2015届高考数学二轮专题训练：专题二 第3讲 导数及其应用
第3讲 导数及其应用
考情解读 1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用．
1．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性．
3．函数的极值与最值
(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．
(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．
(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．
4．定积分的三个公式与一个定理
(1)定积分的性质：
①ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx；
②ʃ[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx；
③ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(其中a
0)与曲线C2：x2＋y2＝的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是________．
思维启迪 (1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程．(2)A点坐标是解题的关键点，列方程求出．
答案 (1)5x＋y－3＝0 (2)4
解析 (1)因为y′＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，
所以y′|x＝0＝－5，
故切线方程为y－3＝－5(x－0)，
即5x＋y－3＝0.
(2)设A(x0，y0)，则C1在A处的切线的斜率为f′(x0)＝3ax，C2在A处的切线的斜率为－＝－，
又C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，
所以(－)·3a＝－1，即y0＝3ax，
又ax＝y0－1，所以y0＝，
代入C2：x2＋y2＝，得x0＝±，
将x0＝±，y0＝代入y＝ax3＋1(a>0)，得a＝4.
思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．
(1)已知函数y＝f(x)的导函数为f′(x)且f(x)＝x2f′()＋sin x，则f′()＝________.
(2)若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于________．
答案 (1) (2)2
解析 (1)因为f(x)＝x2f′()＋sin x，所以f′(x)＝2xf′()＋cos x．
所以f′()＝2×f′()＋cos.所以f′()＝.
(2)f′(x)＝sin x＋xcos x，f′()＝1，
即函数f(x)＝xsin x＋1在点x＝处的切线的斜率是1，
直线ax＋2y＋1＝0的斜率是－，
所以(－)×1＝－1，解得a＝2.
热点二 利用导数研究函数的性质
例2 已知函数f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当x∈[0,4]时，求函数f(x)的最小值．
思维启迪 (1)直接求f′(x)，利用f′(x)的符号确定单调区间；(2)讨论区间[0,4]和所得单调区间的关系，一般情况下，f(x)的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到．
解 (1)因为f(x)＝(x＋a)ex，x∈R，所以f′(x)＝(x＋a＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝－a－1.
当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，－a－1)
－a－1
(－a－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
故f(x)的单调减区间为(－∞，－a－1)；
单调增区间为(－a－1，＋∞)．
(2)由(1)得，f(x)的单调减区间为(－∞，－a－1)；
单调增区间为(－a－1，＋∞)．
所以当－a－1≤0，即a≥－1时，f(x)在[0,4]上单调递增，故f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)min＝f(0)＝a；
当0<－a－1<4，即－50或f′(x)<0.
②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．
(4)①若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．
②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．
(5)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
已知函数f(x)＝ln x＋，a∈R.
(1)若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．
解 (1)∵f(x)＝ln x＋，∴f′(x)＝－.
∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f′(x)＝－≥0在[2，＋∞)上恒成立，
即a≤在[2，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝，则a≤[g(x)]min，x∈[2，＋∞)，
∵g(x)＝在[2，＋∞)上是增函数，
∴[g(x)]min＝g(2)＝1.
∴a≤1.所以实数a的取值范围为(－∞，1]．
(2)由(1)得f′(x)＝，x∈[1，e]．
①若2a<1，则x－2a>0，即f′(x)>0在[1，e]上恒成立，
此时f(x)在[1，e]上是增函数．
所以[f(x)]min＝f(1)＝2a＝3，解得a＝(舍去)．
②若1≤2a≤e，令f′(x)＝0，得x＝2a.
当10，所以f(x)在(2a，e)上是增函数．
所以[f(x)]min＝f(2a)＝ln(2a)＋1＝3，
解得a＝(舍去)．
③若2a>e，则x－2a<0，即f′(x)<0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上是减函数．
所以[f(x)]min＝f(e)＝1＋＝3，得a＝e.适合题意．
综上a＝e.
热点三 导数与方程、不等式
例3 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝(a>0)，设F(x)＝f(x)＋g(x)．
(1)求函数F(x)的单调区间；
(2)若以函数y＝F(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；
(3)是否存在实数m，使得函数y＝g()＋m－1的图象与函数y＝f(1＋x2)的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
思维启迪 (1)利用F′(x)确定单调区间；(2)k＝F′(x0)，F′(x0)≤分离a，利用函数思想求a的最小值；(3)利用数形结合思想将函数图象的交点个数和方程根的个数相互转化．
解 (1)F(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x＋(x>0)，F′(x)＝－＝.
