广西南宁市第三中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

广西南宁市第三中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

南宁三中2019~2020学年度上学期高二段考 ‎ 理科数学试题 2019.11‎ ‎ ‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合．）‎ ‎1．“若，则没有实根”，其否命题是（ ）‎ ‎ A．若，则没有实根 ‎ B．若，则有实根 ‎ C．若，则没有实根 ‎ D．若，则有实根 ‎2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(　　)‎ A．对立事件　　 B．互斥但不对立事件 C．不可能事件 D．必然事件 ‎3．命题“，”的否定是（ ）‎ ‎ A．， B．，‎ ‎ C．， D．，‎ ‎4．已知两点A(3,2),B(-1,4)到直线mx+y+3=0距离相等，则m的值为（ ）‎ ‎ A．或1 B．或1 C． 或 D．或 ‎5．甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计图用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用表示，则下列结论正确的是(　　)‎ A．，且甲比乙成绩稳定 ‎ ‎ B．，且乙比甲成绩稳定 ‎ C．，且甲比乙成绩稳定 ‎ ‎ D．，且乙比甲成绩稳定 ‎6．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知正四棱柱中，，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ 第8题图 第9题图 ‎9．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示， ‎ 这个几何体的体积为（ ）‎ A．1 B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎11．在平面直角坐标系中，已知，动点满足，则动点的轨迹方程是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数(a,b,c∈R且a>0)则 “”是“与都恰有两个零点”的（ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．某地甲乙丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为200、300、400。现为了调查联考数学学科的成绩，采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取一个样本，已知甲学校中抽取了40名学生的数学成绩，那么在丙学校中抽取的数学成绩人数为_________。‎ ‎14．无论m取什么实数，直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点A，则定点A的坐标为_______．‎ ‎15．在区间上随机地取出两个数，满足的概率为，则实数＝______．‎ ‎16．实数x、y满足x2+y2=4，则的最小值为________．‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（10分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：‎ 日期 ‎12月2日 ‎12月3日 ‎12月4日 温差x（℃）‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ 发芽数y（颗）‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎ （1）请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎（2）该农科所确定的研究方案是：先用上面的3组数据求线性回归方程，再选取2组数据进行检验。若12月5日温差为8℃，发芽数16颗，12月6日温差为10℃，发芽数23颗。由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？‎ 注：．‎ ‎18．（12分）如图，在三角形中，的角平分线BD交AC于D，设，且 ‎ （1）求和的值；‎ ‎ （2）若，求AB的长．‎ ‎19．（12分）在一次抽奖活动中，有a,b,c,d,e,f共6人获得抽奖机会，抽奖规则如下：若获一等奖后不再参加抽奖，获得二等奖的仍参加三等奖抽奖。现在主办方先从6人中随机抽取2人均获一等奖，再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖，最后还从这4人中随机抽取1人获三等奖．‎ ‎ （1）求a能获一等奖的概率；‎ ‎ （2）若a,b已获一等奖，求c能获奖的概率．‎ ‎20．（12分）如图,正方形与梯形所在的平面互相垂直， ，,点在线段上．‎ ‎（1）若点为的中点，求证：平面； ‎ ‎（2）当平面与平面所成二面角的余弦值为时，求的长．‎ ‎21．（12分）已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，．‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎22．