2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§6-1　数列的概念及其表示（试题部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§6-1　数列的概念及其表示（试题部分）

专题六　数列 ‎【考情探究】‎ 课标解读 考情分析 备考指导 主题 内容 一、数列的概念及其表示 ‎1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).‎ ‎2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.‎ 从近几年高考情况来看,数列问题每年都考查,难度中等.考查内容主要集中在两个方面:一是以选择题或填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质,题目多为常规试题;二是等差、等比数列的通项与求和问题,近两年结合概率、统计、函数、不等式等进行综合考查,涉及内容较为全面,题型新颖、方法灵活多变.‎ ‎1.解决等差(比)数列的基本问题时,要灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式,利用基本量法求解.2.数列的通项与求和是高考常考内容,其中求通项是求和的基础.3.重视方程、函数、分类讨论思想的应用.(1)方程思想:等差(比)数列中,由五个量a1,d(q),n,an,Sn中的三个量可求出其余两个量,要求选用公式要恰当,善于应用性质,减少计算量.(2)函数思想:在等差数列中,当d≠0时,an与自变量n为一次函数关系.Sn与n的关系:当d=0时,Sn=na1为一次函数;当d≠0时,Sn=d‎2‎n2+a‎1‎‎-‎d‎2‎n为二次函数.在等比数列中,通项公式an=a1qn-1可化为an=a‎1‎q·qn,这是指数型函数.(3)分类讨论思想:当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn=a‎1‎‎(1-qn)‎‎1-q=a‎1‎‎-anq‎1-q.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,此处是易错点.‎ 二、等差数列 ‎1.理解等差数列的概念.‎ ‎2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应问题.‎ ‎4.了解等差数列与一次函数的关系.‎ 三、等比数列 ‎1.理解等比数列的概念.‎ ‎2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎3.能在具体问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应问题.‎ ‎4.了解等比数列与指数函数的关系.‎ 四、数列求和及综合应用 ‎1.掌握数列求和的几种常见方法.‎ ‎2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.‎ ‎【真题探秘】‎ ‎§6.1　数列的概念及其表示 基础篇固本夯基 ‎【基础集训】‎ 考点　数列的概念及其表示 ‎1.数列1,‎2‎‎3‎,‎3‎‎5‎,‎4‎‎7‎,‎5‎‎9‎,…的一个通项公式an=(　　)‎ A.n‎2n+1‎　　　　　B.n‎2n-1‎ C.n‎2n-3‎　　　　　D.‎n‎2n+3‎ 答案　B ‎2.已知数列{an}满足:∀m,n∈N*,都有an·am=an+m,且a1=‎1‎‎2‎,那么a5=(　　)‎ A.‎1‎‎32‎　　　B.‎1‎‎16‎　　　C.‎1‎‎4‎　　　D.‎‎1‎‎2‎ 答案　A ‎3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=‎(n+1)‎an‎2‎,则a2 017=(　　)‎ A.2 016　　　B.2 017　　　C.4 032　　　D.4 034‎ 答案　B ‎4.在数列{an}中,a1=-‎1‎‎4‎,an=1-‎1‎an-1‎(n≥2,n∈N*),则a2 018的值为(　　)‎ A.-‎1‎‎4‎　　　B.5　　　C.‎4‎‎5‎　　　D.‎‎5‎‎4‎ 答案　B ‎5.已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,Sn为数列{an}的前n项和,则S2 017的值为(　　)‎ A.2 017n-m　　　　　B.n-2 017m　　　C.m　　　　　D.n 答案　C 综合篇知能转换 ‎【综合集训】‎ 考法一　利用Sn与an的关系求通项公式 ‎1.(2018山东省实验中学期中,5)若数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=3n-2,那么这个数列的通项公式为(　　)‎ A.an=2×3n-1　　　　　B.an=3×‎1‎‎2‎n-1‎ C.an=3n-2　　　　　D.an=‎‎1,n=1‎‎2×‎3‎n-1‎,n≥2‎ 答案　D ‎2.