高中数学讲义微专题41 指对数比较大小

高中数学讲义微专题41 指对数比较大小

微专题 41 指对数比较大小 在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进 行排序。这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方 法与技巧 一、一些技巧和方法 1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为 和 （1）如果底数和真数均在 中，或者均在 中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在 中，一个在 中，那么对数的值为负数 例如： 等 2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如 0,1）的大小关系，一作图，自明了 3、比较大小的两个理念： （1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的 单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某 一部分相同的情况 例如： ，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同 ，从而只需比较底数的大小即可 （2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分， 然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有 一 些 题 目 需 要 选 择 特 殊 的 常 数 对 所 比 较 的 数 的 值 进 行 估 计 ， 例 如 ， 可 知 ，进而可估计 是一个 1 点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式： （1） （2） （3） （4）换底公式： 进而有两个推论： （令 ）  0,1  1,  0,1  1,  0,1  1, 3 0.5 2log 0.5 0,log 0.3 0,log 3 0   1 1 1 3 4 23 ,4 ,5       1 1 11 1 1 4 3 63 4 212 12 123 3 ,4 4 ,5 5   2log 3 2 2 21 log 2 log 3 log 4 2    2log 3 nm m na a      log log loga a aM N MN  log log loga a a MM N N   log log 0, 1, 0n a aN n N a a N    loglog log c a c bb a 1log loga b b a c b log logm n aa nN Nm 二、典型例题： 例 1：设 ，则 的大小关系是______________ 思路：可先进行 分堆，可判断出 ，从而 肯定最大，只需比较 即可，观察到 有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换： ，从而可比较出 ，所以 答案： 例 2：设 ，则 的大小关系是___________ 思路：观察发现 均在 内， 的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系： ，在比较和 的大小，由于 是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计 值得 大小： ，可考虑以 为中间量，则 ，进而 ，所以大小顺序为 答案： 例 3：设 则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 思路：观察到 都是以 为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的比 较。 发现真数的底与指数也不相同，所以依 然考虑“求同存异”，让三个真数的指数一致： ，通过 比较底数的大小可得： 答案：C 小炼有话说：（1）本题的核心处理方式就是“求同存异”，将三个数变形为具备某相同的部 分，从而转换比较的对象，将“无法比较”转变为“可以比较” （2）本题在比较指数幂时，底数的次数较高，计算起来比较麻烦。所以也可以考虑将这三个 数 两 两 进 行 比 较 ， 从 而 减 少 底 数 的 指 数 便 于 计 算 。 例 如 可 以 先 比 较 ，从而 ，同理再比较 或 即可 例 4：设 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 思路：观察可发现： ，所以可得： 3 2 3log , log 3, log 2a b c   , ,a b c 0,1 1,0 b 1,0 c 1a      a ,b c ,b c 2 2 3 3 1 1log 3 log 3, log 2 log 22 2b c    3 2log 2 1 log 3  c b c b a  1 2 3log 2, ln 2, 5a b c     , ,a b c , ,a b c  0,1 ,a b a b c c , ,a b c 1 2 1 1 15 25 4 c      1 2 3 3 1log 2 log 3 2a    1 2a c  b a c  b a c  ln2 ln3 ln5, , ,2 3 5a b c   , ,a b c a b c  a c b  b a c  b c a  , ,a b c e 1 11 3 52ln2 ln3 ln5ln2 , ln3 , ln5 ,2 3 5a b c            1 11 1 1 1 15 10 63 52 30 30 302 2 ,3 3 ,5 5   b a c  , :a b     11 1 1 3 232 6 62 = 2 ,3 = 3 a b ,a c ,b c 6log3a 10log5b 14log7c abc  b c a  a c b  a b c       3 3 5 5 7 7log 3 2 1 log 2, log 5 2 1 log 2, log 7 2 1 log 2a b c            3 5 7log 2 log 2 log 2  a b c  答案：D 例 5：设 则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 思路：观察可发现 的底数相同， 的指数相同，进而考虑先进行这两轮的比较。