【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版5-2平面向量基本定理及坐标表示学案

【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版5-2平面向量基本定理及坐标表示学案

§5.2　平面向量基本定理及坐标表示 最新考纲 考情考向分析 1.了解平面向量基本定理及其意义． 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标 表示． 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法 与数乘运算． 4.理解用坐标表示的平面向量共线的 条件. 主要考查平面向量基本定理、向量加法、 减法、数乘向量的坐标运算及向量共线的 坐标表示，考查向量线性运算的综合应用， 考查学生的运算推理能力、数形结合能力， 常与三角函数综合交汇考查，突出向量的 工具性．一般以选择题、填空题的形式考 查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的 解答题，属于中档题. 1．平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有 一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ x21＋y21. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB → ＝(x2－x1，y2－y1)，|AB → |＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2. 3．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.a，b 共线⇔x1y2－x2y1＝0. 概念方法微思考 1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？ 提示　不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直 线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样． 2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？ 提示　不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能 作为一组基底表示平面内的任一向量． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(　×　) (2)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　) (3)在等边三角形 ABC 中，向量AB → 与BC → 的夹角为 60°.(　×　) (4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可表示成x1 x2＝y1 y2.(　×　) (5) 平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　√　) (6) 当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　√　) 题组二　教材改编 2．已知▱ABCD 的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点 D 的坐标为________． 答案　(1,5) 解析　设 D(x，y)，则由AB → ＝DC → ，得(4,1)＝(5－x,6－y)， 即Error!解得Error! 3．已知向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋nb 与 a－2b 共线，则m n＝________. 答案　－1 2 解析　由向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)， 得 ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)． 由 ma＋nb 与 a－2b 共线， 得2m－n 4 ＝3m＋2n －1 ，所以m n＝－1 2. 题组三　易错自纠 4．设 e1，e2 是平面内一组基底，若 λ1e1＋λ2e2＝0，则 λ1＋λ2＝________. 答案　0 5．已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC → ＝(－4，－3)，则向量BC → ＝________. 答案　(－7，－4) 解析　根据题意得AB → ＝(3,1)， ∴BC → ＝AC → －AB → ＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 6．已知向量 a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且 a∥b，则 m＝________. 答案　－6 解析　因为 a∥b， 所以(－2)×m－4×3＝0，解得 m＝－6. 题型一　平面向量基本定理的应用 例 1 如图，已知△OCB 中，A 是 CB 的中点，D 是将OB → 分成 2∶1 的一个内分点，DC 和 OA 交于点 E，设OA → ＝a，OB → ＝b. (1)用 a 和 b 表示向量OC → ，DC → ； (2)若OE → ＝λOA → ，求实数 λ 的值． 解　(1)由题意知，A 是 BC 的中点， 且OD → ＝2 3OB → ，由平行四边形法则， 得OB → ＋OC → ＝2OA → ， 所以OC → ＝2OA → －OB → ＝2a－b， DC → ＝OC → －OD → ＝(2a－b)－2 3b＝2a－5 3b. (2)由题意知，EC → ∥DC → ，故设EC → ＝xDC → . 