【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版2-1函数及其表示学案
§2.1 函数及其表示
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考情考向分析
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).
以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.
1.函数的基本概念
(1)函数的定义
设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域、值域
函数y＝f(x)，x∈A中，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.
(3)确定一个函数的两个要素：定义域和对应法则.
2.设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射.这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x).于是y＝f(x)，x称作y的原象.映射f也可记为：f：A→B，x→f(x).其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A).
3.函数解析式的求法
求函数解析式常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法.
4.函数的表示法
(1)函数的常用表示方法：列表法、图象法、解析法.
(2)分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.
概念方法微思考
请你概括一下求函数定义域的类型．
提示 (1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.( × )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × )
(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．( √ )
(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( × )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × )
题组二 教材改编
2．函数f(x)＝的定义域是________．
答案 (－∞，1)∪(1,4]
3．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．
答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]
题组三 易错自纠
4．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列各对应关系f不能表示从P到Q的函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
答案 ③
解析 对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝∉Q，所以③不是从P到Q的函数．
5．已知函数f(x)＝x|x|，若f(x0)＝4，则x0的值为______．
答案 2
解析 当x≥0时，f(x)＝x2，f(x0)＝4，
即x＝4，解得x0＝2.
当x<0时，f(x)＝－x2，f(x0)＝4，
即－x＝4，无解，所以x0＝2.
6．设f(x)＝则f(f(－2))＝________.
答案
解析 因为－2<0，所以f(－2)＝2－2＝>0，
所以f(f(－2))＝f＝1－＝1－＝.
题型一 函数的定义域
命题点1 求函数的定义域
例1 (1)(2018·江苏)函数f(x)＝的定义域为________．
答案 {x|x≥2}
解析 由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2，
满足x>0，
所以函数f(x)＝的定义域为{x|x≥2}．
(2)函数f(x)＝ln＋的定义域为________________．
答案 [－4,0)∪(0,1)
解析 由解得－4≤x<0或0
0)
解析 在f(x)＝3·f＋1中，将x换成，则换成x，得f＝3·f(x)＋1，将该方程代入已知方程消去f，得f(x)＝－－(x>0)．
思维升华 函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；
(4)消去法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
题型三 常见函数的值域
求下列函数的值域：
(1)y＝3x2－x＋2，x∈[1,3]；
(2)y＝；
(3)y＝x＋4；
(4)y＝.
解 (1)(配方法)
因为y＝3x2－x＋2＝32＋，
所以函数y＝3x2－x＋2在[1,3]上单调递增．
当x＝1时，原函数取得最小值4；
当x＝3时，原函数取得最大值26.
所以函数y＝3x2－x＋2(x∈[1,3])的值域为[4,26]．
(2)(分离常数法)
y＝＝＝3＋，
因为≠0，所以3＋≠3，
所以函数y＝的值域为{y|y≠3}．
(3)(换元法)
设t＝，t≥0，则x＝1－t2，
所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)，所以y≤5，
所以原函数的值域为(－∞，5]．
(4)(均值不等式法)
y＝＝
＝x＋＝x－＋＋，
因为x>，所以x－>0，
所以x－＋≥2＝，
当且仅当x－＝，即x＝时取等号．
所以y≥＋，即原函数的值域为.
思维升华 配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制．换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解．二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用基本不等式求解．
题型四 分段函数
命题点1 求分段函数的函数值
例3 (1)已知f(x)＝且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))等于( )
A．－2 B．2 C．3 D．－3
答案 B
解析 由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1；
f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝.
故f(－3)＝－3＋1＝9，
从而f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.
(2)已知函数f(x)＝则f(2＋log32)的值为________．
答案
解析 ∵2＋log31<2＋log32<2＋log33，即2<2＋log32<3，∴f(2＋log32)＝f(2＋log32＋1)＝f(3＋log32)，又3<3＋log32<4，∴f(3＋log32)＝＝3×＝×(3－1)＝×＝×＝×＝，∴f(2＋log32)＝.
命题点2 分段函数与方程、不等式问题
例4 (1)设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的集合为__________．
答案
解析 由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；
若x>0，则|log2x|＝，解得x＝或x＝.
故x的集合为.
(2)已知函数f(x)＝若f(a)>，则实数a的取值范围是__________．
答案
解析 当a≤0时，令2a>，解得－10时，令a>，解得00时，令－log2[3－(2－a)]＝1，解得a＝－，不符合，舍去．所以a＝－1.
(2)(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)2x.
此时x≤－1.
当2x<0且x＋1>0时，f(2x)>1，f(x＋1)＝1，
满足f(x＋1)0时，每一个x对应2个y，图象②中x0对应2个y，所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象．
2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝eln x，g(x)＝x
B．f(x)＝，g(x)＝x－2
C．f(x)＝，g(x)＝sin x
D．f(x)＝|x|，g(x)＝
答案 D
解析 A，B，C的定义域不同，所以答案为D.
3．(2018·郑州调研)函数f(x)＝ln ＋的定义域为( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)
答案 B
解析 要使函数f(x)有意义，应满足解得x>1，故函数f(x)＝ln ＋的定义域为(1，＋∞)．
4．(2018·营口联考)若函数f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则f(lg x)的定义域为( )
A．[－1,1] B．[1,2]
C．[10,100] D．[0，lg 2]
答案 C
解析 因为f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x≤1，故0≤x2≤1，所以1≤x2＋1≤2.因为f(x2＋1)与f(lg x)是同一个对应关系，所以1≤lg x≤2，故10≤x≤100，所以函数f(lg x)的定义域为[10,100]．故选C.
5．已知f ＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A．－ B. C. D．－
答案 B
解析 令t＝x－1，则x＝2t＋2，
所以f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，
所以f(a)＝4a－1＝6，即a＝.
6.如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(00，
f(f(－2))＝f(log29)＝3×＝3×＝3×＝3×81＝243.故选B.
9．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.
答案 2x＋7
解析 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b，所以ax＋5a＋b＝2x＋17对任意实数x都成立，所以解得所以f(x)＝2x＋7.
10．函数y＝的值域是________．
答案
解析 若x＝0，则y＝0；若x≠0，则y＝＝∈.
故所求值域为.
11．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥－1的解集是________________．
答案 {x|－4≤x≤2}
解析 当x≤0时，由题意得＋1≥－1，
解得－4≤x≤0.
当x>0时，由题意得－(x－1)2≥－1，
解得0f(t)，则实数t的取值范围是____________．
答案 (－4,4)
解析 f(－2)＝4，f(4)＝8，不等式f(f(－2))>f(t)可化为f(t)<8.当t<0时，－2t<8，得－4
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