甘肃省西北师大附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

甘肃省西北师大附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

西北师大附中 2019—2020 学年度第一学期期中考试试题 高一数学 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求集合 的补集,再与 求交集即可. 【详解】因为 , , , 故选 A. 【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算,属基础题. 2.下列函数中，在区间 上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】 根据基本初等函数的图象与性质，即可判断函数的单调性，从而得出结论． 【详解】解：对于 A，函数 y 在定义域[0，+∞）上为单调增函数，满足题意； 对于 B，函数 y＝（x﹣1）2 在区间（﹣∞，1）上是单调减函数，（1，+∞）上是单调增函 数，不满足题意；　 对于 C，函数 y＝2﹣x 在定义域 R 上为单调减函数，不满足题意； 【 {1,2,3,4,5,6},U = {1,3,4}A = {1,3,5}B = ( )UC A B = {5} {1,3} {1,3,4,5} ∅ A B {1,2,3,4,5,6},U = {1,3,4}A = {2,5,6}UC A∴ = ( ) {5}UC A B∴ ∩ = (0, )+∞ 2 xy = 2( 1)y x= − 2 xy −= 1 2 logy x= 2 x= 对于 D，函数 在定义域（0，+∞）上为单调减函数，不满足题意．　　 故选：A． 【点睛】本题考查了基本初等函数的图象与性质的应用问题，是基础题目． 3.下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】选项 B、C、D 中的两个函数的定义域都不相同， 所以不是同一函数； 因 的定义域相同,且解析式也相同,是同一函数， 故应选 A． 4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y＝10lg x 定义域和值域相同的是( ) A. y＝x B. y＝lg x C. y＝2x D. y＝ 【答案】D 【解析】 试题分析:因函数 的定义域和值域分别为 ,故应选 D． 考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用． 【此处有视频，请去附件查看】 5.已知 在 上是偶函数，且满足 ，当 时， ，则 （ ） A. 8 B. 2 C. D. 50 【答案】B 的 1 2 logy x= ( ) | |f x x= 2( )g x x= 2( ) lgf x x= ( ) 2lgf x x= 2 1( ) 1 xf x x −= − ( ) 1g x x= + ( ) 1 1f x x x= + ⋅ − 2( ) 1g x x= − ( ) ( ) 2,f x x g x x= = 1 x lg10 xy = ( )f x R ( 3) ( )f x f x+ = 3[0, ]2x∈ 2( ) 2f x x= (5)f = 2− 【解析】 【分析】 利用函数的周期性以及函数的解析式，转化求解即可． 【详解】 在 R 上是偶函数，且满足 ，故周期为 3 当 时， ， 则 ． 故选 B． 【点睛】本题考查函数的周期性以及函数的奇偶性的应用，利用函数的解析式求解函数值， 考查计算能力． 6.若 是方程 的一个解，则 所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 本题先代入特殊值 0，﹣1 进行比较，然后画出两个函数图象，根据图象交点和计算可得零 点所在的区间． 【详解】解：由题意， 当 x＝0 时，20＝1＞02＝0， 当 x＝﹣1 时，2﹣1 （﹣1）2＝1． 再根据两个函数图象： ( )f x ( ) ( )f x 3 f x+ = 3x 0, 2  ∈   ( ) 2f x 2x= ( ) ( ) ( ) ( )f 5 f 2 f 1 f 1 2= = − = = 0x 22x x= 0x ( 3, 2)− − ( 2, 1)− − ( 1,0)− (0,1) 1 2 = ＜ 则两个函数的交点，即方程的解必在区间（﹣1，0）内． 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数画图能力，代入特殊值方法的应用，以及零点判定定理的应 用．本题属中档题． 7.已知幂函数 的图像过点 ，则 等于（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据幂函数的定义求得 ，根据 图像过点 求得 ，由此求得 的值. 【详解】由题知 是幂函数，则 .又图像过点 ，则由 知 ，故 . 故选：A. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查指数运算，属于基础题. 