因为EC → ＝OC → －OE → ＝(2a－b)－λa ＝(2－λ)a－b，DC → ＝2a－5 3b. 所以(2－λ)a－b＝x(2a－5 3b). 因为 a 与 b 不共线，由平面向量基本定理， 得Error!解得Error! 故 λ＝4 5. 思维升华 应用平面向量基本定理的注意事项 (1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组 基底表示出来． (2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如 平行、相似等． (3)强化平行向量基本定理的应用． 跟踪训练 1 在△ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且CP → ＝2 3CA → ＋1 3CB → ，Q 是 BC 的中点，AQ 与 CP 的交点为 M，又CM → ＝tCP → ，则 t 的值为________． 答案　3 4 解析　∵CP → ＝2 3CA → ＋1 3CB → ， ∴3CP → ＝2CA → ＋CB → ， 即 2CP → －2CA → ＝CB → －CP → ， ∴2AP → ＝PB → ， 即 P 为 AB 的一个三等分点，如图所示． ∵A，M，Q 三点共线， ∴CM → ＝xCQ → ＋(1－x)CA → ＝x 2CB → ＋(x－1)AC → ， 而CB → ＝AB → －AC → ，∴CM → ＝x 2AB → ＋(x 2－1 )AC → . 又CP → ＝CA → －PA → ＝－AC → ＋1 3AB → ， 由已知CM → ＝tCP → ， 可得x 2AB → ＋(x 2－1 )AC → ＝t(－AC → ＋1 3AB → )， 又AB → ，AC → 不共线，∴Error!解得 t＝3 4. 题型二　平面向量的坐标运算 例 2 (1)已知点 M(5，－6)和向量 a＝(1，－2)，若MN → ＝－3a，则点 N 的坐标为(　　) A．(2,0) B．(－3,6) C．(6,2) D．(－2,0) 答案　A 解析　设 N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3,6)， ∴x＝2，y＝0. (2)已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设 AB → ＝a，BC → ＝b，CA → ＝c，a＝mb＋nc(m， n∈R)，则 m＋n＝________. 答案　－2 解析　由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． ∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴Error!解得Error! ∴m＋n＝－2. 思维升华 平面向量坐标运算的技巧 (1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先 求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求 解． 跟踪训练 2 线段 AB 的端点为 A(x,5)，B(－2，y)，直线 AB 上的点 C(1,1)，使|AC → |＝2|BC → |， 则 x＋y＝________. 答案　－2 或 6 解析　由已知得AC → ＝(1－x，－4)，2BC → ＝2(3,1－y)． 由|AC → |＝2|BC → |，可得AC → ＝±2BC → ， 则当AC → ＝2 BC → 时，有Error! 解得Error!此时 x＋y＝－2； 当AC → ＝－2 BC → 时，有Error! 解得Error!此时 x＋y＝6. 综上可知，x＋y＝－2 或 6. 题型三　向量共线的坐标表示 命题点 1　利用向量共线求向量或点的坐标 例 3 已知 O 为坐标原点，点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 ________． 答案　(3,3) 解析　方法一　由 O，P，B 三点共线， 可设OP → ＝λOB → ＝(4λ，4λ)， 则AP → ＝OP → －OA → ＝(4λ－4,4λ)． 又AC → ＝OC → －OA → ＝(－2,6)， 由AP → 与AC → 共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得 λ＝3 4，所以OP → ＝3 4OB → ＝(3,3)， 所以点 P 的坐标为(3,3)． 方法二　设点 P(x，y)，则OP → ＝(x，y)， 因为OB → ＝(4,4)，且OP → 与OB → 共线，所以x 4＝y 4， 即 x＝y. 又AP → ＝(x－4，y)，AC → ＝(－2,6)，且AP → 与AC → 共线， 所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得 x＝y＝3， 所以点 P 的坐标为(3,3)． 命题点 2　利用向量共线求参数 例 4 (2018·乌海模拟)已知平面向量 a＝(2，－1)，b＝(1,1)，c＝(－5,1)，若(a＋kb)∥c，则实 数 k 的值为(　　) A．－11 4 B.1 2 C．2 D.11 4 答案　B 解析　因为 a＝(2，－1)，b＝(1,1)， 所以 a＋kb＝(2＋k，－1＋k)， 又 c＝(－5,1)， 由(a＋kb)∥c 得(2＋k)×1＝－5×(k－1)，解得 k＝1 2，故选 B. 思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件是 x1y2＝x2y1”． (2)在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 λa(λ∈R)． 跟踪训练 3 (1)已知 a＝(2，m)，b＝(1，－2)，若 a∥(a＋2b)，则 m 的值是(　　) A．－4 B．1 C．0 D．