北京市房山区2020届高三模拟检测数学试题

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房山区2020年高考第二次模拟检测 高三数学 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1.已知全集，集合，那么集合（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，再计算补集得到答案.‎ ‎【详解】，，解得或，故，‎ 故.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查解不等式，补集的计算，属于简单题.‎ ‎2.在△中，若，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用正弦定理计算得到答案.‎ ‎【详解】根据正弦定理：，故，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.‎ ‎3.函数的最小正周期为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，利用周期公式得到答案.‎ ‎【详解】，故周期.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角公式，三角函数周期，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎4.若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意得到，再根据计算即可.‎ ‎【详解】由题知：双曲线的渐近线方程为，‎ 因为渐近线方程过点，‎ 所以过点，即.‎ ‎.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，根据题意找到的关系式为解题的关键，属于简单题.‎ ‎5.函数的零点个数为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得到.分别画出和的图象可知当时，函数和有一个交点.当时，利用导数研究函数的单调性和最值即可得到零点个数，再综合和的情况即可得到函数的零点个数.‎ ‎【详解】令，得：，‎ 分别画出和的图象，如图所示：‎ 当时，函数和有一个交点.‎ 当时，，‎ 令，，，.‎ 当，，为减函数，‎ 当，，为增函数.‎ 所以，‎ 所以在为增函数，‎ 又因为，所以，.‎ 故在无零点.‎ 综上：函数的零点个数为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点，同时考查了数形结合的思想，属于中档题.‎ ‎6.“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数运算依次判断充分性和必要性得到答案.‎ ‎【详解】若，则，则若，则，故是充分条件；‎ 若，取，则，故不是必要条件.‎ 故“”是“”的充分而不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.‎ ‎7.已知函数，则（ ）‎ A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是奇函数，且在上是减函数 C. 是偶函数，且在上是增函数 D. 是偶函数，且在上是减函数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性法则判断单调性，结合选项可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 是偶函数；‎ 当时，，‎ 设，则在上单增，‎ 又为增函数，所以在上单增，‎ 是偶函数，且在上是增函数.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， （和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， （ 为偶函数， 为奇函数）.‎ ‎8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图可得直观图四棱锥，结合图形，即可得到最长的侧棱为，根据勾股定理即可求出的长．‎ ‎【详解】根据三视图可得直观图四棱锥，如图：‎ ‎ ‎ 底面是一个直角梯形，，，,,且 底面，所以，‎ ‎，‎ ‎∴该四棱锥最长侧棱长为.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查三视图的问题，关键是画出直观图，结合图形即可得到答案，考查学生的直观想象和运算求解能力.‎ ‎9.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，经过分钟后物体的温度℃可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于的常数．现有℃的物体，放在℃的空气中冷却，分钟以后物体的温度是℃，则约等于（参考数据：）（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎℃的物体，放在℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是℃，则，从而，由此能求出的值．‎ ‎【详解】由题知，℃的物体，放在℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是℃，则，从而，‎ ‎，得.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查指数与对数的运算，考查了学生的阅读理解能力和运算求解能力.‎ ‎10.李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次．已知月日李明分别去了这四家超市配送，那么整个月他不用去配送的天数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意将剩余天数编号，转化条件得李明每逢编号为3、4、6、7的倍数时要去配送，利用分类加法即可得解.‎ ‎【详解】将月剩余的30天依次编号为1，2，330，‎ 因甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次，且月日李明分别去了这四家超市配送，‎ 所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，‎ 则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；‎ 李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天；‎ 李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；‎ 李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天；‎ 所以李明需要配送的天数为，‎ 所以整个月李明不用去配送的天数是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归思想与分类讨论思想，关键是对于题目条件的转化与合理分类，属于中档题.‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11.若（），则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合复数的乘法法则可得，由复数相等的条件即可得解.‎ ‎【详解】由题意，‎ 由可得，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件与运算求解能力，属于基础题.‎ ‎12.若直线与圆相切，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合圆的方程可得该圆圆心为，半径为，再利用圆心到直线的距离等于半径即可得解.‎ ‎【详解】由题意圆的方程可转化为，‎ 所以该圆圆心为，半径为，‎ 所以圆心到直线的距离，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了圆的方程的应用，考查了直线与圆的位置关系的应用以及运算求解能力，属于基础题.‎ ‎13.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标是________，△（为坐标原点）的面积为_________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出焦点坐标，根据抛物线定义即可求出点的横坐标，得到点坐标，继而可求△（为坐标原点）的面积.‎ ‎【详解】因为，所以焦点，‎ 设点，‎ 所以根据抛物线的定义由：，‎ 又，‎ 所以，解得：，‎ 即点的横坐标是. ‎ 因为，‎ 又，所以，，‎ 所以，‎ 故△（为坐标原点）的面积为.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线定义的应用，解题关键根据抛物线定义用抛物线上点的横坐标表示焦半径的长，属于基础题.‎ ‎14.已知正方形的边长为，若，则的值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立平面直角坐标系，求得点P的坐标，进而得到的坐标，再利用数量积的坐标运算求解.‎ ‎【详解】如图所示建立平面直角坐标系：‎ 则，‎ 设 ，‎ ‎，‎ 因为，‎ ‎，‎ 解得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎15.对任意两实数，，定义运算“”：给出下列三个结论：‎ ‎①存在实数，，使得成立；‎ ‎②函数的值域为；‎ ‎③不等式的解集是．‎ 其中正确结论的序号是_____________．‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，，‎ 对于①，由得，，由绝对值三角不等式即可判断；（另解：举例说明，取；）‎ 对于②，，再根据辅助角公式和三角函数的性质即可判断；‎ 对于③，由得，，解出即可判断．‎ ‎【详解】解：由得，，‎ 对于①，由得，，即，‎ 由绝对值三角不等式可得，，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 故①对；‎ ‎（另解：取，则，则成立；）‎ 对于②，，‎ 故②错；‎ 对于③，由得，，即，‎ ‎∴，解得，‎ 故③对；‎ 故答案为：①③．‎ ‎【点睛】本题主要考查新定义问题，解题的关键在于理解新运算的含义，属于中档题．‎ 三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎16.如图，在三棱柱中，是边长为正方形，平面平面，，，点为棱的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意，利用平面与平面垂直的性质可得平面，得到平面，得，由是正方形，得，再由直线与平面垂直的判定可得平面；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，又，故以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与 的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【详解】（Ⅰ）证：平面平面，平面平面，‎ 平面，且，‎ 平面，‎ 在三棱柱中，有，‎ 平面，得,‎ 是正方形，‎ ‎，而，‎ 平面；‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，平面，又，‎ 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，取，得，‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ 即直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．‎ ‎17.已知数列的前项和为，， ．是否存在正整数（），使得成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ 从①，②， ③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．‎ ‎【答案】若选①，不存在正整数（），使得成等比数列；‎ 若选②，存在，使得成等比数列；‎ 若选③，存在，使得成等比数列．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，若存在正整数（）满足题意，则；‎ 若选①，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，求得，，代入数据求解即可求出答案；‎ 若选②，则当时，，据此求得，，代入数据求解即可求出答案；‎ 若选③，则当时，，据此求得，代入数据求解即可求出答案．‎ ‎【详解】解：若选①，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ 若成等比数列，则，‎ 则，即，即，‎ 解得，均不符合题意，‎ 故不存在正整数（），使得成等比数列；‎ 若选②，则当时，，‎ 又符合上式，则，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ 若成等比数列，则，即，‎ 解得，或（舍去），‎ 故存在，使得成等比数列；‎ 若选③，则当时， ，‎ 又符合上式，则，，‎ ‎∴，，‎ 若成等比数列，则，‎ 则，即，‎ 解得，或（舍去），‎ 故存在，使得成等比数列．