高考数学复习资料十三章 导数
第十三章 导数
1．f(x)=ax2+bx+c 的图象开口向上，且顶点在第二象限，则 y=f′（x）的图象大概是：（ ）
1．解答：由开口向上得：a＞0，由顶点在第二象限得：b＞0
选 C
评析：本题考察考生对导数及一次、二次函数图象的应用。
2．已知 f＇（ 0）=2，则 lim
0h h
h）f（h）3f（ =（ ）
A．4 B．－8 C．0 D．8
2．解答：
h
]）0f（h）0f（[]）0f（h）30f（[
h
h）f（h）3f（ lim
0h
lim
0h
=
h3
]）0f（h）30f（[3lim
0h
+
h
）0f（h）0f（lim
0h
=3f′（0）+f′（0）
=8 选 D
评析：本题考察极限及其运算律，要求考生有良好的变形能力。
3、曲线 xxy 22
1 2 在点(1 ，
2
3 )处切线的倾斜角为( )
A. 1 B. 45 C. 45 D. 135
3、D 2' xy ， 1|' 1 xy ，即切线倾斜角 135
4. nxxxxxf )1()1()1()1(1)( 32 ，则 )0('f 等于( )
A. n B. 1n C. !n D.
2
1 n（n＋1）
4.D 令 2
210
32 )1()1()1()1(1)( xaxaaxxxxxf n
n
n xa ， 12
321 32)(' n
n xnaxaxaaxf ， 1)0(' af ，又 a1=1＋2
＋3＋…＋n=
2
1 n（n＋1）
5．若对任意的 x∈R， 3f (x)=4x¢ ,f(1)=-1,则 f(x)是 （ ）
A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x4-2 C．f(x)＝4x3-5 D．f(x)＝x4+2
5、B
【思路分析】：∵ ，∴f(x)＝x4+c，又 f(1)=-1，∴1＋c＝-1，∴c=-2
【命题分析】：考察导数的概念，导数的逆用
A
x
y
0
y y y
x x x
B C D
0 0 0
6、（理）曲线 )50)...(2)(1( xxxxy 在原点外的切线，方程为 （ ）
A、 xy 1275 B、 xy 250 C、 xy 100 D、 xy !50
6 、（理）（ 分 析 ： 本 题 考 查 导 数 的 运 算 ， xxy )50)...(2()1(...51
50...51 50' xy
∴ !500
1 xxy ∴在原点外的切线方程为 xy !50 ，故选 D 项）
7、（文）曲线 23 xxy ，在 ),( 00 yxM )0( x 外切线斜率为 8，则此切线方程是 （ ）
A、 0208 yx B、 0128 yx
C、 0248 yx D、 0128 yx
7、（文）（分析：本题考查导数的基本概念， xxy 23 21 ∴曲线 23 xxy 在
)0( 0 x 处 切 线 斜 率 为 8 ∴ 0
2
0 238 xx ∴ 0823 0
2
0 xx ∴
舍）(3
4
0 x 或 20 x ∵M 在曲线上 ∴ 40 y
∴切线方程为 )2(84 xy 即 0128 yx 故选（D）
8．已知函数 )(xfy ，其导函数 )(xfy 的图象如右图，则
)(xfy ：
A．在(- ，0)上为减函数
B．在 x=0 处取得最大值
C．在（4，+ ）上为减函数
D．在 x=2 处取得最小值
8．C [思路分析]：由导函数的性质知， )(,0)( xfxf 递增， )(,0)( xfxf 递减。从
图像上知，当 x>4 时， 0)( xf ，∴ )(xf 在（4，+ ）上递减。
[命题分析]：考查导数的性质，函数的极值与最值，及观察图像的能力
9．设f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f’ (x).>g’ (x)，则当a
g(x) B、f(x) g(x)+ f(a) D、f(x)+g(b)> g(x)+ f(b)
9C
10．设函数 f(x)在定义域内可导，
y=f(x)的图象如图 1 所示，
则导函数 y=f (x)的图象可能为（ ）
x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
y
O
D
x
x
y
O
图 1
10D
11．（理）函数 xxxf ln2)( 2 的单调减区间是（ ）
A． ]1,0( B． ),1[ C． ]1,( 及 ]1,0( D． ]1,0()0,1[ 及
11．理 A【思路分析】：首先考虑定义域 0)1(222)(),,0(
2
x
x
xxxf由 及 0x 知
10 x ，故选 A.
