- 2021-06-24 发布 |
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文档介绍
2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第十二章 第2讲 算法与程序框图
第2讲 算法与程序框图 一、知识梳理 1．算法与程序框图 (1)算法 ①算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决． ②应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题． (2)程序框图 定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框图、流程线及文字说明来表示算法的图形． 2．三种基本逻辑结构 名称 内容 顺序结构 选择结构 循环结构 定义 由若干个依次执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构 算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，选择结构就是处理这种过程的结构 从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的结构，反复执行的步骤称为循环体 程序框图 常用结论 1．赋值号左边只能是变量(不能是表达式)，在一个赋值语句中只能给一个变量赋值． 2．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反． 二、教材衍化 1．如图为计算y＝|x|函数值的程序框图，则此程序框图中的判断框内应填________． 解析：输入x应判断x是否大于等于零，由图知判断框应填x<0. 答案：x<0 2．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为________． 解析：按照程序框图依次循环运算，当k＝5时，停止循环，当k＝5时，S＝sin＝. 答案： 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条件结构和循环结构．( ) (2)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．( ) (3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框．( ) (4)输入语句可以同时给多个变量赋值．( ) (5)在算法语句中，x＝x＋1是错误的．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏 (1)注意循环结构中控制循环的条件； (2)注意区分程序框图是条件结构还是循环结构． 1．若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为________． 解析：由程序框图可以看出，当n＝8时，S>6时，程序结束，故输出S＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝7. 答案：7 2．更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”如图是关于该算法的程序框图，如果输入a＝153，b＝119，那么输出的a的值是________． 解析：第一次循环得，a＝153－119＝34；第二次循环得，b＝119－34＝85；第三次循环得，b＝85－34＝51；第四次循环得，b＝51－34＝17；第五次循环得，a＝34－17＝17，此时a＝b，输出a＝17. 答案：17 顺序结构与条件结构(自主练透) 1．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.由程序框图知y＝ 由已知得或或解得x＝0或x＝1或x＝3，这样的x值的个数是3. 2．(2020·江西新余模拟)定义运算a⊗b为执行如图所示的程序框图输出的S的值，则式子⊗的值是( ) A．－1 B． C．1 D． 解析：选D.由程序框图可知程序的功能是计算并输出分段函数S＝的值，因为⊗＝1⊗，且1>－，所以1⊗＝1×＝，故选D. 3．(2020·北京第八十中学阶段测评)阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是( ) A．[－2，2] B．[0，2] C．[－2，－1] D．[－2，0] 解析：选D.由程序框图可得分段函数y＝令2x∈，则x∈[－2，0]，所以输入的实数x的取值范围是[－2，0]．故选D. 