∵a>0，由F′(x)>0⇒x∈(a，＋∞)，
∴F(x)在(a，＋∞)上是增函数．
由F′(x)<0⇒x∈(0，a)，
∴F(x)在(0，a)上是减函数．
∴F(x)的单调递减区间为(0，a)，
单调递增区间为(a，＋∞)．
(2)由F′(x)＝(00.
又由G(2)＝G(－2)＝ln 5－2＋<可知，
当m∈(，ln 2)时，y＝G(x)与y＝m恰有四个不同交点．故存在m∈(，ln 2)，使函数y＝g()＋m－1的图象与y＝f(1＋x2)的图象恰有四个不同交点．
思维升华 研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具．基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考．
已知函数f(x)＝a(x2＋1)＋ln x.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，恒有ma－f(x)>a2成立，求实数m的取值范围．
解 (1)由已知，得f′(x)＝2ax＋＝(x>0)．
①当a≥0时，恒有f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
②当a<0时，若00，
故f(x)在(0，]上是增函数；
若x> ，则f′(x)<0，
故f(x)在[，＋∞)上是减函数．
综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当a<0时，f(x)在(0, ]上是增函数，在[ ，＋∞)上是减函数．
(2)由题意，知对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，
恒有ma－f(x)>a2成立，
等价于ma－a2>f(x)max.
因为a∈(－4，－2)，所以< <<1.
由(1)，知当a∈(－4，－2)时，f(x)在[1,3]上是减函数，
所以f(x)max＝f(1)＝2a，
所以ma－a2>2a，即m1，则a的值为( )
A．6 B．4 C．3 D．2
(2)如图，阴影部分的面积是( )
A．2 B．9－2
C. D.
答案 (1)D (2)C
解析 (1)ʃ(2x＋)dx＝(x2＋ln x)|＝a2＋ln a－1，由题意，可得a2＋ln a－1＝3＋ln 2，
解得a＝2.
(2)由题图，可知阴影部分面积为ʃ(3－x2－2x)dx＝(3x－x3－x2)|＝(3－－1)－(－9＋9－9)＝.
1．函数单调性的应用
(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立；
(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0在区间(a，b)上恒成立；
(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是f′(x)>0的必要不充分条件．
2．可导函数极值的理解
(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；
(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在x＝x0处的导数f′(x)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的必要不充分条件；
(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点．
3．利用导数解决优化问题的步骤
(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论．
4．定积分在几何中的应用
被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(a0时，S＝ʃf(x)dx；
(2)当f(x)<0时，S＝－ʃf(x)dx；
(3)当x∈[a，c]时，f(x)>0；当x∈[c，b]时，f(x)<0，则S＝ʃf(x)dx－ʃf(x)dx.
真题感悟
1．(2014·江西)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
答案 (－ln 2,2)
解析 设P(x0，y0)，∵y＝e－x＝，∴y′＝－e－x，
∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，
∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，
∴y0＝eln 2＝2，∴点P的坐标为(－ln 2,2)．
2．(2014·浙江)已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a>0)，若f(x)在[－1,1]上的最小值记为g(a)．
(1)求g(a)；
(2)证明：当x∈[－1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.
(1)解 因为a>0，－1≤x≤1，所以
①当00，
故f(x)在(a,1)上是增函数．
所以g(a)＝f(a)＝a3.
②当a≥1时，有x≤a，则f(x)＝x3－3x＋3a，
f′(x)＝3x2－3<0，
故f(x)在(－1,1)上是减函数，
所以g(a)＝f(1)＝－2＋3a.
综上，g(a)＝
(2)证明 令h(x)＝f(x)－g(a)．
①当00，
知t(a)在(0,1)上是增函数．
所以，t(a)0，因此函数f(x)在[0,1]上单调递增，
所以x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.
根据题意可知存在x∈[1,2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，
即x2－2ax＋5≤0，即a≥＋能成立，令h(x)＝＋，
则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立，只需使a≥h(x)min，
又函数h(x)＝＋在x∈[1,2]上单调递减，
所以h(x)min＝h(2)＝，故只需a≥.