－2 答案　A 解析　a＋2b＝(4，m－4)，由 a∥(a＋2b)， 得 2(m－4)＝4m，m＝－4，故选 A. (2)已知向量OA → ＝(k,12)，OB → ＝(4,5)，OC → ＝(－k,10)，且 A，B，C 三点共线，则实数 k 的值 是________． 答案　－2 3 解析　AB → ＝OB → －OA → ＝(4－k，－7)， AC → ＝OC → －OA → ＝(－2k，－2)． ∵A，B，C 三点共线，∴AB → ，AC → 共线， ∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得 k＝－2 3. 1．已知 M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP → ＝1 2MN → ，则 P 点的坐标为(　　) A．(－8,1) B.(－1，－3 2) C.(1，3 2 ) D．(8，－1) 答案　B 解析　设 P(x，y)，则MP → ＝(x－3，y＋2)． 而1 2MN → ＝1 2(－8,1)＝(－4，1 2)， ∴Error!解得Error! ∴P(－1，－3 2).故选 B. 2．若向量AB → ＝DC → ＝(2,0)，AD → ＝(1,1)，则AC → ＋BC → 等于(　　) A．(3,1) B．(4,2) C．(5,3) D．(4,3) 答案　B 解析　AC → ＝AD → ＋DC → ＝(3,1)， 又BD → ＝AD → －AB → ＝(－1,1)， 则BC → ＝BD → ＋DC → ＝(1,1)， 所以AC → ＋BC → ＝(4,2)．故选 B. 3．(2018·赤峰质检)已知向量 a＝(1,2)，b＝(－2，t)，且 a∥b，则|a＋b|等于(　　) A. 2 B. 5 C. 10 D．5 答案　B 解析　根据题意可得 1×t＝2×(－2)，可得 t＝－4， 所以 a＋b＝(－1，－2)， 从而可求得|a＋b|＝ 1＋4＝ 5，故选 B. 4．已知平面直角坐标系内的两个向量 a＝(1,2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任一向量 c 都 可以唯一的表示成 c＝λa＋μb(λ，μ 为实数)，则实数 m 的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) 答案　D 解析　由题意知向量 a，b 不共线， 故 2m≠3m－2，即 m≠2. 5．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC ＝π 4，且|OC|＝2，若OC → ＝λOA → ＋μOB → ，则 λ＋μ 等于(　　) A．2 2 B. 2 C．2 D．4 2 答案　A 解析　因为|OC|＝2，∠AOC＝π 4， 所以 C( 2， 2)， 又OC → ＝λOA → ＋μOB → ， 所以( 2， 2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)， 所以 λ＝μ＝ 2，λ＋μ＝2 2. 6．向量 a，b 满足 a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则 b＝________. 答案　(－3,4) 解析　由 a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)， 得 2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)， ∴b＝1 2(－6,8)＝(－3,4)． 7．若三点 A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数 a 的值为________． 答案　－5 4 解析　AB → ＝(a－1,3)，AC → ＝(－3,4)， 根据题意知AB → ∥AC → ， ∴4(a－1)＝3×(－3)，即 4a＝－5，∴a＝－5 4. 8．设向量 a，b 满足|a|＝2 5，b＝(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为________． 答案　(－4，－2) 解析　∵b＝(2,1)，且 a 与 b 的方向相反， ∴设 a＝(2λ，λ)(λ<0)． ∵|a|＝2 5， ∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2. ∴a＝(－4，－2)． 9．(2018·全国Ⅲ)已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若 c∥(2a＋b)，则 λ＝ ________. 答案　1 2 解析　由题意得 2a＋b＝(4,2)， 因为 c∥(2a＋b)，所以 4λ＝2，得 λ＝1 2. 10．已知向量OA → ＝(1，－3)，OB → ＝(2，－1)，OC → ＝(k＋1，k－2)，若 A，B，C 三点能构成 三角形，则实数 k 应满足的条件是________． 答案　 k≠1 解析　若点 A，B，C 能构成三角形， 则向量AB → ，AC → 不共线． ∵AB → ＝OB → －OA → ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC → ＝OC → －OA → ＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)， ∴1×(k＋1)－2k≠0，解得 k≠1. 11．已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)， (1)当 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线； (2)若AB → ＝2a＋3b，BC → ＝a＋mb 且 A，B，C 三点共线，求 m 的值． 