天津市河北区2020届高三总复习质量检测（一）数学试题

天津市河北区2020届高三总复习质量检测（一）数学试题

河北区2019－2020学年度高三年级总复习质量检测（一）‎ 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共45分）‎ 注意事项：‎ ‎ 1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。‎ ‎2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。‎ ‎3． 本卷共9小题，每小题5分，共45分。‎ 参考公式：‎ ‎· 如果事件A，B互斥，那么 P（A∪B）＝P（A）＋P（B）‎ ‎· 如果事件A，B相互独立，那么 P（AB）＝P（A）P（B）‎ ‎· 球的表面积公式 S＝‎ ‎ 球的体积公式 V＝‎ ‎ 其中R表示球的半径 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）已知集合，，，则集合 ‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）设，则“”是“”的 ‎ （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C） 充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（3）已知直线与圆相交于， 两点，若，‎ 则直线的斜率为 ‎ （A） （B） ‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（4）已知双曲线的焦距为4，点为双曲线上一点，则双曲线的渐近线方程为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（5）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是 ‎ （A） ‎ ‎ ‎ （B） ‎ ‎ （C） ‎ ‎（D） ‎ ‎（第（5）题图）‎ ‎（6）已知函数是定义在上的偶函数，且在单调递增，设，‎ ‎，，则，，的大小关系为 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（7）在等腰梯形中，，，为的中点，将与分别沿，向上折起，使，重合为点，则三棱锥的外接球的体积为 ‎ ‎（A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎ （8）将函数的图象向左平移个单 ‎ 位长度，得到函数的图象，若函数在为增函数，则的最大值为 ‎（A）1 （B）2 ‎ ‎（C）3 （D）‎ ‎ （9）已知函数 若关于的方程 恰有1个实根，则实数的取值范围是 ‎ ‎ ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ 河北区2019－2020学年度高三年级总复习质量检测（一）‎ 数 学 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎ 1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ ‎2． 用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上。‎ ‎3． 本卷共11小题，共105分。‎ 得 分 评卷人 二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 请将答案 写在答题纸上.‎ ‎（10）设复数（为虚数单位），则_____________． ‎ ‎（11）二项式的展开式中，项的系数为 ． ‎ ‎（12）从某班的4名男生，2名女生中任选3人参加学校组织的社会实践活动．‎ 设所选3人中女生人数为，则 ，数学期望 ． ‎ ‎（13）已知，且，则的最小值为 ．‎ ‎（14）已知是边长为2的等边三角形，，，且与 相交于点，则 ． ‎ （15） 已知函数，，分别给出下面几个结论：‎ ‎① 等式在时恒成立；‎ ‎ ② 函数的值域为；‎ ‎③ 若，则一定有；‎ ‎④ 函数在上有三个零点．‎ 其中正确结论的序号是______________．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ 得 分 评卷人 ‎（16）（本小题满分14分）‎ 已知的内角的对边分别为，满足．‎ ‎ （Ⅰ）求角；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值；‎ ‎（Ⅲ）若，，求的值．‎ 请将答案写在答题纸上 得 分 评卷人 ‎（17）（本小题满分15分）‎ ‎ 如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，，且， ，是棱的中点． ‎ ‎ （Ⅰ）求证：平面； ‎ ‎ （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； ‎ ‎ （Ⅲ）在线段上（不含端点）是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由．‎ 请将答案写在答题纸上 得 分 评卷人 ‎（18）（本小题满分15分）‎ ‎ 已知等比数列的前项和为，公比，且是，的等差中项，． ‎ ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ 请将答案写在答题纸上 得 分 评卷人 ‎（19）（本小题满分15分）‎ ‎ 已知椭圆的离心率为，直线与圆 相切．‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的方程； ‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于不同两点，，线段的中垂线为 ‎，若在轴上的截距为，求直线的方程．‎ 请将答案写在答题纸上 得 分 评卷人 ‎（20）（本小题满分16分）‎ 已知函数，其中．‎ ‎ （Ⅰ）求函数的单调区间； ‎ ‎ （Ⅱ）设，若对任意的，恒成立，求的最大值；‎ ‎ （Ⅲ）求证：当时，．‎ ‎ ‎ ‎ 请将答案写在答题纸上 ‎ ‎ 河北区2019－2020学年度高三年级总复习质量检测（一）‎ 数 学 答 案 一、 选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．‎ 题号 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ ‎（9）‎ 答案 A A B ‎ D C ‎ C D B A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎ （10）； （11）； （12），1； ‎ ‎ （13）； （14）； （15）①②③．‎ 三、 解答题：本大题共5小题，共75分．‎ （16） ‎（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）∵，‎ 由正弦定理得，． .…….……2分 ‎∴， .…….……4分 即． ‎ ‎∵，‎ ‎∴． .…….……5分 又，‎ ‎∴． .…….……6分 ‎（Ⅱ）由已知得，． .…….……7分 ‎∴， .…….……8分 ‎ ． .…….……9分 ‎ ∴. ….……11分 ‎（Ⅲ） 由正弦定理，得．‎ 由（Ⅰ）知，，‎ ‎∴． .…….……12分 ‎ 由余弦定理得，． ‎ ‎∴． .…….……14分 ‎ （16） ‎（本小题满分15分）‎ 证明：（Ⅰ）连接交于点，‎ 连接．‎ ‎ ∵是平行四边形，‎ ‎∴是的中点．‎ 又是的中点，‎ ‎∴． .…….……2分 又平面，‎ 平面，‎ ‎∴平面．.…….……4分 解：（Ⅱ）以为坐标原点，分别以 所在直线为轴，轴，轴 建立如图所示的空间直角坐标系， ‎ 则，，， ‎ ‎，，．‎ ‎ 设平面的法向量为．‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴ 即 ‎ 不妨取，得． .…….……6分 又．‎ 设直线与平面所成的角为，‎ 则，‎ ‎ 即直线与平面所成角的正弦值为． .…….……9分 ‎（Ⅲ）假设在线段上（不含端点）存在一点，使得二面角的余弦值为 ‎．连接．‎ 设， .…….……10分 ‎ 得． ‎ ‎ 设平面的法向量为． ‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴ 即 ‎ 不妨取，得． .…….……12分 ‎ 设二面角的平面角为，‎ 则．‎ 化简得，‎ 解得，或．‎ ‎∵二面角的余弦值为，‎ ‎∴．‎ ‎∴在线段上存在一点，且，使得二面角的余弦值为 ‎． …….……15分 ‎ ‎ （16） ‎（本小题满分15分）‎ ‎ ‎ 解：（Ⅰ）由题意得，‎ 又， ‎ ‎∴． ‎ ‎∴． .…….……2分 设数列的公比为（）．‎ ‎∵， ‎ ‎∴． .…….……4分 ‎∴．‎ ‎∴． .…….……6分 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ ‎∴． .…….…… 8分 ‎ ‎ ∴． .…….……9分 ‎ ‎ ． .…….……10分 ‎ 两式相减得，‎ ‎ .…….……11分 ‎ ‎ ‎ ， ..…….……14分 ‎ ‎ ∴． .…….……15分 ‎ （16） ‎（本小题满分15分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得， ..…….……3分 ‎ 又 ， ‎ ‎∴． ..…….……4分 ‎ ∴椭圆的方程为． .…….……5分 ‎  （Ⅱ）由题意，直线的斜率存在且不为零．‎ 设直线的方程为，． .…….……6分 ‎ 设，，的中点．‎ 由 ‎ 消去，整理得． .…….……7分 ‎ 由，‎ 解得，且， .…….……8分 ‎∴． .…….……9分 ‎∴，． ‎ ‎ ∴． .…….……11分 由题意可知，，‎ 即． .…….……12分 化简得，．‎ ‎ 令，． .…….……13分 ‎ 解得，或． ‎ ‎∵，且，‎ ‎∴． .…….……14分 故直线的方程为． .…….……15分 （16） ‎（本小题满分16分）‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域为， .…….……1分 ‎ ‎． .…….……3分 ‎（1）当时，‎ ‎∵，‎ ‎∴函数在单调递增． .…….……4分 ‎（2）当时，，‎ 由，得，‎ 由，得，‎ ‎∴函数在单调递增，在单调递减． …….……6分 ‎ （Ⅱ）若，则，不满足恒成立． .…….……7分 ‎ 若，由（Ⅰ）知，函数在单调递增，在单调递减．‎ ‎∴． .…….……8分 又恒成立，‎ ‎∴，即．‎ 令，‎ 则．‎ ‎∵， ‎ ‎ ∴函数在单调递增，且，． ‎ ‎ ∴存在唯一的，使得． .…….……10分 当时，，当时，，‎ ‎∴，解得． ‎ ‎ 又，‎ ‎∴的最大值为． .…….……12分 ‎（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当时，． ‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴．‎ ‎ 记，‎ ‎． .…….……14分 记，‎ ‎．‎ ‎ 由，得．‎ 当时，，当时，，‎ ‎∴函数在单调递减，在单调递增． ‎ ‎∴．‎ ‎∴，即．‎ ‎ 故函数在单调递增． ‎ ‎∴，即．‎ ‎∴． .…….……16分 注：其他解法可参照评分标准酌情给分 ‎ ‎