8.若函数 在区间 上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. ( )f x kxα= 1 , 22      k α+ 1 2 3 2 k ( )f x 1 , 22      α k α+ ( )f x kxα= 1k = 1 , 22      1 22 α  =   1 2 α = − 1 2k α+ = ( )2 2( ) log 3f x x ax a= − − ( , 2]−∞ − ( ],4−∞ ( 4,4)− ( ,4) [2, )−∞ ∪ +∞ 【答案】D 【解析】 【分析】 令 t＝x2﹣ax﹣3a，则得函数 f（x）＝log2t，由条件利用复合函数的单调性、二次函数、对 数函数的性质可得 ，由此求得 a 的范围． 【详解】解：令 t＝x2﹣ax﹣3a 3a，则由题意可得函数 f（x）＝log2t， 函数 t 在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数且 t＞0 恒成立． ∴ ，求得﹣4≤a＜4， 故选：D． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质，注意复合函数“同 增异减”的应用，属于中档题． 9.若函数 ，则 的图象可以是（ ） A. B. [ )4,4− 2 2 4 2 3 0 a a a − ≤  + − ＞ 2 2 2 4 a ax = − − −   2 2 4 2 3 0 a a a − ≤  + − ＞ 1 2 2 ( 1) ( ) log ( 1) x x f x x x =  >  (1 )y f x= − C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题中函数知，当 x＝0 时，y＝2，图象过点（0，2），又依据指数函数的性质知，此函数在 （0，+∞）上的函数值为正，根据此两点可得答案． 【详解】解：观察四个图的不同发现， 图中的图象过（0，2）， 而当 x＝0 时，y＝2，故排除 ； 又当 1﹣x＜1，即 x＞0 时，f（x）＞0． 由函数 y＝f（1﹣x）的性质知，在（0，+∞）上的函数值为正，排除 B． 故选：C． 【点睛】本题考查对数函数、指数函数的图象与性质、数形结合，解题时应充分利用函数的 图象，掌握其的性质． 10.若函数 在 上的单调函数，则实数 的取值范 围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据分段函数单调性的关系进行求解即可． 【详解】解：∵a＞0，∴当 x＜﹣1 时，函数 f（x）为增函数， ∵函数在 R 上的单调函数， ∴函数为单调递增函数， B C、 A D、 ( 1) 1, 1( ) ( 0, 1), 1x a x xf x a aa x− − + < −= > ≠ −  R a 10, 3      1 ,13      10, 3      1 ,13     则当 x≥﹣1 时，f（x）＝（ ）x，为增函数， 则 1，即 0＜a＜1， 同时 a≥﹣2a+1， 即 3a≥1， 即 a ， 综上 a＜1， 故选：D． 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质是解决本题的关 键． 11.已知函数 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数 满足 ，则 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，由函数的奇偶性分析可得 f（log2a）+f（﹣log2a）＜2f（1）⇒f（log2a）＜f（1） ⇒f（|log2a|）＜f（1），结合函数的单调性分析可得|log2a|＜1，即﹣1＜log2a＜1，解可得 a 的取值范围，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，则 f（log2a）＝f（﹣log2a）， 则 f（log2a）+f（﹣log2a）＜2f（1）⇒f（log2a）＜f（1）⇒f（|log2a|）＜f（1）， 又由 f（x）在区间[0，+∞）上单调递增， 则有|log2a|＜1，即﹣1＜log2a＜1 解可得： a＜2， 1 a 1 a ＞ 1 3 ≥ 1 3 ≤ ( )f x R [ )0,+∞ a ( ) ( )2 2log log 2 (1)f a f a f+ − < [ ]1,2 10, 2      1 ,22      1 ,22      1 2 ＜ 即 a 的取值范围为（ ，2）； 故选：D． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 12.对任意实数 定义运算“ “： ，设 ，若 函数 的图象与 轴恰有三个交点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用新定义化简 f（x）解析式，做出 f（x）的函数图象，根据图象即可得出 k 的范围． 