2021高考数学一轮复习课时作业22简单的三角恒等变换理

2021高考数学一轮复习课时作业22简单的三角恒等变换理

课时作业22　简单的三角恒等变换 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．[2020·广州毕业班测试]已知cos＝，则sin θ＝(　　)‎ A.　　 　B. C．－ D．－ 解析：由题意得sin θ＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－，故选C.‎ 答案：C ‎2．化简＝(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 解析：原式＝＝＝＝.‎ 答案：C ‎3．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)‎ A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3‎ B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4‎ C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3‎ D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4‎ 解析：∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B.‎ 答案：B ‎4．[2020·湖北宜昌两校第一次联考]若tan＝，则cos 2α＋sin 2α＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 5‎ 解析：因为tan＝，所以tan α＝＝，于是cos 2α＋sin 2α＝＝＝＝.故选C.‎ 答案：C ‎5．[2019·河南林州一中期末]已知－<α－β<，sin α＋2cos β＝1，cos α－2sin β＝，则sin(β＋)＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：将两个等式两边平方，再相加，得5＋4sin(α－β)＝3，sin(α－β)＝－，∵－<α－β<，∴α－β＝－，即α＝β－，代入sin α＋2cos β＝1，得sin(β＋)＝1，即sin(β＋)＝，故选A.‎ 答案：A 二、填空题 ‎6．[2020·武汉市武昌区高三调研]若tan α＝cos α，则＋cos4α＝________.‎ 解析：tan α＝cos α⇒＝cos α⇒sin α＝cos2α，故＋cos4α＝＋cos4α＝sin α＋＋cos4α＝sin α＋＋sin2α＝sin2α＋sin α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.‎ 答案：2‎ 5‎ ‎7．[2019·湖北鄂州四校第二次联考]已知cos(＋α)＝3sin(α＋)，则tan(＋α)＝________.‎ 解析：由题意，得－sin α＝－3sin(α＋)，即sin[(α＋)－]＝3sin[(α＋)＋]，所以sin(α＋)cos－cos(α＋)·sin＝3sin(α＋)cos＋3cos(α＋)sin，整理得tan(＋α)＝－2tan＝－2tan(－)＝－2×＝2－4.‎ 答案：2－4‎ ‎8．[2020·湖南岳阳三校第一次联考]已知函数f(x)＝ (－4≤x≤0)，则f(x)的最大值为________．‎ 解析：由已知得 f(x)＝ ‎＝≤≤2＋，当且仅当x＝－2时等号成立，因此f(x)的最大值为2＋.‎ 答案：2＋ 三、解答题 ‎9．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．‎ 解析：由cos β＝，β∈，‎ 得sin β＝，tan β＝2.‎ 5‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝＝1.‎ ‎∵α∈，β∈，‎ ‎∴<α＋β<，∴α＋β＝.‎ ‎10．[2019·湖北武汉部分重点中学第二次联考]已知函数f(x)＝cos2x＋2sin(＋x)cos(＋x)－sin2x.‎ ‎(1)当x∈[0，]时，f(x)的最大值和最小值；‎ ‎(2)若f(θ)＝，求tan2(－θ)的值．‎ 解析：(1)依题意，知f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin(2x＋).‎ 因为x∈[0，]，所以≤2x＋≤，‎ 所以－≤sin(2x＋)≤1，则－1≤2sin(2x＋)≤2，‎ 于是当x∈[0，]时，f(x)min＝－1，f(x)max＝2.‎ ‎(2) 因为f(θ)＝，所以sin(2θ＋)＝，‎ 所以cos(－2θ)＝sin [(－)－2θ]＝sin(2θ＋)＝，‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11．[2019·天津联考]设函数f(x)＝2tan·cos2－2cos2＋1.‎ 5‎ ‎(1)求f(x)的定义域及最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在[－π，0]上的最值．‎ 解析：(1)f(x)＝2sincos－cos ‎＝sin－cos ‎＝sin－cos＋sin ‎＝sin.‎ 由≠＋kπ(k∈Z)得f(x)的定义域为{x|x≠2π＋4kπ(k∈Z)}，‎ 故f(x)的最小正周期为T＝＝4π.‎ ‎(2)∵－π≤x≤0，∴－≤－≤－.‎ ‎∴－∈，即x∈，f(x)单调递减，‎ ‎∴－∈，即x∈，f(x)单调递增，‎ ‎∴f(x)min＝f＝－.‎ 而f(0)＝－，f(－π)＝－，‎ ‎∴f(x)max＝f(0)＝－.‎ 5‎