去练习．
【高考真题解读】
1.【2017课标1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】,由可得，则，即，所以
，，故选A.
2.【2017课标II，理】设集合，。若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得，即是方程的根，所以，
，故选C．
3．【2017课标3，理1】已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
4.【2017北京，理1】若集合A={x|–23}，则AB=
（A）{x|–22n，则綈p为( )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
【答案】C
【解析】将命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”．