‎ ‎【点睛】本题主要考查根据数列的递推公式求通项公式，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎18.“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在时，时，时，时公布实时在园人数．下表记录了月日至日的实时在园人数：‎ 日 日 日 日 日 日 日 时在园人数 时在园人数 时在园人数 时在园人数 通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是万人．‎ ‎（Ⅰ）甲同学从月日至日中随机选天的下午时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；‎ ‎（Ⅱ）从月日至日中任选两天，记这两天中这个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为，求的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）根据月日至日每天时的在园人数，判断从哪天开始连续三天时的在园人数的方差最大？（只需写出结论）‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的分布列见解析，数学期望；（Ⅲ）从‎10月3日开始连续三天时的在园人数的方差最大．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意得，在园人数为万人以下为“舒适”，由此根据古典概型的概率计算公式求解即可；‎ ‎（Ⅱ）从月日至日中，这个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日，得的取值可能为0，1，2，且服从超几何分布，由此可求出答案；‎ ‎（Ⅲ）根据方差的定义观察波动幅度，由此可得出结论．‎ ‎【详解】解：∵以下称为“舒适”，该公园的最大承载量是万人，‎ ‎∴在园人数为万人以下为“舒适”，‎ ‎（Ⅰ）月日至日的下午时去该公园游览，“舒适”的天数为3天，‎ ‎∴甲同学遇上“舒适”的概率；‎ ‎（Ⅱ）从月日至日中，这个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日，‎ ‎∴的取值可能为0，1，2，且服从超几何分布，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∴的数学期望；‎ ‎（Ⅲ）从‎10月3日开始连续三天时的在园人数的方差最大．‎ ‎【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查古典概型的概率计算公式，考查方差的定义，属于基础题．‎ ‎19.已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为原点，点在椭圆上，点和点关于轴对称，直线与直线交于点，求证：，两点的横坐标之积等于，并求的取值范围．‎ ‎【答案】（I）；（II）证明见解析；的取值范围是.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据椭圆的顶点、离心率以及求得，从而求得椭圆的方程.‎ ‎（II）设出的坐标，求得直线和直线的方程，由此求得交点的坐标，进而证得两点的横坐标之积等于.求得的表达式，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】（I）由于椭圆焦点在轴上，所以， 所以椭圆的方程为.‎ ‎（II）设则、. 依题意可知 ‎，且.直线的方程为，直线的方程为.由解得，即.所以两点的横坐标之积为.由.由于，且，所以，.也即的取值范围是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据求椭圆方程，考查椭圆中的定值问题，考查椭圆中的范围问题，属于中档题.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（3）求证：当时，．‎ ‎【答案】（1）；（2）;（3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由分母不等于0解不等式可求得定义域；‎ ‎（2）根据导数的几何意义易求出切线方程；‎ ‎（3）先求导判断函数在上的单调性，再求出最小值，命题得证.‎ ‎【详解】解：（1）由得，，.所以函数的定义域为.‎ ‎（2）由得：，又，所以曲线在点处的切线方程为：.‎ ‎（3）由（2）得，.‎ 当时，与单调递增，‎ 所以在上单调递增.‎ 又，所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的定义域求法、导数的几何意义及函数的最值，是高考基本知识，属于中档题.‎ ‎21.已知集合的元素个数为 且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合，，，即，，，，其中，，，且满足，，，则称集合为“完美集合”．‎ ‎（Ⅰ）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）已知集合为“完美集合”，求正整数的值；‎ ‎（Ⅲ）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或 ．‎ ‎【答案】（Ⅰ）集合是“完美集合”，集合不是“完美集合”，理由见解析；（Ⅱ）7，9，11中中任一个；（Ⅲ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据“完美集合”的定义判断.‎ ‎（Ⅱ）根据“完美集合”的定义，写出集合A，B，C的所有情况，算出x的所有可能的值.‎ ‎（Ⅲ）根据集合中所有元素的和为，以及和 得到，利用为正整数求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）是“完美集合”，此时，，，，‎ 满足，.‎ 不“完美集合”，‎ 若为“完美集合”，将分成3个集合，每个集合中有两个元素，则，.‎ 中所有元素之和为21 ， 不符合要求. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，‎ 若，，根据 “完美集合”定义，‎ 则，.‎ 若，，根据 “完美集合”的定义，‎ 则，.‎ 若，，根据 “完美集合”的定义，‎ 则，.‎ 综上：正整数的值为，9，7，11中任一个.‎ ‎（Ⅲ）设集合中所有元素的和为，‎ 而，‎ 因为，‎ 所以，，‎ ‎，‎ 等号右边为正整数，‎ 则等式左边可以被4整除，‎ 所以或 ，‎ 即或 ．‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的新概念问题，集合的运算以及等差数列的求和公式，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.‎ ‎ ‎