解　(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ∵ka－b 与 a＋2b 共线， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0， 即 2k－4＋5＝0，得 k＝－1 2. (2)方法一　AB → ＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC → ＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)， ∵A，B，C 三点共线，∴AB → ∥BC → ， ∴8m－3(2m＋1)＝0， 即 2m－3＝0， ∴m＝3 2. 方法二　∵A，B，C 三点共线， ∴AB → ＝λBC → ， 即 2a＋3b＝λ(a＋mb)， ∴Error!解得 m＝3 2. 12.如图，已知平面内有三个向量OA → ，OB → ，OC → ，其中OA → 与OB → 的夹角为 120°，OA → 与OC → 的夹角 为 30°，且|OA → |＝|OB → |＝1，|OC → |＝2 3.若OC → ＝λOA → ＋μOB → (λ，μ∈R)，求 λ＋μ 的值． 解　方法一　以 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A(1,0)，B(－1 2， 3 2 )， C(3， 3)． 由OC → ＝λOA → ＋μOB → ， 得Error!解得Error! 所以 λ＋μ＝6. 方法二　如图，作平行四边形 OB1CA1， 则OC → ＝OB1→ ＋OA1→ ， 因为OA → 与OB → 的夹角为 120°，OA → 与OC → 的夹角为 30°， 所以∠B1OC＝90°. 在 Rt△OB1C 中，∠OCB1＝30°，|OC → |＝2 3， 所以|OB1→ |＝2，|B1C → |＝4， 所以|OA1→ |＝|B1C → |＝4， 所以OC → ＝4OA → ＋2OB → ， 所以 λ＝4，μ＝2， 所以 λ＋μ＝6. 13.如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 CD 至 E，使得 DE＝CD，若点 P 为 CD 的中点， 且AP → ＝λAB → ＋μAE → ，则 λ＋μ 等于(　　) A．3 B.5 2 C．2 D．1 答案　B 解析　由题意，设正方形的边长为 1，建立平面直角坐标系如图， 则 B(1,0)，E(－1,1)， ∴AB → ＝(1,0)， AE → ＝(－1,1)， ∵AP → ＝λAB → ＋μAE → ＝(λ－μ，μ)， 又∵P 为 CD 的中点， ∴AP → ＝(1 2，1 )，∴Error! ∴λ＝3 2，μ＝1，∴λ＋μ＝5 2. 14．(2017·全国Ⅲ)在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切 的圆上．若AP → ＝λAB → ＋μAD → ，则 λ＋μ 的最大值为(　　) A．3 B．2 2 C. 5 D．2 答案　A 解析　建立如图所示的平面直角坐标系， 则 C 点坐标为(2,1)． 设 BD 与圆 C 切于点 E，连接 CE，则 CE⊥BD. ∵CD＝1，BC＝2， ∴BD＝ 12＋22＝ 5， EC＝BC·CD BD ＝ 2 5 ＝2 5 5 ，即圆 C 的半径为2 5 5 ， ∴P 点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4 5. 设 P(x0，y0)，则Error!(θ 为参数)， 而AP → ＝(x0，y0)，AB → ＝(0,1)，AD → ＝(2,0)． ∵AP → ＝λAB → ＋μAD → ＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝1 2x0＝1＋ 5 5 cos θ，λ＝y0＝1＋2 5 5 sin θ. 两式相加，得 λ＋μ＝1＋2 5 5 sin θ＋1＋ 5 5 cos θ ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中 sin φ＝ 5 5 ，cos φ＝2 5 5 )， 当且仅当 θ＝π 2＋2kπ－φ，k∈Z 时，λ＋μ 取得最大值 3. 故选 A. 15.在直角梯形 ABCD 中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝2，AB＝4，E，F 分别为 AB，BC 的中点，以 A 为圆心，AD 为半径的圆弧 DE 的中点为 P(如图所示)，若AP → ＝λED → ＋μAF → ，则 2λ－μ 的值是________． 答案　0 解析　建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A(0,0)，B(4,0)，C(2,2)， D(0,2)，E(2,0)，F(3,1)， 所以ED → ＝(－2,2)，AF → ＝(3,1)， 则AP → ＝ λED → ＋μAF → ＝(－2λ＋3μ，2λ＋μ)， 又因为以 A 为圆心，AD 为半径的圆弧 DE 的中点为 P， 所以点 P 的坐标为( 2， 2)，AP → ＝( 2， 2)， 所以－2λ＋3μ＝ 2，2λ＋μ＝ 2， 所以 λ＝ 2 4 ，μ＝ 2 2 ，所以 2λ－μ＝0. 16.如图，在同一个平面内，三个单位向量OA → ，OB → ，OC → 满足条件：OA → 与OC → 的夹角为 α，且 tan α＝7，OB → 与OC → 的夹角为 45°.若OC → ＝mOA → ＋nOB → (m，n ∈ R)，求 m＋n 的值． 解　建立如图所示的平面直角坐标系， 由 tan α＝7 知 α 为锐角，且 sin α＝7 2 10 ，cos α＝ 2 10 ， 故 cos(α＋45°)＝－3 5，sin(α＋45°)＝4 5. ∴点 B，C 的坐标分别为(－3 5，4 5)，( 2 10 ，7 2 10 )， ∴OB → ＝(－3 5，4 5)，OC → ＝( 2 10 ，7 2 10 ). 又OC → ＝mOA → ＋nOB → ， ∴( 2 10 ，7 2 10 )＝m(1,0)＋n(－3 5，4 5)， ∴Error!解得Error! ∴m＋n＝5 2 8 ＋7 2 8 ＝3 2 2 .