（12分）圆与轴交于、两点（点在点的左侧），、是分别过、点的圆的切线，过此圆上的另一个点（点是圆上任一不与、重合的动点）作此圆的切线，分别交、于、两点，且、两直线交于点．‎ ‎（）设切点坐标为，求证：切线的方程为．‎ ‎（）设点坐标为，试写出与 的关系表达式（写出详细推理与计算过程）．‎ 南宁三中2019~2020学年度上学期高二段考 理科数学试题参考答案 ‎1．D【解析】若，则没有实根”其否命题是：若，则有实根．‎ ‎2．B【解析】根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．‎ ‎3．C【解析】由特称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”．‎ ‎4．D【解析】∵两点A（3，2）和B（-1，4）到直线mx+y+3=0距离相等，∴ 解得m= 或m=-6．‎ ‎5．A【解析】由茎叶图可知，甲同学成绩的平均数为，方差为，乙同学成绩的平均数为，方差为，则，因此，，且甲比成绩稳乙定．‎ ‎6．A【解析】即寻找命题，使推不出P，逐项验证可选A。‎ ‎7．C【解析】取DD1中点F，则为所求角, ．‎ ‎8．B【解析】模拟程序的运行，可得，当时，，满足条件，执行循环体；当时，，满足条件，执行循环体；当时，，不满足条件，退出循环体，输出，所以，．‎ ‎9．A【解析】因为阳数：，阴数：‎ ‎，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：个，满足差的绝对值为5的有：共个，则．‎ ‎10．B【解析】解：如图所示，可知．‎ 则，所以．‎ ‎11．A【解析】设，，，，，因为，所以，整理得．‎ ‎12．C【解析】显然是的最小值，若有两个零点，设为，且，由得或，由题意只有两个零点，因此无解，有两个不等实根，即，所以，必要性得证，若，由于，因此有两个零点，设为，不妨设，由得或，显然无实根，有两个不等实根，即有两个零点，充分性得证，故题中应是充分必要条件．‎ ‎13．80【解析】由题意知，甲乙丙三所学校参加联考的人数分别为200、300、400，所以甲乙丙三所学校抽样比为，又由甲学校中抽取了40名学生的数学成绩，所以在丙学校应抽取人．‎ ‎14．（2，―3）【解析】：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y―1)m+(―x+3y+11)=0．由于m取值的任意性，有，解得．所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点（2，―3）．‎ ‎15．【解析】在区间上随机地取出两个数，则对应的区域为边长为2的正方形区域，其面积为；在正方形区域内 作出所表示的图像如下：阴影部分所表示区域，‎ 即为所表示区域；由得，因此阴影部分面积为，因为在区间上随机地取出两个数，满足的概率为，所以，解得．‎ ‎16．【解析】试题分析：由已知x2+y2=4得：，从而=，则直线与圆x2+y2=4有交点，所以有，。‎ ‎17．解：（1）由数据求得 由公式得所以y关于x的线性回归方程是．‎ ‎………………6分 ‎ （2）当时，，‎ 同样地，当时，，‎ 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． ………………10分 ‎18．解：（1）因为，，所以，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以 ‎ ………………6分 ‎（2）由正弦定理得，即，所以， ①‎ 又，所以， ②‎ 由①②得，又由，得，所以．‎ ‎………………12分 ‎19．解：（1）设“a能获一等奖”为事件A，事件A等价于事件“从6人中随机抽取两人，能抽到a”，‎ 从6人中随机抽取两人的基本事件有：‎ 共15个，‎ 其中含有a的有共5个，‎ 所以，即a能获一等奖的概率为． ………………6分 ‎ （2）设“若a,b已获一等奖，c能获奖”为事件B，a,b已获一等奖，余下的4人中，获奖的基本事件有：‎ ‎，共16个，‎ 其中含有c的有共7种，‎ 所以，即若a,b已获一等奖，c能获奖的概率为．‎ ‎………………12分 ‎20．解：∵正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD为交线，‎ ‎∴ED⊥平面ABCD，由已知得DA，DE，DC两两垂直，‎ 如图建系D-xyz，‎ 可得D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，‎ C(0，2，0)，E(0，0，1)，F(1，0，1)．‎ 由M为C的中点，知，故．‎ 易知平面ADEF的法向量为，，‎ ‎∵BM平面ADEF，∴BM//平面ADEF． ………………5分 ‎(2)设，设，计算可得，‎ 则，‎ 设平面BDM的法向量为，‎ 由得，‎ 易知平面ABF的法向量为，‎ 由已知得 ，解得，‎ 此时，，则，即AM的长为．‎ ‎………………12分 ‎21．解：（Ⅰ）∵，∴，∴，即，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 又，也成立，‎ ‎∴是以1为首项，3为公比的等比数列，∴． ………………5分 ‎（Ⅱ），∴对恒成立，‎ 即对恒成立，令，，‎ 当时，，当时，，‎ ‎∴，故，即的取值范围为．………………12分 ‎22．解：（）∵圆心切点，圆心与切点所成直线斜率，‎ ‎∴切线斜率，又∵切线过，∴切线方程为，‎ 整理得，即切线方程为．………………4分 ‎（）∵过点的切线为，‎ 当时，，当时，，，‎ ‎∴，‎ ‎，，‎ 联立与，∴,，‎ 所以，又∵，∴． ………………12分