【命题分析】：考查利用导数求函数的单调区间，注意考虑定义域.
12．（文）函数 13
1)( 23 xaxaxxf 有极值的充要条件是（ ）
A． 01 aa 或 B． 01 aa 或 C． 01 aa 或 D． 10 a
12 文 B【思路分析】： 012)( 2 axaxxf 有两个不等实根.
,044
0
2
aa
a 即 1a 或 0a ，故选 B.
【命题分析】：考查函数有极值的条件，等价转换的思想.
13．当 k Î 时， 32()f x x kx=+ 在 ]2,0[ 上是减函数．
13、( , 3]-?
【思路分析】： ' 2 2( ) 3 (3 2 )f x x kx x x k= + = + ，由题意知 2(0, )3
k- 是函数的单调减区间，
因此 2 2, 33
k k- 常 -即 .
【命题分析】：考察利用导数来判断函数的单调性
14．f（x）= 1+3sin x + 4cos x 取得最大值时 tan x =
14．解答：f′（X）=3cosx－4sinx=0 tanx=
4
3
f(X)在 tanx=
4
3 时取得最大值与最小值
即填
评析：本题考察导数应用与三角函数值问题
15 ． 设 )(),( xgxf 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 ， 当 0x 时，
,0)()()()( xgxfxgxf 且 0)2
1( g 则 不 等 式 0)()( xgxf 的 解 集 是
___________________
15． )2
1,0()2
1,(
16．过点 A（2，－1）作曲线 y=x3+x2－2x 的切线，求切线的方程。
16．解析：设切线的切点为 P（t，t3+t2－2t）则：
f′（t）=3t2+2t－2
KAP=
2t
1t2tt 23
解 KAP =f′（t）得：t1=－1，t2=
2
1 ，t3=3
f′（－1）=-1, f′（
2
1 ）=－
4
1 , f′（3）=31
过切点（－1，2）的切线方程为 x+y－1=0
过切点（ ，－
8
5 ）的切线方程为 x+4y+2=0
过切点（3，31）的切线方程为 31x－y－63=0
即所求切线方程为 x+y=0 或 x+4y+2=0 或 31x－y－63=0
评析：考察考生对导数的应用能力，区分点不一定是切点的关系，并考察考生对简单三次方
程求解，试根法。
17．(本题满分 12 分)已知 ( ) 32f x ax bx cx d= + + + 是定义在 R 上的函数，其图象交 x
轴于 A，B，C 三点，若点 B 的坐标为（2，0），且 xf 在 ]0,1[ 和[4，5]上有相同的单
调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
（1）求 c 的值；
（2）在函数 xf 的图象上是否存在一点 M（x0，y0），使得 在点 M 的切线斜率为 3b？
若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）求 AC 的取值范围．
17、【思路分析】：⑴ ∵ 在 0,1 和 2,0 上有相反单调性，
∴ x=0 是 的一个极值点，故 0' xf ，
即 023 2 cbxax 有一个解为 x=0，∴c=0……………………………3’
⑵ ∵ 交 x 轴于点 B（2，0）
∴ abddba 24,048 即
令 ，则
a
bxxbxax 3
2,0,023 21
2
∵ 在 和 5,4 上有相反的单调性
∴ 43
22 a
b ， ∴ 36 a
b ……………………………………5’
假设存在点 M（x0，y0），使得 在点 M 的切线斜率为 3b，则 bxf 30
'
即 0323 0
2
0 bbxax
∵ △=
943643342 22
a
bababbbab
又 ， ∴△＜0
∴不存在点 M（x0，y0），使得 在点 M 的切线斜率为 3b．…………………7’
⑶ 依题意可令
22222 23 xxxaxxxaxf
a
d
a
b
ad
ab
2
2
2
2
则
162224
22
2
a
b
a
d
a
bAC
∵ 36 a
b ，∴当 6a
b 时， 34max AC ；
当 3a
b 时， 3min AC
故 343 AC ……………………………………12’
18、（本题满分 14 分）函数 13)( 23 xaxxaxf 在 21 xxxx 及 外有极值，且
51
2
1 x
x
（1）求 a 的 取 值 范 围 ；（2）当 a 取 最 大 值 时 ， 存 在 Rt ，使 )1(,1 mmx 时
5
4
5