已知数列{an}中,a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,且当n≥2时,有‎2‎ananSn‎-‎Sn‎2‎=1成立,则S2 017=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎1 009‎ 考法二　由递推关系求数列的通项公式 ‎3.(2018广东深圳耀华实验学校期中,11)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an-2n,则a17=(　　)‎ A.-15×216　　　　　B.15×217　　　‎ C.-16×216　　　　　D.16×217‎ 答案　A ‎4.(2019广东广雅中学模拟,7)在数列{an}中,已知a1=2,an+1=an‎3an+1‎(n∈N*),则an的通项公式为(　　)‎ A.an=‎2‎‎4n-3‎　　　B.an=‎2‎‎6n-5‎　　　C.an=‎2‎‎4n+3‎　　　D.an=‎‎2‎‎2‎n‎-1‎ 答案　B ‎5.(2019河南濮阳重点高中联考,9)已知数列{an}的首项a1=35,且满足an-an-1=2n-1(n∈N*,n≥2),则ann的最小值为(　　)‎ A.2‎34‎　　　B.‎59‎‎5‎　　　C.‎35‎‎3‎　　　D.12‎ 答案　C ‎6.(2019山西盂县一中模拟,8)设数列{an}满足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2且n∈N*),则a18=(　　)‎ A.‎25‎‎9‎　　　B.‎26‎‎9‎　　　C.3　　　D.‎‎28‎‎9‎ 答案　B 考法三　数列的单调性和最大(小)项 ‎7.(2019河南中原名校第三次联考,18)设数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N*).‎ ‎(1)求a1,a2;‎ ‎(2)若bn=n(2-n)(an-1),求{bn}的最大项,并写出取最大项的项数.‎ 解析　(1)∵数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N*),∴a1=1-a1,a1+a2=2-a2,解得a1=‎1‎‎2‎,a2=‎3‎‎4‎.‎ ‎(2)由数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N*),得n≥2时,a1+a2+a3+…+an-1=n-1-an-1,‎ 相减可得an=1-an+an-1,可得an-1=‎1‎‎2‎(an-1-1)(n≥2),‎ ‎∴数列{an-1}是等比数列,公比为‎1‎‎2‎,首项为-‎1‎‎2‎.‎ ‎∴an-1=-‎1‎‎2‎n(n∈N*),‎ ‎∴bn=n(2-n)(an-1)=n(n-2)×‎1‎‎2‎n.‎ bn+1-bn=(n+1)(n-1)×‎1‎‎2‎n+1‎-n(n-2)×‎1‎‎2‎n=‎-(n‎2‎-4n+1)‎‎2‎n+1‎,令bn+1-bn>0,解得2-‎3‎b5>b6>…>bn.∴b4是最大项,b4=‎1‎‎2‎.‎ ‎【五年高考】‎ 考点　数列的概念及其表示 ‎1.(2018课标Ⅰ,14,5分)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=　　　　. ‎ 答案　-63‎ ‎2.(2015课标Ⅱ,16,5分)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=　　　　. ‎ 答案　-‎‎1‎n ‎3.(2019上海,8,5分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+an=2,则S5=　　　　. ‎ 答案　‎‎31‎‎16‎ ‎4.(2016浙江,13,6分)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=　　　　,S5=　　　　. ‎ 答案　1;121‎ 教师专用题组 考点　数列的概念及其表示 ‎1.(2013课标Ⅰ,14,5分)若数列{an}的前n项和Sn=‎2‎‎3‎an+‎1‎‎3‎,则{an}的通项公式是an=　　　　. ‎ 答案　(-2)n-1‎ ‎2.(2015浙江,20,15分)已知数列{an}满足a1=‎1‎‎2‎且an+1=an-an‎2‎(n∈N*).‎ ‎(1)证明:1≤anan+1‎≤2(n∈N*);‎ ‎(2)设数列{an‎2‎}的前n项和为Sn,证明:‎1‎‎2(n+2)‎≤Snn≤‎1‎‎2(n+1)‎(n∈N*).‎ 证明　(1)由题意得an+1-an=-an‎2‎≤0,即an+1≤an,故an≤‎1‎‎2‎.‎ 由an=(1-an-1)an-1得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0.‎ 由010,‎若数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(1,3)　　　B.(1,2]　　　C.