高中数学必修4知识点

高中数学必修4知识点

P v x y A O M T    正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 2、角  的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在 第几象 限，则称 为第几象限角． 第一象限角的集合为 360 360 90 ,k k k      第二象限角的集合为 360 90 360 180 ,k k k       第三象限角的集合为 360 180 360 270 ,k k k       第四象限角的集合为 360 270 360 360 ,k k k       终边在 x 轴上的角的集合为 180 ,kk   终边在 y 轴上的角的集合为 180 90 ,kk    终边在坐标轴上的角的集合为 90 ,kk   3、与角 终边相同的角的集合为 360 ,kk      4、已知 是第几象限角，确定  *nn   所在象限的方法：先把各象限均分 n 等份，再从 x 轴的正半 轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则 原来是第几象限对应的标号即为 n  终边所落 在的区域． 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 6、半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为l ，则角 的弧度数的绝对值是 l r  ． 7、弧度制与角度制的换算公式： 2 360  ，1 180  ， 1801 57.3  ． 8、若扇形的圆心角为  为弧度制 ，半径为 r ，弧长为l ，周长为C ，面积为 S ，则 lr ， 2C r l， 211 22S lr r ． 9、设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 的坐标是 ,xy ，它与原点的距离是  220r r x y   ，则sin y r  ，cos x r  ，  tan 0y xx ． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限 余弦为正． 11、三角函数线：sin  ，cos   ， tan   ． 12、同角三角函数的基本关系：  221 sin cos 1  2 2 2 2sin 1 cos ,cos 1 sin       ；  sin2 tancos    sinsin tan cos ,cos tan       ． 13、三角函数的诱导公式：    1 sin 2 sink   ，  cos 2 cosk   ，    tan 2 tankk     ．    2 sin sin     ，  cos cos     ，  tan tan   ．    3 sin sin   ，  cos cos ，  tan tan   ．    4 sin sin   ，  cos cos     ，  tan tan     ． 口诀：函数名称不变，符号看象限．  5 sin cos2   ，cos sin2   ．  6 sin cos2   ，cos sin2     ． 口诀：奇变偶不变，符号看象限． 14、函数 sinyx 的图象上所有点向左（右）平移  个单位长度，得到函数  sinyx的图象；再 将函数  sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1  倍（纵坐标不变），得到函数  sinyx的图象；再将函数  sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的  倍 （横坐标不变），得到函数  sinyx   的图象． 函数 sinyx 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1  倍（纵坐标不变），得到函数 sinyx 的图象；再将函数 sinyx 的图象上所有点向左（右）平移   个单位长度，得到函数  sinyx的图象；再将函数  sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的  倍 （横坐标不变），得到函数  sinyx   的图象． 函数   sin 0, 0yx        的性质： ①振幅：  ；②周期： 2  ；③频率： 1 2f   ；④相位： x ；⑤初相： ． 函数  sinyx     ，当 1xx 时，取得最小值为 miny ；当 2xx 时，取得最大值为 maxy ，则  max min 1 2 yy   ，  max min 1 2 yy   ，  2 1 1 22 x x x x    ． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sinyx cosyx tanyx 图象 定义域 R R ,2x x k k     值域  1,1  1,1 R 最值 当 2 2xk k  时， max 1y  ；当 2 2xk  k  时， min 1y  ． 当  2x k k  时， max 1y  ；当 2xk  k  时， min 1y  ． 既无最大值也无最小值 周期性 2 2  奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2 ,222kk  k  上是增函数；在 32 ,222kk  k  上是减函数． 在   2 ,2k k k    上是 增函数；在 2 ,2kk    k  上是减函数． 在 ,22kk  k  上是增函数． 对称性 对称中心  ,0kk  对称轴  2x k k   对称中心  ,02kk  对称轴  x k k  对称中心  ,02 k k 无对称轴 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0 的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 函 数 性 质 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b     ． ⑷运算性质：①交换律： a b b a   ；②结合律：   a b c a b c     ；③ 00a a a    ． ⑸坐标运算：设  11,a x y ，  22,b x y ，则  1 2 1 2,a b x x y y    ． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设  11,a x y ，  22,b x y ，则  1 2 1 2,a b x x y y    ． 设  、 两点的坐标分别为 11,xy ， 22,xy，则  1 2 1 2,x x y y    ． 19、向量数乘运算： ⑴实数  与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a ． ① aa ； ②当 0  时， a 的方向与 a 的方向相同；当 0  时， a 的方向与 a 的方向相反；当 0  时， 0a  ． ⑵运算律：①    aa   ；② a a a      ；③  a b a b     ． ⑶坐标运算：设  ,a x y ，则    ,,a x y x y    ． 20、向量共线定理：向量  0aa 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使ba ． 设  11,a x y ，  22,b x y ，其中 0b  ，则当且仅当 1 2 2 1 0x y x y时，向量 a 、  0bb 共线． 21、平面向量基本定理：如果 1e 、 2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只 有一对实数 1 、 2 ，使 1 1 2 2a e e ．（ 不共线的向量 1e 、 2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 22、分点坐标公式：设点  是线段 12 上的一点， 1 、 2 的坐标分别是 11,xy ， 22,xy，当 12    时， 点  的坐标是 1 2 1 2,11 x x y y    ． 23、平面向量的数量积： b a C   a b C C       ⑴  cos 0, 0,0 180a b a b a b      ．零向量与任一向量的数量积为0 ． ⑵性质：设 a 和b 都是非零向量，则① 0a b a b    ．②当 a 与b 同向时， a b a b ；当 a 与b 反向时， a b a b   ； 22a a a a   或 a a a．③ a b a b ． ⑶运算律：① a b b a   ；②     a b a b a b       ；③ a b c a c b c      ． ⑷坐标运算：设两个非零向量  11,a x y ，  22,b x y ，则 1 2 1 2a b x x y y   ． 若  ,a x y ，则 2 22a x y，或 22a x y． 设  11,a x y ，  22,b x y ，则 1 2 1 2 0a b x x y y    ． 设 a 、b 都是非零向量， ， ， 是 a 与b 的夹角，则 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y yab ab x y x y    ． 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴  cos cos cos sin sin        ； ⑵  cos cos cos sin sin        ； ⑶  sin sin cos cos sin        ； ⑷  sin sin cos cos sin        ； ⑸   tan tantan 1 tan tan    （   tan tan tan 1 tan tan         ）； ⑹   tan tantan 1 tan tan    （   tan tan tan 1 tan tan         ）． 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 2 2sin cos   ． ⑵ 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin          （ 2 cos 2 1cos 2   ， 2 1 cos 2sin 2   ）． ⑶ 2 2tantan 2 1 tan    ． 26、  22sin cos sin           ， tan   ．