56)( xxtf 恒成立，试求 m 的最大值。
18、解：（1）由题得知 12)( 2 aaxxf 二根为 21, xx ，且
axxxx 1,2 2121
∵ 51
1
2 x
x ∴ 同号，又 0221 xx ∴ 同 为 正 数 ， 由
得 121 5xxx 又∵ 12 2 xx ∴ 111 52 xxx 整理得 13
1
1 x
∵ 21
1 xxa ∴ 1)1()2()2(1 2
11
2
111 xxxxxa
由 )1,3
1(1 x
得 11
9
5 a ∴
5
91 a
（2）当
5
9a 时， 15
18
5
9)( 2 xxxf ∴ 1)(5
18)(5
9)( 2 xtxtxtf
∵
5
4
5
36)( xxtf 即
5
4
5
361)(5
18)(5
9 2 xxtxt
整理得 012)1(2 22 ttxtx 该式在 mx ,1 上恒成立
把 mxx ,1 代入上式得
0)1()1(2
0)1()1(21
22
22
tmtm
tt
∴ 40 t
∴ ttmtt 2121 当 4t 时 m 有最大值 9
（本题主要利用导数的运用作为载体，考查二次函数的知识以及不等式知识的综合运用，
是一道立意在知识网络交叉点处的综合性较强的试题。）
19．已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 满足以下 3 个条件： （12′）
{
①在 ( ，0]上为增函数 ②在[0，2]上为减函数 ③f(2)=0
1）求 c 的值； 2）求 f(1)的范围。
19．[思路分析]：①由条件①②知，x=0 为 y=f(x)的极值点……………2′
又 cbxxxf 23)( 2
∴ 0)0( cf ………………………………………………………4′
②由于 c=0 则 f(x)=x3+bx2+d
从而 f(1)=1+b+d
又知：f(2)=8+4b+d=0d=-8-4b……………………………………6′
则 f(1)=-3b-7
由②知， 304120)2( bbf …………………………10′
∴f(1)≥(-3)×(-3)-7=2
故 f(1)≥2……………………………………………………………12′
[命题分析]：本题考查导数、极值，不等式知识，以及思维能力。
20．（本小题满分 12 分）
已知 dcxbxaxxf 23)( 是定义在 R 上的函数，其图象与 x 轴交于 CBA ,, 三点，
若 B 点的坐标为 ),0,2( 且 )(xf 在 ]0,1[ 和 ]5,4[ 上有相同的单调性，在 ]2,0[ 和 ]5,4[ 上有
相反的单调性。
（1） 求 c 的值；
（2） 在函数 的图象上是否存在一点 ),( 00 yxM ，使得 在点 M 的切线斜率
为 b3 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由。
（3） 求 || AC 的取值范围。
20．解：（1） 在 和 上有相反的单调性，
023 2/ cbxaxxf 有一个解 0x
0c 3 分
（2）令 023 2/ bxaxxf 得
a
bxx 3
2,0 21
在 和 上有相反的单调性，
43
2
23
2
a
b
a
b
36 a
b 5 分
假设存在一点 ，使得 在点 的切线斜率为 ，即 bxf 3)( 0
/
0323 0
2
0 bbxax
)9(4364 2 a
bababb
而 36 a
b ， 0
故不存在一点 ),( 00 yxM ，使得 )(xf 在点 M 的切线斜率为 b3 8 分
（3）(理科做) )0,2(B 为 图象上的点
048 dba 即 )2(4 bab
令 ))(2)(()( xxxaxf
]2)22()2([ 23 xxxa
则
ad
ab
2
)2(
a
d
a
b
2
2
11 分
4)(|||| 2 AC
16)2(2)2( 22 a
b
a
d
a
b
34||3 AC 14 分
21．（ 12分） ).c(b, )1(2
1
3
1)( 23 为常数已知函数 cxxbxxf
(1)若f(x)在x=1和x=3处取得极值,试求b,c的值;
(2)若f(x)在x∈(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增且x∈(x1,x2)上单调递减,又满足:x2-x1>1,求
证:b2>2(b+2c);
(3)在(2)的条件下,若t1, ∴ (x1-x2)2-1>0, ∴
b2>2(b+2c); …………8分
(3)由上题知: x2+(b-1)x+c=(x-x1)(x-x2),即:x2+bx+c=(x-x1)(x-x2)+x.