顺序结构和条件结构的运算方法 (1)顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．解决此类问题，只需分清运算步骤、赋值量及其范围进行逐步运算即可． (2)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断． (3)对于条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支． 循环结构(多维探究) (1)(2019·高考全国卷Ⅲ)执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于( ) A．2－ B．2－ C．2－ D．2－ 第(1)题图 第(2)题图 (2)(2020·益阳、湘潭调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为( ) A．15 B．16 C．47 D．48 【解析】 (1)执行程序框图，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝，不满足x<ε＝， 所以s＝1＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝， 所以s＝1＋＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝， 所以s＝1＋＋＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝， 所以s＝1＋＋＋＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝， 所以s＝1＋＋＋＋＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝， 所以s＝1＋＋＋＋…＋＝2－，x＝，满足x<ε＝， 输出s＝2－，选C. (2)执行程序框图，n＝3，x＝3，v＝1，i＝2≥0，v＝1×3＋2＝5，i＝1≥0；v＝5×3＋1＝16，i＝0≥0；v＝16×3＋0＝48，i＝－1<0，退出循环，输出v的值为48.故选D. 【答案】 (1)C (2)D 角度二 由输出结果判断输入量的值 (1)(2020·黑龙江哈尔滨六中期中)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则输入的a为( ) A．3 B．6 C．5 D．4 (2)(2020·安徽江南十校第二次联考)元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x＝0，则输入的x值为( ) A. B． C. D． 【解析】 (1)第1次循环，n＝1，S＝；第2次循环，n＝2，S＝＋；第3次循环，n＝3，S＝＋＋；第4次循环，n＝4，S＝＋＋＋＝.因为输出的结果为，所以判断框的条件为n<4，所以输入的a为4.故选D. (2)输入x，i＝1；x←2x－1，i＝2；x←2(2x－1)－1＝4x－3，i＝3；x←2(4x－3)－1＝8x－7，i＝4；x←2(8x－7)－1＝16x－15，i＝5，退出循环．依题意可知16x－15＝0，解得x＝.故选A. 【答案】 (1)D (2)A 角度三 辨析程序框图的算法功能 (1)(2020·河北许昌模拟)如图所示的程序框图的功能是( ) A．求1－＋－＋…－的值 B．求1＋＋＋＋…＋的值 C．求1＋＋＋＋…＋的值 D．求1－＋－＋…＋的值 (2)如图所示的程序框图的算法思路源于《算法统宗》中的“李白沽酒”问题，则该程序框图的功能是( ) A．输入a的值，计算a·22 019－3×22 018－3 B．输入a的值，计算a·22 020－3×22 019－3 C．输入a的值，计算a·22 019－3×(1＋2＋22＋…＋22 018) D．输入a的值，计算a·22 020－3×(1＋2＋22＋…＋22 019) 【解析】 (1)输入a＝1，n＝1，S＝0；S＝1，a＝－1，n＝3；S＝1－，a＝1，n＝5；S＝1－＋，a＝－1，n＝7；S＝1－＋－，a＝1，n＝9；…；S＝1－＋－＋…－，a＝1，n＝21，21>19，退出循环．输出S＝1－＋－＋…－，故选A. (2)由程序框图可知，i＝1，m＝2(2a－3)－3＝a·22－3×(2＋1)，1<2 019成立；i＝2，m＝2[a·22－3×(2＋1)]－3＝a·23－3×(22＋2＋1)，2<2 019成立；…；i＝2 019，m＝a·22 020－3×(1＋2＋…＋22 019)，2 019<2 019不成立，结束循环．故输出的m＝a·22 020－3×(1＋2＋…＋22 019)，所以该程序框图的功能是输入a的值，计算a·22 020－3×(1＋2＋22＋…＋22 019)．故选D. 