2．已知函数f(x)＝－ln x，x∈[1,3]．
(1)求f(x)的最大值与最小值；
(2)若f(x)<4－at对任意的x∈[1,3]，t∈[0,2]恒成立，求实数a的取值范围；
解 (1)∵函数f(x)＝－ln x，∴f′(x)＝－，令f′(x)＝0得x＝±2，
∵x∈[1,3]，
当10；
∴f(x)在(1,2)上是单调减函数，
在(2,3)上是单调增函数，
∴f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝－ln 2；
又f(1)＝，f(3)＝－ln 3，
∵ln 3>1，∴－(－ln 3)＝ln 3－1>0，
∴f(1)>f(3)，
∴x＝1时f(x)的最大值为，x＝2时函数取得最小值为－ln 2.
(2)由(1)知当x∈[1,3]时，f(x)≤，
故对任意x∈[1,3]，f(x)<4－at恒成立，
只要4－at>对任意t∈[0,2]恒成立，即at<恒成立，记g(t)＝at，t∈[0,2]．
∴，解得a<，
∴实数a的取值范围是(－∞，)．
(推荐时间：60分钟)
一、选择题
1．曲线y＝x3－2x在(1，－1)处的切线方程为( )
A．x－y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋2＝0
答案 A
解析 由已知，得点(1，－1)在曲线y＝x3－2x上，所以切线的斜率为y′|x＝1＝(3x2－2)|x＝1＝1，由直线方程的点斜式得x－y－2＝0，故选A.
2．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
解析 令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3.
3．(2014·陕西)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )
A．y＝x3－x B．y＝x3－x
C．y＝x3－x D．y＝－x3＋x
答案 A
解析 函数在[－5,5]上为减函数，所以在[－5,5]上y′≤0，经检验只有A符合．故选A.
4．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为( )
A．{x|x>0}
B．{x|x<0}
C．{x|x<－1，或x>1}
D．{x|x<－1，或0ex－ex＝0，
所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．
又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，
所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.
5．若函数f(x)＝loga(x3－ax)(a>0，a≠1)在区间(－，0)内单调递增，则a的取值范围是( )
A．[，1) B．[，1)
C．(，＋∞) D．(1，)
答案 B
解析 由x3－ax>0得x(x2－a)>0.
则有或
∴x>或－0，
故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．
由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5.
12．已知f(x)＝x2＋3x＋1，g(x)＝＋x.
(1)a＝2时，求y＝f(x)和y＝g(x)图象的公共点个数；
(2)a为何值时，y＝f(x)和y＝g(x)的公共点个数恰为两个．
解 (1)当a＝2时，联立
得x2＋3x＋1＝＋x，
整理得x3＋x2－x－2＝0(x≠1)，
即联立
求导得y′＝3x2＋2x－1＝0得
x1＝－1，x2＝，
得到极值点分别在－1和处，
且极大值、极小值都是负值，图象如图，
故交点只有一个．
(2)联立得x2＋3x＋1＝＋x，
整理得a＝x3＋x2－x(x≠1)，
即联立对h(x)求导可以得到极值点分别在－1和处，画出草图如图．
h(－1)＝1，h()＝－，
当a＝h(－1)＝1时，y＝a与y＝h(x)仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y＝h(x)曲线上)，
故a＝－时恰有两个公共点．
13．设函数f(x)＝aex(x＋1)(其中，e＝2.718 28……)，g(x)＝x2＋bx＋2，已知它们在x＝0处有相同的切线．
(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[t，t＋1](t>－3)上的最小值；
(3)若对∀x≥－2，kf(x)≥g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
解 (1)f′(x)＝aex(x＋2)，g′(x)＝2x＋b.
由题意，得两函数在x＝0处有相同的切线．
∴f′(0)＝2a，g′(0)＝b，
∴2a＝b，f(0)＝a，g(0)＝2，∴a＝2，b＝4，
∴f(x)＝2ex(x＋1)，g(x)＝x2＋4x＋2.
(2)f′(x)＝2ex(x＋2)，由f′(x)>0得x>－2，
由f′(x)<0得x<－2，
∴f(x)在(－2，＋∞)单调递增，
在(－∞，－2)单调递减．∵t>－3，
∴t＋1>－2.
①当－30得ex>，∴x>ln；
由F′(x)<0得xe2时，F(x)在[－2，＋∞)单调递增，
F(x)min＝F(－2)＝－2ke－2＋2＝(e2－k)<0，
不满足F(x)min≥0.
当ln＝－2，即k＝e2时，由①知，F(x)min＝F(－2)＝(e2－k)＝0，满足F(x)min≥0.
③当ln>－2，即1≤k0，
满足F(x)min≥0.
综上所述，满足题意的k的取值范围为[1，e2]．