所以, t2+bt+c-x1=(t-x1)(t-x2)+t-x1=(t-x1)(t+1-x2).∵x2>1+x1>1+t,t+1-x2<0.又00, ∴
t2+bt+c>x1. …………12分
22、（文）已知函数 axbxaxxf 23
3
1)( 在 2x 时取得极值.
（1）求 ba, 满足的关系式；
（2）求函数 )(xf 的单调递增区间.
22．文【思路分析】：
（1）当 0a 时， )(xf 在 2x 处不能取得极值，∵ 0a . （2 分）
当 0a 时， abxaxxf 2)( 2 ，∴ )( xf 在 2x 处取得极值，且 )(xf 在 Rx 上
均可导，故 0)2( f ，即： 043 ba . （5 分）
∴ ba, 应满足： 0a 且 043 ba . （6 分）
（2）由 043 ba 得 ab 4
3 ，∴ aaaxxf
2
3)( 2 .
)233(2
2 xxa （7 分）
当 0a 时， （14 分）
【命题分析】：考查抽象函数单调性的判定，求数列的通项，及恒成立问题，着重考查
考生的应用意识和转化能力.
23．[文]已知函数 f (x) = 1
3 ax3 - 1
2 ax2 + x + 1，其中 a∈R.
（Ⅰ）是否存在实数 a，使得 f (x)在 x = 处取极值？证明你的结论；
（Ⅱ）若 f (x)在[-1, 2
1 ]上是增函数，求实数 a 的取值范围.
23．[文]、【 思路分析】
（Ⅰ）f ′(x) = ax2 – ax + 1
假设存在实数 a，使 f (x)在 x = 2
1 处取极值，则
f ′( ) = –
4
a + 1 = 0， ∴a = 4 ……………………………………………… 3 分
此时，f ′(x) = 2(2 1)x
当 x < 时，f ′(x) > 0；当 0.
∴x = 不是 f (x)的极值点，
故不存在实数 a，使 f (x)在 x = 处极值 ……………………………… 6 分
（Ⅱ）依题意知：当 x∈[-1, ]时，f ′(x) = ax2 – ax + 1≥0 恒成立，
（1）当 a = 0 时，f ′(x) = 1>0 成立；
（2）当 a>0 时，f ′(x) = a (x 2
1 )2 + 1 4
a 在 ] 2
1 , 1[ 上递减，则
g (x)min = g ( 2
1 ) = 1 ≥0 ∴0a≥
综上， ≤a≤4 为所求 …………………………………… 12 分
24、（ 13 分）[理]设整数 k 0, 1. 过点 P（1，0）作曲线 C： ( 0)ky x x的切线，切点
为 Q1，设点 Q1 在 x 轴上的射影是点 P1；又过点 P1 作曲线 C 的切线，切点为 Q2，设点
Q2 在 x 轴上的射影是点 P2，…，这样一直作下去，可得到一系列点 Q1，Q2，…. 设点
Qn（n=1，2，…）的横坐标构成数列{}na .