【详解】解：解 x2﹣1﹣（4+x）≥1 得 x≤﹣2 或 x≥3， ∴f（x） ， 做出 f（x）的函数图象，如图所示： ∵y＝f（x）+k 有三个零点， ∴﹣1＜﹣k≤2，即﹣2≤k＜1． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，不等式的解法，属于中档题． 1 2 ,a b ⊗ , 1 , 1 b a ba b a a b −⊗ =  − <  ( )2( ) 1 (4 )f x x x= − +⊗ ( )y f x k= + x k ( 2,1)− [ ]0,1 [ ]2,1− [ )2,1− 2 4 2 3 1 2 3 x x x x x + ≤ − ≥=  − − ， 或 ， ＜ ＜ 二．填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.函数 的定义域为________. 【答案】（﹣3，0）∪（2，3） 【解析】 【分析】 根据函数 y 的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】函数 ，令 ， 解得 ，即﹣3＜x＜0 或 2＜x＜3； 所以函数 y 的定义域为（﹣3，0）∪（2，3）． 故答案为（﹣3，0）∪（2，3） 【点睛】本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，考查二次不等式的解法，是基础 题． 14.方程 的解都在 内，则 的取值范围为_______. 【答案】5≤k＜10 【解析】 【分析】 本题根据 f（x）＝2x+3x 在[1，2）内是增函数，然后代入值即可得到 k 的取值范围． 【详解】由题意，可知：f（x）＝2x+3x 在[1，2）内是增函数， 又 f（1）＝21+3×1＝5，f（2）＝22+3×2＝10．∴5≤k＜10． 故答案为 5≤k＜10 【点睛】本题主要考查利用函数单调性求具体区间值域，属基础题． 15. 在 上有意义，则实数 的取值范围是_________． 【答案】k＜1 【解析】 分析】 由题意函数（4﹣k•2x）在（﹣∞，2]上，恒为正值，（4﹣k•2x）＞0 恒成立，解答即可． 【 2 2 ln( 2 ) 9 x xy x −= − ( )2 2 2 9 ln x x y x − = − 2 2 2 0 9 0 x x x  −  − ＞ ＞ 0 2 3 3 x x x  − ＜ 或 ＞ ＜ ＜ 2 3x x k+ = [ )1,2 k ( )( ) lg 4 2 xf x k= − ⋅ ( ,2]−∞ k 【详解】由题意函数（4﹣k•2x）在（﹣∞，2]上，恒为正值， 即：（4﹣k•2x）＞0 恒成立，k ， 因为 2x 在（﹣∞，2]上是增函数，∴ 在（﹣∞，2]上是减函数， 所以 k＜1 故答案为：k＜1 【点睛】本题考查对数函数的定义域，函数恒成立问题，指数函数单调性等知识，是中档 题． 16.已知函数 ， ，若对任意 ，总 存在 ，使 成立，则实数 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据对任意的 ,总存在 ,使 成立,转化为两个函数值域的 包含关系,进而根据关于 的不等式组,解不等式组可得答案． 【详解】由题意，函数 ． ． 根据二次函数的性质，可得当 时, ,记 ． 由题意当 时, 在 上是增函数, ∴ ,记 ． 由对任意 ,总存在 ,使 成立，所以 则 ，解得： 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象和性质的应用，以及存在性问题求解和集合包 含关系的综合应用，其中解答中把对任意的 ,总存在 ,使 成立,转化为两个函数值域的包含关系是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求 4 2x＜ 4 2xy = 2( ) 4 3f x x x= − + ( ) 3 2 ( 0)g x mx m m= + − > [ ]1 0,4x ∈ [ ]2 0,4x ∈ ( ) ( )1 2f x g x= m [ )2,+∞ [ ]1 0,4x ∈ [ ]2 0,4x ∈ ( ) ( )1 2f x g x= m ( ) ( )22 4 3 2 1f x x x x= − + = − − ( ) 3 2g x mx m= + − [ ]0,4x∈ ( ) [ ]1,3f x ∈ − [ ]1,3A = − 0m > ( ) 3 2g x mx m= + − [ ]0,4 ( ) [ ]3 2 ,2 3g x m m∈ − + [ ]3 2 ,3 2B m m= − + [ ]1 0,4x ∈ [ ]2 0,4x ∈ ( ) ( )1 2f x g x= A B⊆ 0 1 3 2 3 2 3 m m m > − ≥ −  + ≥ 2m ≥ [ )2,+∞ [ ]1 0,4x ∈ [ ]2 0,4x ∈ ( ) ( )1 2f x g x= 解能力，属于中档试题． 三．解答题：本大题共 5 小题，每题 14 分，共 70 分. 17.