(2,3)　　　D.‎‎24‎‎11‎‎,3‎ 答案　C ‎5.(2019福建龙岩一模,10)已知数列{an}各项均为整数,共有7项,且满足|ak+1-ak|=1,k=1,2,…,6,其中a1=1,a7=a(a为常数且a>0).若满足上述条件的不同数列共有15个,则a的值为(　　)‎ A.1　　　B.3　　　C.5　　　D.7‎ 答案　B ‎6.(2019福建福州一模,10)已知数列{an}满足a1=1,an+1=‎(n+1)‎an‎2‎‎2an‎2‎+4nan+‎n‎2‎,则a8=(　　)‎ A.‎8‎‎9‎‎64‎‎-2‎　　　B.‎8‎‎9‎‎32‎‎-2‎　　　C.‎8‎‎9‎‎16‎‎-2‎　　　D.‎‎8‎‎9‎‎7‎‎-2‎ 答案　A ‎7.(2020届浙江丽水四校联考,7)数列{an}满足a1=‎4‎‎3‎,an+1=an‎2‎-an+1(n∈N*),则m=‎1‎a‎1‎+‎1‎a‎2‎+…+‎1‎a‎2 014‎的整数部分是(　　)‎ A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4‎ 答案　B 二、多项选择题(每题5分,共10分)‎ ‎8.(改编题)数列{an}的前n项和为Sn.若a1=1,an+1=3Sn(n∈N*),则有(　　)‎ A.Sn=4n-1　　　　　B.{Sn}为等比数列 C.an=3×4n-1　　　　　D.an=‎‎1,n=1‎‎3×‎4‎n-2‎,n≥2‎ 答案　ABD ‎9.(改编题)已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,数列{bn}满足bn=2log2an+1.记Sn=b1+b2+…+bn,若对任意n∈N*,都有Snan≤Skak成立,则正整数k的值为(　　)‎ A.5　　　B.4　　　C.2　　　D.3‎ 答案　CD 三、填空题(每题5分,共10分)‎ ‎10.(2019届皖中名校联盟高三10月联考,14)已知数列{an}满足:an=1-‎1‎an+1‎,且a1=2,则a2 019=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ ‎11.(2019河南开封一模,16)已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn.满足a1=2,3Sn=(n+m)an(m∈R),且anbn=n,若存在n∈N*,使得λ+Tn≥T2n成立,则实数λ的最小值为　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎3‎ 四、解答题(共25分)‎ ‎12.(2018山东六校联考,17)已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=n+2‎‎3‎an.‎ ‎(1)求a2,a3;‎ ‎(2)求{an}的通项公式.‎ 解析　(1)由S2=‎4‎‎3‎a2得3(a1+a2)=4a2,‎ 解得a2=3a1=3.由S3=‎5‎‎3‎a3得3(a1+a2+a3)=5a3,‎ 解得a3=‎3‎‎2‎(a1+a2)=6.‎ ‎(2)由题设知,当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=n+2‎‎3‎an-n+1‎‎3‎an-1,‎ 整理得anan-1‎=n+1‎n-1‎,‎ 因此anan-1‎·an-1‎an-2‎·…·a‎3‎a‎2‎·a‎2‎a‎1‎=n+1‎n-1‎·nn-2‎·…·‎4‎‎2‎·‎3‎‎1‎,‎ 化简得an=‎(n+1)n‎2×1‎·a1=n(n+1)‎‎2‎,‎ 当n=1时,a1=1满足上式,‎ 所以{an}的通项公式为an=n(n+1)‎‎2‎(n∈N*).‎ ‎13.(2019 5·3原创题)已知二次函数f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R)有且只有一个零点,数列{an}的前n项和Sn=f(n)(n∈N*).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设cn=1-‎4‎an(n∈N*),定义所有满足cm·cm+1<0的正整数m的个数,称为这个数列{cn}的变号数,求数列{cn}的变号数.‎ 解析　(1)依题意,知Δ=a2-4a=0,所以a=0或a=4.又由a>0得a=4,所以f(x)=x2-4x+4.所以Sn=n2-4n+4.当n=1时,a1=S1=1-4+4=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-5.所以an=‎‎1,n=1,‎‎2n-5,n≥2.‎ ‎(2)由题意得cn=‎‎-3,n=1,‎‎1-‎4‎‎2n-5‎,n≥2.‎ 由cn=1-‎4‎‎2n-5‎(n≥2)可知,当n≥5时,恒有cn>0.‎ 又c1=-3,c2=5,c3=-3,c4=-‎1‎‎3‎,c5=‎1‎‎5‎,c6=‎3‎‎7‎,所以c1·c2<0,c2·c3<0,c4·c5<0,所以数列{cn}的变号数为3.‎