（Ⅰ）证明 是等比数列；
（Ⅱ）设 2
( 1)1 1 2( 1)n
n n nb kk
，当 3n 时，试比较 na 与 nb 的大小.
24[理]、【思路分析】
(Ⅰ) ∵y′= kxk – 1 , ∴ y′| x = an = kan
k – 1
∴以 Qn (an , an
k ) 为切点的切线方程为 y – an
k = kan
k – 1 (x – an )
当 n = 1 时，切线过点 P (1 , 0)，∴0 – a1
k = ka1
k – 1 (1 – a1) a1 = 1k
k
当 n≥2 时，切线过点 P n – 1 (an – 1 , 0)，∴0 – an
k = kan
k – 1 (an – 1 – an) an = 1k
k
an – 1
∵整数 k≠0 , 1 ∴a1 = 1k
k
≠0
∴{an}是等比数列. …………………………………………………………… 5 分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，an = ( 1k
k
)n = (1+ 1k
1
)n
令 t = 1k
1
, 则 an = (1 + t)n , bn = 22
n
1
n
0
n tCtCC
（1）若 k≥2 (k∈Z), 则 t >0
∵n≥3，∴an = n
22
n
1
n
0
n
nn
n
22
n
1
n
0
n btCtCCtCtCtCC ………… 7 分
（2）若 k≤-1(k∈Z)，则-1< <0 , -1bn ；若整数 k≤-1，则 an < bn . ……13 分
【命题分析】本题以坐标为依托，考查曲线的切线，等比数列，二项式定理以及不等式的证
明等知识方法，考查考生通过特殊猜想、归纳论证等发现问题与探究问题的能力，着重突出
对考生的理性思维和综合能力的考查.
25、（12 分）[理]已知函数 f (x) = ax2 + 2ln(1-x)，其中 a∈R.
（Ⅰ）是否存在实数 a，使得 f (x)在 x = 1
2
处取极值？证明你的结论；
（Ⅱ）若 f (x)在[-1, 2
1 ]上是减函数，求实数 a 的取值范围.
25[理]、【思路分析】
（Ⅰ）f (x)定义域为{x | x<1}，f ′(x) = 2ax – x1
2
假设存在实数 a，使 f (x)在 x = 2
1 处取极值，则
f ′( ) = a – 4 = 0， ∴a = 4 …………………………………………………… 3 分
此时，f ′(x) = 8x – = x1
)1x2( 2 2
当 x < 时，f ′(x) < 0；当 0 成立；
（2）当 a>0 时，g (x)在 上递减，则
g (x)min = g ( ) = 1 ≥0 ∴0a≥
综上， ≤a≤4 为所求 ……………………………………………… 12 分
【命题分析】本题主要考查运用导数研究函数性质的方法，分类讨论的数学思想和分析推理
能力.
26．（ 12 分）（理）设函数 1323
1)( 23 axaxxxf ，其中 10 a .
（1）求函数 )(xf 的极值；
（2）若当 ]2,1[ aax 时，恒有 () f x a ，试确定实数 a 的取值范围.
26．理：【思路分析】：
（1） 0)3)((34)( 22 axaxaaxxxf ，得 ax 1 ， ax 32 . （2 分）
∵ 0a ，∴3aa . 列表如下：
x ),( a a )3,( aa a3 ),3( a
)(xf — 0 + 0 —
)(xf 极小值 极大值
∴ )(xf 极小值= 13
4)( 3 aaf ； )(xf 极大值= 1)3( af （6 分）
（2） 2222 )2(34)( aaxaaxxxf ，∵ 10 a ，∵ 12 aa .
即 )(xf 在 ]2,1[ aa 上单调递减，即当 ]2,1[ aax 时. )2()()1( afxfaf
从而： 44)(12 axfa . （9 分）
axf )( 恒成立，故 15
4
10
12
44
a
a
aa
aa
. （12 分）
【命题分析】：考查求导公式，求极值，解绝对值不等式，恒成立问题，高次函数单调
性，要求考生会合理转化.