对于 ， 两者底数在 ，则指数越大，指数幂越小，所以可得 ，再比较 ，两者指数相同， 所以底数越大，则指数幂越大，所以 ，综上： 答案：B 例 6：已知三个数 ，则它们之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 思路：可先进行 分组， ， ，所以只需比较 大小，两者都介于 之间且一个是对数，一个是三角函数，无法找到之间的联系。所以考虑寻找中间值作为桥梁。 以 作为入手点。利用特殊角的余弦值估计其大小。 ，而 ，从而 ，大小顺序为 答案：A 小炼有话说：在寻找中间量时可以以其中一个为入手点，由于非特殊角的三角函数值可用特 殊角三角函数值估计值的大小，所以本题优先选择 作为研究对象。 例 7：（2015 甘肃河西三校第一次联考）设 ，则（ ） A. B. C. D. 思路：首先进行 分组，可得 ，下面比较 的大小，可以考虑以 作为中间量， ，所以 ，从而 答案：D 例 8：设 且 ，则 的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 思 路 ： 由 可 得 ： ， 先 用 将 分 堆 ， ， ，则 为最大，只需要比较 即可，由于 的底数与真数不同，考虑进行适当变 形并寻找中间量。 ，而 ，因 为 ，所以 ，所以顺序为 2 3 2 5 5 53 2 2, , ,5 5 5a b c                  , ,a b c a b c  a c b  b a c  b c a  ,b c ,a c ,b c  0,1 b c ,a c a c a c b  0.5 3 33 , log 2, cos 2a b c   c b a  c a b  a b c  b c a  0,1 0.53 1a   0 , 1b c  ,b c 0,1 3cos 2 3 3 1cos cos2 3 2 3 2      3 3 1log 2 log 3 2  1 2c b  c b a  c 1.1 3.1 3log 7, 2 , 0.8a b c   b a c  a c b  c b a  c a b  0,1 1 ,c a b  ,a b 2 1.1 3 32 2, log 7 log 9 2b a     2a b  c a b  0, 1a b a b    11 1 1 , log , log b ba b x y ab z aa           , ,x y z y x z  z y x  y z x  x y z  0, 1a b a b    10 12b a    0,1 , ,x y z 0x  , 0y z  x ,y z ,y z 11 1log log log 1a b ab aba b y ab ab ab         1log logb b z a a   0 1b  log log 1, log 1b b ba b z a y       y z x  答案：C 例 9：下列四个数： 的大小顺序为________ 思路：观察发现 ，其余均为正。所以只需比较 ，考虑 ，所 以 ，而 ，所以下一步比较 ： ，所以 ，综上所述，大 小顺序为 答案： 例 10：已知 均为正数，且 ，则（ ） A. B. C. D. 思路：本题要通过左右相等的条件，以某一侧的值作为突破口，去推断 的范围。首先观 察等式左侧，左侧的数值均大于 0，所以可得： 均大于 0，由对数的符号 特点可得： ，只需比较 大小即可。观察到 ，从而 ，所以顺序为 答案：A 小炼有话说：本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为 的 形式，而第三个等式也可变形为 ，从而可以考虑视 分别为两 个函数的交点。先作出 图像，再在这个坐标系中作出 ， 比较交点的位置即可。    2ln2 , ln ln2 , ln 2, ln2a b c d     ln ln2 0b   , ,a c d  ln2 0,1 a d 1ln 2 ln22c d   ,a c    2 1 1ln2 ln2 ln2 ln2 ln2 ln2 ln 02 2a c e           a c b c a d   b c a d   , ,a b c 1 1 2 2 2 1 12 log , log , log2 2 b c a a b c            a b c  c b a  c a b  b a c  , ,a b c 1 1 2 2 2 log ,log ,loga b c  , 0,1 , 1a b c  ,a b 12 1 2 b a       1 1 2 2 log loga b a b   a b c  1 2 logy x 2 1 2 1 log log2 c c c       , ,a b c 1 2 logy x 1 12 , ,2 2 x x xy y y            