安徽省宣城市郎溪县七校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

安徽省宣城市郎溪县七校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

宣城市七校2019～2020学年第一学期高二联考 数学试卷(理科)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设命题，则p为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定的结构形式写出其否定即可.‎ ‎【详解】命题的否定为：，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.‎ ‎2.2019年，云南省丽江市某高级中学高一年级有100名学生，高二年级有200名学生，高三年级有150名学生.现某社会民间组织按年级采用分层抽样的方法抽取18名学生进行问卷调查，则应从高一年级抽取的学生人数为（ ）‎ A. 6人 B. 2人 C. 8人 D. 4人 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按比例可计算高一年级应抽取的人数.‎ ‎【详解】高一人数占比为，故高一应抽取的人数为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】抽样方法共有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样 ‎（1）简单随机抽样是每个个体等可能被抽取；‎ ‎（2）系统抽样时均匀分组，按规则抽取（通常每组抽取的序号成等差数列）；‎ ‎（3）分成抽样就是按比例抽取.‎ ‎3.已知是圆的圆周上一定点，若在圆的圆周上的其他位置任取一点，连接，则“线段的长度不大于圆的半径”的概率约为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在圆的圆周上的其他位置任取一点，所有基本事件的全体为圆（除去），随机事件含有基本事件为（如图），利用公式可求概率.‎ ‎【详解】‎ 设事件“在圆的圆周上的其他位置任取一点，线段的长度不大于圆的半径”为，‎ 则在圆的圆周上的其他位置任取一点，所有的基本事件对应的测度为圆的周长，‎ 如图所示，随机事件中的所有基本事件对应的测度为的长度，‎ 且，故的长度为，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等．‎ ‎4.已知椭圆的两个焦点分别为，弦过点，若的周长为20，则的值为（ ）‎ A. 5 B. －25 C. 25 D. 5或－5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 就焦点在轴、焦点在轴上分类讨论，两种情形均可以利用椭圆的定义来求解.‎ ‎【详解】‎ 若焦点在轴上，则，‎ 由椭圆的定义可得，，‎ 而的周长为，故即.‎ 若焦点在轴上，则，‎ 由椭圆的定义可得，，‎ 而的周长为，矛盾.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】一般地，椭圆的左右焦点为，点为椭圆上的动点，则，解题中注意利用这个几何性质.‎ ‎5.已知是非零实数，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用原命题和逆命题的真假可判断两者之间的条件关系.‎ ‎【详解】取，则，但，‎ 所以命题“若，则”为假命题.‎ 取，则，但，‎ 所以命题“若，则”为假命题.‎ 所以“”是“”的既不充分也不必要条件.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.‎ ‎6.若执行如图所示的程序框图输出的结果为26，则处可填入的条件为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐次计算，结合输出结果可得判断条件.‎ ‎【详解】第一次执行判断前，，第二次执行判断前，，‎ 第三次执行判断前，，第四次执行判断前，，‎ 第五次执行判断前，，此时终止循环，输出，故为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】对于流程图的问题，我们可以从简单的情形逐步计算归纳出流程图的功能，在归纳中注意各变量的变化规律.‎ ‎7.已知在中，点，点，若，则点的轨迹方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，可用的坐标表示，结合题设条件可得点的轨迹方程.‎ ‎【详解】设，则，‎ 所以，化简得到，‎ 整理得到，其中.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】求动点的轨迹方程，一般有直接法和间接法，‎ ‎（1）直接法，就是设出动点的坐标，已知条件可用动点的坐标表示，化简后可得动点的轨迹方程，化简过程中注意变量的范围要求.‎ ‎（2）间接法，有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.‎ ‎8.已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到全是白球”的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用组合可求基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，利用公式可求概率.‎ ‎【详解】记“取到全是白球”为事件，‎ 从袋子中一次取出两个球，共有种取法，‎ 若取到的两球都是白球，共有种取法，故.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.‎ ‎9.已知分别是椭圆()的左顶点和上顶点，线段 的垂直平分线过下顶点.若椭圆的焦距为2，则椭圆的长轴长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用的中垂线经过下顶点可得的关系，再利用焦距长可得的值，从而得到长轴长.‎ ‎【详解】由题设得，下顶点的坐标为，‎ 故中点的坐标为，因为的中垂线经过下顶点，‎ 所以即.‎ 又半焦距，故，故即长轴长.