【答案】 (1)A (2)D 角度四 完善程序框图 (1)(2019·高考全国卷Ⅰ)如图是求的程序框图，图中空白框中应填入( ) A．A＝ B．A＝2＋ C．A＝ D．A＝1＋ (2)如图所示的程序框图是为了求出满足2＋＋＋…＋<2 019的最大正整数n的值，那么在中，应填入( ) A．T<2 019 B．T≤2 019 C．T≥2 018 D．T≥2 019 【解析】 (1)A＝，k＝1，1≤2成立，执行循环体；A＝，k＝2，2≤2成立，执行循环体；A＝，k＝3，3≤2不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A＝.故选A. (2)执行程序框图，T＝0，i＝1；T＝0＋2＝2，i＝2；T＝2＋＝2＋，i＝3；…；T＝2＋＋＋…＋，i＝i＋1.由题中程序框图的功能是求出满足2＋＋＋…＋<2 019的最大正整数n的值，知T＝2＋＋＋…＋≥2 019满足判断框内成立的条件，此时结束循环．故判断框中应填T≥2 019.故选D. 【答案】 (1)A (2)D 与循环结构有关问题的常见类型及解题策略 (1)已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果． (2)完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式． (3)对于辨析程序框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断． [提醒] (1)注意区分当型循环和直到型循环． (2)循环结构中要正确控制循环次数． (3)要注意各个框的顺序． 1．执行如图所示的程序框图，其中t∈Z，若输入的n＝5，则输出的结果为( ) A．48 B．58 C．68 D．78 解析：选B.由a＝7t＋2，t∈Z可知，a被7整除后的余数为2.n＝5，a＝5×5＋3＝28，28＝7×4，不满足条件；n＝5＋2＝7，a＝5×7＋3＝38，38＝7×5＋3，不满足条件；n＝7＋2＝9，a＝5×9＋3＝48，48＝7×6＋6，不满足条件；n＝9＋2＝11，a＝5×11＋3＝58，58＝7×8＋2，满足条件．故输出的a＝58. 2．(2020·内蒙古鄂尔多斯西部四校联考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．下面的程序框图是秦九韶算法的一个实例．执行程序框图，若输入n，x的值分别为3，3，且输出v的值为0，则y的值为( ) A．3 B．－1 C．1 D．5 解析：选B.输入n＝3，x＝3，v＝1，i＝2，第一次循环，v＝y＋2，i＝1；第二次循环，v＝y(y＋2)＋1，i＝0；结束循环．因为输出的v＝0，所以y(y＋2)＋1＝0，所以y＝－1.故选B. 第2题图 第3题图 3．(2020·安徽黄山山质检)执行如图所示的程序框图，若输出的S值为－20，则在判断框内应填写( ) A．i>3 B．i<4 C．i>4 D．i<5 解析：选D.执行程序框图，i＝1，S＝10，满足判断框内的条件，第1次执行循环体，S＝10－21＝8，i＝2，满足判断框内的条件，第2次执行循环体，S＝8－22＝4，i＝3，满足判断框内的条件，第3次执行循环体，S＝4－23＝－4，i＝4，满足判断框内的条件，第4次执行循环体，S＝－4－24＝－20，i＝5，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环．输出的S值为－20，则判断框内应填写i<5，故选D. 基本算法语句(自主练透) 1．设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法，下面给出了程序的一部分，则在①处不能填入的数是( ) S＝1 i＝3 While i<① S＝S*i i＝i＋2 Wend Print S End A．13 B．13.5 C．14 D．14.5 解析：选A.若填13，当i＝11＋2＝13时，不满足条件，终止循环，因此得到的是1×3×5×7×9×11的计算结果，故不能填13，但填的数字只要超过13且不超过15时均可保证终止循环，得到的是1×3×5×7×9×11×13的计算结果． 2．表示函数y＝f(x)的程序如图所示 输入 x If x＞0 Then y＝1 Else If x＝0 Then y＝0 Else y＝－1 End If End If 输出 y 则关于函数y＝f(x)有下列结论： ①y＝f(x)的图象关于原点对称； ②y＝f(x)的值域为[－1，1]； ③y＝f(x)是周期为1的周期函数； ④y＝f(x)在R上是增函数； ⑤函数y＝f(x)－kx(k＞0)有三个零点． 其中正确结论的序号为________．(填上所有正确结论的序号) 解析：由程序知y＝f(x)＝， 其图象如图 图象关于原点对称，①正确；值域为{1，0，－1}，②错误；不是周期函数，在R上也不是增函数，③④错误；当k＞0时，y＝f(x)与y＝kx有三个交点，故⑤正确． 