已知集合 ， （1）若 ，求实数 的值； （2）设全集为 ，若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ，或 . 【解析】 【分析】 （1）解一元二次不等式求得 和 ，根据两者交集 范围列式，由此求得 的值.（2）先 求得集合 的补集，再根据 列式，由此求得 的取值范围. 【详解】（1）因为 ， ， , 所以 ，所以 . （2） ，或 . 因为 ，所以 ，或 ， 所以 ，或 . 【点睛】本小题主要考查集合交集、补集和子集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法， 属于基础题. 【此处有视频，请去附件查看】 18.已知函数 是奇函数 （1）求 的值； （2）当 时，求不等式 成立，求 取值范围； 【答案】（1）k＝﹣1；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）可根据条件得出 f（x）是 R 上的奇函数，从而得出 f（0）＝0，从而求出 k＝﹣1； 的 的 { }2| 2 8 0A x x x= − − ≤ { }2 2| (2 3) 3 0,B x x m x m m m R= − − + − ≤ ∈ [2,4]A B∩ = m R RA C B⊆ m 5m = 7m > 2m < − A B m B RA C B⊆ m [ 2,4]A = − [ 3, ]B m m= − [2,4]A B∩ = 3 2 4 m m − =  ≥ 5m = { | 3RC B x x m= < − }x m> RA C B⊆ 2m < − 3 4m − > 7m > 2m < − ( ) ( 0 1)x xf x a ka a a−= + > ≠且 k ( )1,1x∈ − ( ) ( )1 1 2 0f m f m− + − < m （2）f（x）＝ax﹣a﹣x，求导得出 f′（x）＝（ax﹣a﹣x）lna，可讨论 a，根据导数符号判断 f（x）在（﹣1，1）上的单调性，这样根据 f（x）是奇函数以及 f（x）的单调性即可由不等 式 f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0 得出关于 m 的不等式组，解不等式组即可得出 m 的范围． 【详解】（1）∵f（x）是 R 上的奇函数，∴f（0）＝1+k＝0，∴k＝﹣1； （2）f（x）＝ax﹣a﹣x，f′（x）＝（ax+a﹣x）lna， ∴①0＜a＜1 时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣1，1）上单调递减，且 f（x）是奇函数， ∴由 f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0 得，f（1﹣m）＜f（2m﹣1）， ∴ ，解得 ； ②a＞1 时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，1）上单调递增，且 f（x）是奇函数， ∴由 f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0 得，f（1﹣m）＜f（2m﹣1）， ∴ ，解得 ， 综上：当 0＜a＜1 时，m 的取值范围为 ，当 a＞1 时，m 的取值范围为 ． 【点睛】本题考查了奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，根据导 数符号判断函数单调性的方法，基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础 题． 19. 某公司将进货单价为 8 元一个的商品按 10 元一个出售，每天可以卖出 100 个，若这种 商品的售价每个上涨 1 元，则销售量就减少 10 个． （1）求售价为 13 元时每天的销售利润； （2）求售价定为多少元时，每天的销售利润最大，并求最大利润． 【答案】（1）350 （2）售价定为 14 元时，每天的销售利润最大，最大利润为 360 元 【解析】 试题分析：（1）由题设知销售价为 13 元时每天销售量为 100-（13-10）×8=76 个，由此能 求出销售价为 13 元时每天的销售利润；（2）设出商品的单价，表示出涨价后减少的销售量， 求出利润，然后通过研究二次函数的最值求出利润的最值情况 试题解析：（1）依题意，可知售价为 13 元时，销售量减少了: （个） 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 m m m m − − − −  − − ＜ ＜ ＜ ＜ ＞ 10 2m＜ ＜ 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 m m m m − − − −  − − ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ 1 12 m＜ ＜ 10 2     ， 1 12     ， 10 (13 10) 30× − = 所以，当售价为 13 元时每天的销售利润为: （元） （2）设售价定为 元时，每天的销售利润为 元，依题意，得 （ ） ∴ 当 时， 取得最大值，且最大值为 ． 