高中数学讲义微专题25 定积分

高中数学讲义微专题25 定积分

- 1 - 微专题 25 定积分 一、基础知识 1、相关术语：对于定积分 （1） 称为积分上下限，其中 （2） ：称为被积函数 （3） ：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例 如 ： 中 的 被 积 函 数 为 ， 而 的 被 积 函 数 为 2、定积分 的几何意义：表示函数 与 轴， 围成的面积（ 轴上 方部分为正， 轴下方部分为负）和，所以只有当 图像在 完全位于 轴上方时， 才表示面积。 可表示数 与 轴， 围成的面积的总 和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解 3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有 2 种： （1）微积分基本定理：如果 是区间 上的连续函数，并且 ，那么 使用微积分基本定理，关键是能够找到以 为导函数的原函数 。所以常见的初等函 数的导函数公式要熟记于心： ① 寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数， 例如： ，则判断属于幂函数类型，原函数应含 ，但 ，而 ，  b a f x dx , :a b a b  f x dx  2b a x tx dx   2f x x tx   2b a x tx dt   2f t xt x   b a f x dx  f x x ,x a x b  x x  f x  ,a b x  b a f x dx  b a f x dx  f x x ,x a x b   f x  ,a b    'F x f x        |b b aa f x dx F x F b F a    f x  F x  f x C  ' 0f x   f x x  ' 1f x x    sinf x x  ' cosf x x   cosf x x  ' sinf x x    xf x a  ' lnxf x a a   xf x e  ' xf x e   logaf x x  ' 1 lnf x x a   lnf x x  ' 1f x x   3f x x 4x  '4 34x x   3f x x - 2 - 所以原函数为 （ 为常数） ② 如 果 只 是 求 原 函 数 ， 则 要 在 表 达 式 后 面 加 上 常 数 ， 例 如 ， 则 ，但在使用微积分基本定理时，会发现 计算时会消去 ，所以 求定积分时， 不需加上常数。 （2）利用定积分的几何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易 于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意曲边梯形若位于 轴的下方，则面积 与所求定积分互为相反数。 4、定积分的运算性质：假设 存在 （1） 作用：求定积分时可将 的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化 的复杂程度 （2） 作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如 （3） ，其中 作用：当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆 分，分别求解。 5、若 具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化定积分的计算 （1）若 为奇函数，则 （2）若 为偶函数，则 6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤： （1）通过作图确定所求面积的区域 （2）确定围成区域中上，下曲线对应的函数 （3）若 时，始终有 ，则该处面积为 7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。需分段通常有两种情况   41 4F x x C  C C   2f x x   2F x x C     F b F a C  F x x    ,b b a a f x dx g x dx     b b a a kf x dx k f x dx   f x  f x        b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx        2 2 2 22 2 1 1 1 1 1 1x x dx x dx xdx dx             b c b a a c f x dx f x dx f x dx    a c b   f x  f x    0 0a a f x dx a    f x      0 0a a a f x dx f x dx a       ,f x g x  ,x a b    f x g x    b a f x g x dx   - 3 - （1）构成曲面梯形的函数发生变化 （2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写 成“上方曲线的函数 下方曲线函数”的形式。所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位 置发生过变化，则也需将两部分分开来写。 二、典型例题： 例 1：已知函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 思 路 ： 在 的 解 析 式 不 同 ， 所 以 求 定 积 分 时 要 “ 依 不 同 而 分 段 ” ： ， 而 ， 对 于 无法找到原函数，从而考虑其几何意义： ， 为单位圆面积的 ，即 ，所以 答案：B 小炼有话说：（1）若被积函数在不同区间解析式不同时，则要考虑将定积分按不同区间进行 拆分 （2）若被积函数具备“ ”特征，在无法直接找到原函数时，可考虑其图像的几何意义， 运用面积求得定积分，但是要注意判定与定积分符号是否与面积相同 例 2： （ ） A. B. C. D. 思 路 ： 被 积 函 数 无 法 直 接 找 到 原 函 数 ， 但 是 可 以 进 行 化 简 。 ，所以： 答案：C 例 3：设 ，则 ________     2 2 1 , 1 0 1 ,0 1 x x f x x x           1 1 f x dx   3 8 12   3 4 12   4 4  3 4 12    f x    1,0 , 0,1    1 0 12 2 1 1 0 1 1f x dx x dx x dx            0 2 2 0 11 1 11 13 3x dx x      1 2 0 1 x dx  2 2 21 1 0y x x y y      1 2 0 1 x dx 1 4 1 2 0 1 4x dx    1 1 1 4 3 3 4 12f x dx       4 0 cos2 cos sin x dxx x    2 2 1 2 1 2 1 2 2   2 2cos2 cos sin= cos sincos sin cos sin x x xf x x xx x x x        4 4 00 cos sin sin cos | 2 1x x dx x x          2 xf x   4 4 f x dx   - 4 - 思路：本题可以通过对 的符号进行分类讨论，将 写成分段函数，再将定积分拆分为两 段分别求解，但若观察到 