答案：①⑤ (1)条件语句、输入与输出语句，要注意赋值语句一般格式中的“＝”不同于等式中的“＝”，其实质是计算“＝”右边表达式的值，并将该值赋给“＝”左边的变量． (2)解决此类问题关键要理解各语句的含义，以及基本算法语句与算法结构的对应关系． [基础题组练] 1．(2020·陕西汉中模拟)执行如图所示的程序框图，输出K的值为( ) A．99 B．98 C．100 D．101 解析：选A.执行程序框图，得K＝1，S＝0；S＝0＋lg＝lg 2，K＝2；S＝lg 2＋lg ＝lg 3，K＝3；S＝lg 3＋lg ＝lg 4，K＝4；S＝lg 4＋lg ＝lg 5，K＝5；…；S＝lg 98＋lg ＝lg 99，K＝99；S＝lg 99＋lg ＝lg 100＝2，退出循环．所以输出K＝99，故选A. 2．(2020·广东江门调研)执行如图所示的程序框图，若判断框内为“i≤3”，则输出S＝( ) A．2 B．6 C．10 D．34 解析：选D.因为“i≤3”，所以执行程序框图，第一次执行循环体后，j＝2，S＝2，i＝2≤3；第二次执行循环体后，j＝4，S＝10，i＝3≤3；第三次执行循环体后，j＝8，S＝34，i＝4>3，退出循环．所以输出S＝34.故选D. 3．(2020·河南洛阳质检)执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则判断框内填入的条件不可以是( ) A．k≤7 B．k<7 C．k≤8 D．k<8 解析：选C.模拟执行程序框图，可得S＝0，k＝0；k＝2，S＝；k＝4，S＝＋；k＝6，S＝＋＋；k＝8，S＝＋＋＋＝.由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为.结合选项可得判断框内填入的条件不可以是“k≤8”．故选C. 4．(2020·重庆调研)执行如图所示的程序框图，当输出的值为1时，输入的x值是( ) A．±1 B．1或 C．－或1 D．－1或 解析：选C.因为输出的值为1，所以根据程序框图可知或得x＝1或x＝－，故选C. 5．(2020·陕西商洛模拟)执行如图所示的程序框图，输出的n的值是( ) A．5 B．7 C．9 D．11 解析：选C.法一：执行程序框图，n＝1，S＝0；S＝0＋＝，n＝3；S＝＋＝，n＝5；S＝＋＝，n＝7；S＝＋＝，n＝9，此时满足S≥，退出循环．输出n＝9，故选C. 法二：由程序框图知，该程序框图的作用是由＋＋…＋＝＝≥，解得n≥7，所以输出的n的值为7＋2＝9，故选C. 6．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y，z的值分别为1，2，3，则输出的S等于( ) A. B． C. D． 解析：选C.k＝6，S＝＋2＝4，y＝1，x＝4；k＝5，S＝＋1＝，y＝4，x＝；k＝4，S＝＋4＝，y＝，x＝；k＝3，S＝＋＝，y＝，x＝；k＝2，终止循环，输出的S＝.选C. 7．(2020·黑龙江哈尔滨四校联考)已知函数f(x)＝cos ，执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为( ) A．670 B． C．671 D．672 解析：选C.执行程序框图，y＝f(1)＝cos ＝，S＝0＋＝，n＝1＋1＝2；y＝f(2)＝cos ＝－，S＝，n＝2＋1＝3；y＝f(3)＝cos π＝－1，S＝，n＝3＋1＝4；y＝f(4)＝cos ＝－，S＝，n＝4＋1＝5；y＝f(5)＝cos ＝，S＝＋＝1，n＝6；y＝f(6)＝cos 2π＝1，S＝1＋1＝2，n＝7，…，直到n＝2 016时，退出循环．因为函数y＝cos 是以6为周期的周期函数，2 015＝6×335＋5，f(2 016)＝cos 336π＝cos(2π×138)＝1，所以输出的S＝336×2－1＝671.故选C. 8．(2020·重庆巴蜀中学一模)执行如图所示的程序框图，若输入的a为24，c为5，输出的数为3，则输入的b有可能为( ) A．11 B．12 C．13 D．14 解析：选B.结合程序框图，若输出的数为3，则经过循环之后的b＝a＋3＝27，由27÷5＝5……2，并结合循环结构的特点可得，输入的b除以5的余数为2，结合选项可得，b有可能为12，故选B. 9．(2020·陕西彬州第一次质监)如图1是某高三学生进入 高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14.如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图，执行程序框图，输出的结果是( ) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：选B.