即售价定为 14 元时，每天的销售利润最大，最大利润为 360 元． 考点：函数模型的选择与应用 20.已知函数 ，函数 ． （1）求函数 与 的解析式，并求出 ， 的定义域； （2）设 ，试求函数 的定义域，及最值． 【答案】（1）f（x）＝log3（x+2）﹣1，定义域[﹣1，7]；g（x）＝log3x+2，定义域[1，9]； （2）定义域[1，3]，最小值 6，最大值 13. 【解析】 【分析】 （1）令 t＝3x﹣2，则 x＝log3（t+2）﹣1，根据已知可求 f（x），进而可求 g（x）； （2）结合（1）可求 h（x），然后结合函数的定义域的要求有 ，解出 x 的范围， 结合二次函数的性质可求． 【详解】（1）令 t＝3x﹣2，则 x＝log3（t+2）﹣1，∵x∈[0，2]，∴t∈[﹣1，8]， ∵f（3x﹣2）＝x﹣1（x∈[0，2]），∴f（t）＝log3（t+2）﹣1，t∈[﹣1，7]， ∴f（x）＝log3（x+2）﹣1，x∈[﹣1，7]，即 f（x）的定义域[﹣1，7]， ∵g（x）＝f（x﹣2）+3＝log3x+2，∴x﹣2∈[﹣1，7]，∴x∈[1，9]，即 g（x）的定义域[1， 9]． （2）∵h（x）＝[g（x）]2+g（x2）＝（log3x+2）2+2 6log3x+6， ∵ ，∴1≤x≤3，即函数 y＝h（x）的定义域[1，3]，∵0≤log3x≤1， (13 8) (100 30) 350− × − = x y ( 8)[100 ( 10) 10]y x x= − − − ⋅ 210 280 1600x x= − + − 210( 14) 360x= − − + 10 20x≤ ≤ 14x = y max 360y = ( )3 2 1( [0, 2])xf x x− = − ∈ ( ) ( 2) 3g x f x= − + ( )y f x= ( )y g x= ( )f x ( )g x ( )2 2( ) [ ( )]h x g x g x= + ( )y h x= 2 1 9 1 9 x x ≤ ≤  ≤ ≤ 2 2 3 3( )log x log x+ = + 2 1 9 1 9 x x ≤ ≤  ≤ ≤ 结合二次函数的性质可知，当 log3x＝0 时，函数取得最小值 6， 当 log3x＝1 时，函数取得最大值 13． 【点睛】本题考查了利用了换元法求函数的解析式及函数的定义域的求解，二次函数值域的 求解，属于中档试题． 21.已知函数 在 上是奇函数． （1）求 ； （2）对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围； （3）令 ，若关于 的方程 有唯一实数解，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 或 【解析】 【详解】（1）因为 所以 所以 （2） ， 所以 ，即 （3）因为 ， 即 ，所以 （*） 因为关于 的方程 有唯一实数解，所以方程（*）有且只有一个根， 令 ，则方程（*）变为 有且只有一个正根， ( ) 1 2 1x af x = − + R a (0,1]x∈ ( ) 2 1xs f x× ≥ − s 1( ) ( ) 1g x f x = − x (2 ) ( 1) 0g x mg x− + = m 2a = 3s ≥ m 1≥ 1 5 2m − += 2a = 2 2 1( ) 1 2 1 2 1 x x xf x −= − =+ + 2 1(0,1], ( ) 0, 2 1( ) x xx f x s f x −∴∀ ∈ > ≥ = +故 max(2 1), (0,1]xs x≥ + ∈ 3s ≥ 1 2 1( ) ( ) 1 2 x g x f x += = −− (2 ) ( 1) 0 (2 ) ( 1)g x mg x g x mg x− + = ⇒ = + 2 12 1 (2 1)x xm ++ = + 22 2 2 1 0x xm m− + − = x (2 ) ( 1) 0g x mg x− + = 2xt = 2 2 1 0t mt m− + − = ①方程 有且只有一个根且是正根，则 所以 ，当 时，方程 的根为 满足题意； 当 时，方程 的根为 不满足题意 ②方程 有一正根一负根，则 ，所以 ③方程 有一正根一零根，则 ，所以 ，此时 满足题 意 综上， 的范围为 或 2 2 1 0t mt m− + − = 2 24 4 4 4( 1) 0m m m m∆ = + − = + − = 1 5 2m − ±= 1 5 2m − += 2 2 1 0t mt m− + − = t m= 1 5 2m − −= 2 2 1 0t mt m− + − = t m= 2 2 1 0t mt m− + − = 1 0m− < 1m > 2 2 1 0t mt m− + − = 1 0m− < 1m = 2t = m m 1≥ 1 5 2m − +=