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆基本量的计算，注意，此类问题属于基础题.‎ ‎10.已知椭圆过点，其离心率的取值范围是，则椭圆短轴长的最大值是（ ）‎ A. 4 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据点在椭圆上得到，再利用及消元法可解得，从而得到短轴长的最大值.‎ ‎【详解】因为点在椭圆上，所以，所以.‎ 设椭圆半焦距为，因为，所以，故，‎ 所以，解得，故短轴长的最大值为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题以椭圆基本量为载体，考查多变量等式和不等式条件下变量的最值的计算，注意多变量问题处理的基本策略是消元法，此类问题多为中档题.‎ ‎11.将－颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则关于方程组，有实数解的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用圆心到直线的距离不大于半径可得的不等式关系，从而得到方程组有解的个数，利用古典概型的概率公式可求概率.‎ ‎【详解】因为方程组有解，故直线与圆有公共点，‎ 所以即，‎ 当时，，有3种情形；‎ 当时，，有3种情形；‎ 当时，，有4种情形；‎ 当时，，有18种情形；‎ 故方程有解有28种情形，而共有36种不同的情形，故所求的概率为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.‎ ‎12.设分别为椭圆的左、右焦点，为直线上一点，若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的坐标为()，利用直线、的倾斜角的关系和两角和的正切公式可得的等量关系，再利用基本不等式可求满足的不等式，从而求得离心率的范围.‎ ‎【详解】设的坐标为，根据椭圆的对称性，不妨设，‎ 设椭圆的半焦距为，则，‎ 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，‎ 则，因为，‎ 所以，故，‎ 由基本不等式有， ‎ 故，故，‎ 所以椭圆的离心率的取值范围为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，上顶点为，若是的中线，则该椭圆的离心率为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用可得的关系，从而得到离心率的值.‎ ‎【详解】因为是的中线，所以即，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】圆锥曲线中离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．‎ ‎14.若在等腰直角三角形的斜边上取－点，则“三角形的面积大于或等于三角形面积的”的概率是_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出总的基本事件对应的线段的长度和随机事件中的基本事件对应的线段的长度后可求概率.‎ ‎【详解】‎ 如图，设，在斜边上任取一点，对应的点的集合为（含两个端点），‎ ‎“三角形的面积大于或等于三角形面积的”对应的点的集合为 （含两个端点），其长为 ‎ 设事件“三角形的面积大于或等于三角形面积的”为，‎ 则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等．‎ ‎15.某高级中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例分别如扇形统计图所示，则该高级中学男教师的人数为_______________.‎ ‎【答案】123‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用扇形统计图分别计算出初中部和高中部的男教师人数即可.‎ ‎【详解】根据扇形统计图可得初中部的男教师人数为，高中部男教师人数为，故该高级中学男教师的人数为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查扇形统计图（饼图），解题时注意根据统计图中数据进行计算，此类问题属于基础题.‎ ‎16.已知椭圆的右焦点为，点在上，且在第－象限，过点作的切线交椭圆与两点，则的周长为_______________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用焦点半径公式可求，再根据勾股定理可求、，注意根据点在椭圆上化简、后可求的周长.‎ ‎【详解】‎ 圆的半径为，椭圆的短半轴长为，‎ 依据在第一象限可以得到在轴的右侧.‎ 设，则且.‎ 又，同理，‎ 所以的周长为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆的方程为的左、右焦点分别为，那么对于椭圆上的点，，，记忆该公式的方法为“左加右减”.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知，命题幂函数在上是减函数；命题函数最小值大于0.‎ ‎(1)当时，若为假命题，求的取值范围；‎ ‎(2)当时，若为假命题，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)幂函数为，根据为假命题可得的取值范围；‎ ‎(2)根据为假命题可得中至少有一个为假命题，求出为假命题和为假命题时的取值范围，它们的并集即为所求的的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，幂函数为，‎ 因为为假命题，故该函数在上不是减函数，故即的取值范围为.‎ ‎（2）当时，幂函数为，‎ 当为假命题时，幂函数为在上不是减函数，故.‎ 当为假命题时，函数最小值小于等于0，故.‎ 因为为假命题，故为假命题或为假命题.‎ 故为假命题时，或即的取值范围为.‎ ‎【点睛】复合命题的真假判断为“一真必真，全假才假”，的真假判断为“全真才真，一假比假”，的真假判断是“真假相反”．‎ ‎18.大城市往往人口密集，城市绿化在健康人民群众肺方面发挥着非常重要的作用，历史留给我们城市里的大山拥有品种繁多的绿色植物更是无价之宝.