高中数学必修5能力强化提升3-3-1
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性
规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
双基达标 (限时 20 分钟)
1．不在不等式 3x＋2y<6 表示的平面区域内的一个点是
( )．
A．(0,0) B．(1,1) C．(0,2) D．(2,0)
解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不
在不等式 3x＋2y<6 表示的平面区域内，故选 D.
答案 D
2．已知点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线 3x－2y－a＝0 的两侧，则 a 的取值范围是
( )．
A．(－24,7) B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解析 因为点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线 3x－2y－a＝0 的两侧，所以[3×(－3)－
2×(－1)－a]×[3×4－2×(－6)－a]<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7
－2.又阴影部分在直线 x＝0 左边，且包含直线 x＝0，故可得不等式 x≤0.由图象
可知，第三条边界线过点(－2,0)、点(0,3)，故可得直线 3x－2y＋6＝0，因为此直线为虚
线且原点 O(0,0)在阴影部分，故可得不等式 3x－2y＋6>0.观察选项可知选 C.
答案 C
4．△ABC 的三个顶点坐标为 A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，则△ABC 的内部及边界所对应
的二元一次不等式组是________________．
解析 如图直线 AB 的方程为 x＋2y－1＝0(可
用两点式或点斜式写出)．
直线 AC 的方程为 2x＋y－5＝0，
直线 BC 的方程为 x－y＋2＝0，
把(0,0)代入 2x＋y－5＝－5<0，
∴AC 左下方的区域为 2x＋y－5<0.
∴同理可得△ABC 区域(含边界)为Error!
答案 Error!
5．若不等式组Error!表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是________．
解析 不等式组Error!表示的平面区域如图中
的阴影部分所示，用平行于 x 轴的直线截该平面区域，
若
得到一个三角形，则 a 的取值范围是 5≤a<7.
答案 [5,7)
6．(1)画出不等式组Error!表示的平面区域；
(2)画出不等式(x－y)(x－y－1)≤0 表示的平面区域．
解 (1)不等式组Error!表示的平面区域如图(1)中阴影部
分所示．
(2)不等式(x－y)(x－y－1)≤0 等价于不等式组Error!或Error!
而不等式组Error!无解，故(x－y)(x－y－1)≤0 表示的平面区域如图(2)(阴影部分)．
综合提高 (限时 25 分钟)
7．在直角坐标系中，不等式 y2－x2≤0 表示的平面区域是
( )．
解析 原不等式等价于(x＋y)(x－y)≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边
界)，故选 C.
答案 C
8．若不等式组Error!所表示的平面区域被直线 y＝kx＋4
3分为面积相等的两部分，则 k 的值
是 ( )．
A.7
3 B.3
7 C.4
3 D.3
4
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，所
以
求得点 A，B，C 的坐标分别为(1,1)，(0,4)，(0，4
3 ).
由直线 y＝kx＋4
3恒过点 C(0，4
3 )，且平面区域被此直线分为
面积相等的两部分，观察图象可知，当直线 y＝kx＋4
3与直线
3x＋y＝4 的交点 D 的横坐标为点 A 的横坐标的一半时，可满足要求．因此 xD＝1
2，代入
直线 3x＋y＝4，可得 yD＝5
2，故点 D 的坐标为(1
2，5
2 )，代入直线 y＝kx＋4
3，即5
2＝k×1
2＋
4
3，解得 k＝7
3，故选 A.
答案 A
9．不等式|x|＋|y|≤1 所表示的平面区域的面积为________．
解析 原不等式等价于
Error!
其表示的平面区域如图中阴影部分．
∴S＝( 2)2＝2.
答案 2
10．若点 P(m,3)到直线 4x－3y＋1＝0 的距离为 4，且点 P 在不等
式 2x ＋ y － 3<0 表 示 的 平 面 区 域 内 ， 则 实 数 m 的 值 为
________．
解析 由点 P(m,3)到直线 4x－3y＋1＝0 的距离 d＝|4m－9＋1|
5 ＝4，得 m＝7 或 m＝－3.
又点 P 在不等式 2x＋y－3<0 表示的平面区域内，当 m＝－3 时，点 P 的坐标为(－3,3)，
则 2×(－3)＋3－3<0，符合题意；当 m＝7 时，点 P 的坐标为(7,3)，则 2×7＋3－3>0，
不符合题意，舍去．综上，m＝－3.
答案 －3
11．求不等式组Error!表示的平面区域的面积．
解 不等式组Error!等价于Error!①或Error!②
分别作出以上两个不等式组所表示的平面区域，可以发现
不
等式组①表示一个点 A，不等式组②表示的平面区域如图所
示．
因此原不等式组表示的平面区域就是图中阴影部分，
其中点 A(0,1)，B(－2,3)，C(－2，－1)，
于是平面区域的面积为1
2×2×|3－(－1)|＝4.
12．(创新拓展)设直线 y＝kx＋1 与圆 x2＋y2＋kx＋my－4＝0
交于 M，N 两点，且 M，N 关于直线 x＋y＝0 对称，求不等式组Error!表示的平面区域的面
积．
解 ∵M，N 关于直线 x＋y＝0 对称，
∴直线 y＝kx＋1 垂直于直线 x＋y＝0，
∴k＝1，
∴圆心(－k
2，－m
2)在 x＋y＝0 上，
∴－k
2－m
2＝0，即 m＝－1，
∴原不等式组为Error!
作出不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，即△ABO.
易得△ABO 为等腰直角三角形，且 OA＝1，故阴影部分的面积为1
4.