为偶函数，则可利用对称性得： 答案： 例 4：已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 思路：先按部就班求解定积分，再解出关于 的方程即可： 解： 解得 答案：D 例 5：由曲线 （ 为参数）和 围成的封闭图形的面积等于___________ 思路：所给曲线为参数方程，考虑化为普通方程为 ，作出 两个曲线图像，可得两个交点的横坐标为 ，结合图 象可得： 答案： 例 6 ： 设 （ 其 中 为 自 然 对 数 的 底 数 ），则 的 图 像 与 以及 轴所围成的图形的面积为___________ 思路：作出图像可得 恒在 轴的上方，则面积可用定积分表示，但由于两个区间的函数 不同，所以要拆成两个定积分： x  f x  f x  4 4 4 04 0 2 302 2 2 ln2 ln2 x xf x dx dx       30 ln2  2 2 0 3 16x k dx  k  1 2 3 4 k    2 2 3 2 00 3 8 2x k dx x kx k     8 2 16k   4k  2 x t y t    t 2y x  2y x 1, 2x x    2 2 2 3 2 1-1 1 1 92 2 |2 3 2S x x dx x x x            9 2       2 , 0,1 1 , 1, x x f x x ex     e  y f x 0,x x e  x  f x x 1 2 3 1 0 10 1 1 1 1 4ln 13 3 3 e eS x dx dx x xx        - 5 - 答案： 例 7：曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为（ ） A. B. C. D. 思路：作出图像观察可得：所围成的区域上方曲线为 ， 下 方 为 ， 自 变 量 的 取 值 范 围 为 ， 其 中 ， ， 所 以 所 求 面 积 为 答案：D 例 8：如图所示，正弦曲线 ，余弦曲线 与两直线 所围成的阴 影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 思路：观察到两部分阴影区域，函数的上下位置不同，所以考虑面积用两段定积分表示，在 中， 与 的交点横坐标为 ，所以 时，余弦函数位于上方， ，在 处，正弦函数位于上方， 所以 答案：D 小炼有话说：（1）在求曲线围成的面积时，可遵循被积函数始终“上 下”的原则，如果函 数发生变化或上下位置改变时，则可以将面积分割为若干段，分别求定积分即可 （2）本题还可以采用“填补法”，观察到左边较小阴影部分与 右侧部分中心对称，所以 面积相同，从而可将较小阴影部分填补至 右侧。新的阴影部分始终 位于上方， 4 3 2y x 1, 4y x x   2ln2 2 ln2 4 ln2 4 2ln2 1y x  2y x ,E F 2 : 2 1 yE xx y x         4,0F 4 2 4 22 2 11 2ln 4 2ln22S x dx x x xx                  siny x cosy x 0,x x   1 2 2 2 2  0, siny x cosy x 4x  0, 4       4 1 0 cos sinS x x dx    ,4        2 4 sin cosS x x dx      4 1 2 0 4 cos sin sin cos 2 2S S S x x dx x x dx            x  x  siny x - 6 - 可求得阴影部分位于 ，所以 例 9：已知 ，若函数 满足 ，则称 为区 间 上的一组“等积分”函数，给出四组函数： ① ② ③ ④ 函数 分别是定义在 上的奇函数且积分值存在 其中为区间 上的“等积分”函数的组数是（ ） A. B. C. D. 思路：按照“等积分”的定义，只需计算出两个函数在 处的积分，再判断是否相等即可。 解：① 所以①为“等积分” ② 为奇函数， 为偶函数 ③ 由几何含义可得： 所以③为一组“等积分”函数 ④ 因为 为奇函数，所以 ④为一组“等积分”函数 综上所述，①③④为“等积分”函数 答案：C 5,4 4         5 4 4 sin cos 2 2S x x dx     a b    ,f x g x    b b a a f x dx g x dx     ,f x g x  ,a b    2 , 1f x x g x x      sin , cosf x x g x x     2 231 , 4f x x g x x      ,f x g x  1,1  1,1 1 2 3 4  1,1  1 1 1 2 1 01 1 0 12 4 4 22f x dx x dx xdx x             1 1 2 1 11 1 11 22g x dx x dx x x               1 1 1 1 f x dx g x dx       f x  g x  1 1 0f x dx     1 1 1 1 01 1 0 cos 2 cos 2sin 2sin1g x dx xdx xdx x          1 1 2 1 1 11 2f x dx x dx        1 1 2 3 1 11 1 3 1 1 4 4 2g x dx x dx x           1 1 1 1 f x dx g x dx         ,f x g x    1 1 1 1 0f x dx g x dx       - 7 - 例 10：已知函数 ，直线 （ 为常数， 且 ），直线 与函数 的图像围成的封闭图形如图中阴影 所示，当 变化时阴影部分的面积的最小值为___________ 思路：可解得 与直线 的交点为 ，从而用 可表示出 阴影部分面积： ，化简后可 得： ，再通过导数分析 单调性即可求出 的最小值 解： 与 的交点为： ，解得： 所以阴影面积 设 ，则 在 单调递减，在 单调递增 答案： 小炼有话说：（1）本题是定积分与导数综合的一道题目，在处理时要理解定积分和导数所起 到的作用：定积分用于处理面积，而需要求最值时，非常规函数可用导数解出单调性，从而 求最小值。了解每个工具的作用才可在需要时选择正确的方法 （2）对于含参数的定积分，首先要确定被积函数的自变量（可观察“ ”后面的字母），然 后将参数视为一个常量参与运算（包括求原函数和代入上下限）即可，所得的结果通常是含 参数的表达式。   1xf x e  1 2: 1, : 1tl x l y e   t 0 1t  1 2,l l  f x t  f x 2l  , 1tt e  t      1 1 2 0 1 1 1 1t t x x t t S S S e e dx e e dx                   2 3 1t tS t te e e     S t  S t  f x 2l   1 1 1t x tf x e e e      x t      1 1 2 0 1 1 1 1t t x x t t S S S e e dx e e dx                    1 0 t t x x t t e e dx e e dx         1 0 2 3 1t x t x t t t te x e e e x te e e          2 3 1t tS t te e e       ' 2 2 1t t tS t te e e t     S t 10, 2      1 ,12         2 min 1 2 1 12S t S e e e           2 1e  d