改革开放以来，有的地方领导片面追求政绩，对森林资源野蛮开发受到严肃查处事件时有发生.2019年的春节后，广西某市林业管理部门在“绿水青山就是金山银山”理论的不断指引下，积极从外地引进甲、乙两种树苗，并对甲、乙两种树苗各抽测了10株树苗的高度(单位：厘米)，数据如下面的茎叶图：‎ ‎(1)据茎叶图求甲、乙两种树苗的平均高度；‎ ‎(2)据茎叶图，运用统计学知识分析比较甲、乙两种树苗高度整齐情况.‎ ‎【答案】（1）27（厘米），30（厘米）；（2）甲种树苗长的比较整齐，乙种树苗长的参差不齐 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用公式计算即可.‎ ‎（2）根据茎叶图的数据分布可得两者的方差的大小，从而得到甲种树苗较为齐整.‎ ‎【详解】（1）甲种树苗的平均高度为（厘米）.‎ 乙种树苗的平均高度为（厘米）.‎ ‎（2）甲种树苗的方差为：，‎ 乙种树苗的方差为：，‎ 故甲种树苗长的比较整齐，乙种树苗长的参差不齐.‎ ‎【点睛】本题考查茎叶图、频率分布直方图的应用，注意直方图中，各矩形的高是，而茎叶图中数据的分布形式往往体现了均值的大致范围以及数据离散的程度，注意均值和方差均为估算，必要时需精确计算.‎ ‎19.地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会 发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”.2019年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩(单位：分)分组如下：第一组，第二组，第二组，第四组，第五组，得到频率分布直方图如下图：‎ ‎(1)求实数的值；‎ ‎(2)若从第二组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取9名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从9人中抽取2人作为正、副队长，求“抽取的2人为不同组”的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据诸矩形的面积为1可求实数的值；‎ ‎（2）9名学生中第二组人数为7人，第五组的人数为2人，利用组合数可计算基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可求概率.‎ ‎【详解】（1）根据频率分布直方图可得：，故.‎ ‎（2）根据频率分布直方图可得第2组和第5组的频率之比为，‎ 故9名学生中第二组人数为7人，第五组的人数为2人，‎ 设“抽取的2人为不同组”为事件，则从9人抽取2人，不同的取法总数为，‎ 抽取的2人为不同组，共有种取法，故.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图及其应用，还考查了古典概型的概率计算，注意在直方图中，各矩形的高是 ‎，另外，在计算概率时，如果基本事件的总数较大，那么可以利用排列组合来计数.‎ ‎20.已知椭圆的焦点为，该椭圆经过点P（5,2）‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若椭圆上的点满足，求y0的值.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据椭圆定义得a，再根据c求b（2）由得,再与椭圆方程联立解得y0的值.‎ 试题解析：（1）依题意，设所求椭圆方程为 ‎ 其半焦距c=6.‎ 因为点P（5,2）在椭圆上，‎ 所以 所以 故所求椭圆的标准方程是 ‎ ‎（2）由得 ‎ ‎ 即代入椭圆方程得：‎ ‎ 故 ‎ ‎21.在高中学习过程中，同学们经常这样说：“数学物理不分家，如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题．”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论．现从该班随机抽取5位学生在一次考试中的数学和物理成绩，如下表：‎ ‎ ‎ ‎(1)求数学成绩y对物理成绩x的线性回归方程．若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩； ‎ ‎(2)要从抽取的这5位学生中随机抽取2位参加一项知识竞赛，求选中的学生的数学成绩至少有一位高于120分的概率．（参考公式： 参考数据：）‎ ‎【答案】(1) =﹣13.2x+1133.2，x=80，=77;(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，利用方程，x=80分，即可预测他的数学成绩；（2）利用对立事件的概率公式，即可得出结论．‎ 试题解析：‎ ‎（1）=76，=130，∴==≈﹣13.2，‎ ‎=﹣=130﹣（﹣13.2）×76≈1133.2，‎ ‎∴ =﹣13.2x+1133.2，x=80，=77；‎ ‎（2）从抽取的这五位学生中随机选出2位参加一项知识竞赛，有=10种方法，选中的学生的数学成绩至少有一位高于120分的概率为1﹣=．‎ ‎22.已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的左焦点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线与轴交于点，、是椭圆上的两个动点，且它们在轴的两侧，的平分线在轴上，|，则直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）直线过定点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出后可得椭圆的标准方程.‎ ‎（2）设的方程为，，，的平分线在轴上等价于，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理化简可得，从而得到所求的定点.‎ ‎【详解】（1）在直线方程中令，则，‎ 故，又，故，所以，所以椭圆标准方程为：.‎ ‎（2）因为、在在轴的两侧，故的斜率必存在，‎ 设的方程为，，，‎ 因为在轴上且在直线，故.‎ 因为的平分线在轴上，所以，而，‎ 代入整理得到：.‎ 由可得，‎ 所以，‎ 所以，化简得到，‎ 所以对任意的，总有，故直线过定点.‎ ‎【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.‎ ‎ ‎