该程序框图的作用是求14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为8，故选B. 10．(2020·湖南三湘名校联盟第一次联考)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种，如下表： 表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2 268用算筹表示为执行如图所示的程序框图，若输入的x＝1，y＝2，则输出的S用算筹表示为( ) 解析：选C.x＝1，y＝3，i＝2；x＝2，y＝8，i＝3；x＝14，y＝126，i＝4.退出循环，输出S＝1 764，用算筹表示为，故选C. 11．中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入( ) A.∈Z B．∈Z C.∈Z D．∈Z 解析：选A.根据题意可知，此程序框图的功能是找一个满足下列条件的数a：a＝3k＋2，a＝5n＋3，a＝7m＋2，k，n，m∈Z，根据程序框图可知，数a已经满足a＝5n＋3，n∈Z，所以还要满足a＝3k＋2，k∈Z和a＝7m＋2，m∈Z并且还要用一个条件给出，即a－2既能被3整除又能被7整除，所以a－2能被21整除，故在“”处应填入∈Z，选A. 12．程序框图如图，若输入的S＝1，k＝1，则输出的S为________． 解析：第一次循环，k＝2，S＝4；第二次循环，k＝3，S＝11；第三次循环，k＝4，S＝26；第四次循环，k＝5，S＝57.此时，终止循环，输出的S＝57. 答案：57 13．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“ 更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝________． 解析：开始：a＝14，b＝18， 第一次循环：a＝14，b＝4；第二次循环：a＝10，b＝4； 第三次循环：a＝6，b＝4；第四次循环：a＝2，b＝4； 第五次循环：a＝2，b＝2. 此时，a＝b，退出循环，输出a＝2. 答案：2 14．公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人．完全数是一种特殊的自然数，若一个数所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和，恰好等于它本身，则称该数为完全数．如6的真因子有1，2，3，且1＋2＋3＝6，故6是完全数．现为判断一个非零自然数是否是完全数，编拟如下的程序框图，则空白框内应填________． 解析：程序框图的循环结构部分的功能是累计非零自然数x的真因子之和，如果t＝是整数，那么就将i这个数累加到变量S中，所以空白框内应填S＝S＋i. 答案：S＝S＋i 15．若[x]表示不超过x的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为________． 解析：根据题意，得＝[4.975]＝4，所以该程序框图运行后输出的结果是40个0，40个1，40个2，40个3，40个4的和，所以输出的结果为S＝40＋40×2＋40×3＋40×4＝400. 答案：400 [综合题组练] 1．执行如图的程序框图，若输入的n为2 018，则输出的是( ) A．前 1 008 个正偶数的和 B．前 1 009 个正偶数的和 C．前 2 016 个正整数的和 D．前 2 018 个正整数的和 解析：选B.模拟程序的运行过程知，该程序运行后计算并输出S＝2＋4＋6＋…＋2 018 的值．故选B. 2．“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”．执行该程序框图(图中“aMODb”表示a除以b的余数)，若输入的a，b分别为675，125，则输出的a＝( ) A．0 B．25 C．50 D．75 解析：选B.初始值：a＝675，b＝125， 第一次循环：c＝50，a＝125，b＝50； 第二次循环：c＝25，a＝50，b＝25； 第三次循环：c＝0，a＝25，b＝0， 此时不满足循环条件，退出循环．输出a的值为25，故选B. 3．我国古代数学著作《周髀算经》有如下问题：“今有器中米，不知其数．前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S＝1.5(单位：升)，则输入k的值为( ) A．4.5 B．6 C．7.5 D．9 解析：选B.由程序框图知S＝k－－－＝1.5，解得k＝6，故选B. 4．执行如图所示的程序框图，如果输入的a依次为2，2，5时，输出的s为17，那么在判断框中可以填入( ) A．k查看更多