- 2021-06-24 发布 |
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文档介绍
高中数学选修2-2教学课件第四章 1_1
第四章 定积分 § 1 定积分的概念 1.1 定积分的背景 —— 面积和路程问题 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 了解 “ 以直代曲 ” 、 “ 以不变代变 ” 的思想方法 . 2. 会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程 . 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 1. 曲边梯形的概念 曲边梯形:由直线 x = a , x = b ( a ≠ b ) , y = 0 和 曲线 所 围成的图形称为 曲 边 梯形 ( 如图所示 ). 2. 求曲边梯形面积的步骤 ① , ② , ③ , ④ . y = f ( x ) 分割 近似替代 求和 逼近 探要点 · 究 所然 情境导学 任何一个平面图形都有面积,其中矩形、 正方 形 、三角形、平行四边形、梯形等平面 多边形 的 面积,可以利用相关公式进行计算 . 如图所 示 的 平面图形,是由直线 x = a , x = b ( a ≠ b ) , y = 0 和曲线 y = f ( x ) 所围成的,称之为曲边梯形,如何计算这个曲边梯形的面积呢? 探究点一 求曲边梯形的面积 思考 1 如何计算下列两图形的面积? 答 ① 直接利用梯形面积公式求解 . ② 转化为三角形和梯形求解 . 思考 2 如图,为求由抛物线 y = x 2 与 直线 x = 1 , y = 0 所围成的平面图形的面积 S ,图形与我 们 熟悉的 “ 直边图形 ” 有什么区别? 答 已知图形是由直线 x = 1 , y = 0 和曲线 y = x 2 所围成的,可称为曲边梯形,曲边梯形的一条边为曲线段,而 “ 直边图形 ” 的所有边都是直线段 . 思考 3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求 “ 直边图形 ” 的面积问题?求曲边梯形的面积有哪几个主要步骤,其中体现了什么数学思想? 答 可以通过将区间分割,得到一些小矩形,计算曲边梯形面积的过剩估计值和不足估计值,然后将区间分得更细,过剩估计值和不足估计值都会趋于曲边梯形的面积 .( 如图 ) 求曲边梯形面积可以通过四个主要步骤完成,它们是:分割、近似替代、求和、逼近,其中体现了 “ 以直代曲 ” 和 “ 无限逼近 ” 的数学思想 . 例 1 求由曲线 f ( x ) = 2 x ,直线 x = 1 ,直线 x = 0 及 x 轴所围成的平面图形的面积 S ,并写出估计值的误差 . 解 (1) 分割:将区间 [0,1] 5 等分,即插入 4 个分点,在每个分点处作与 y 轴平行的直线段,将整个曲边梯形分成 5 个小曲边梯形; (2) 近似替代:若用 f (0.2) , f (0.4) , f (0.6) , f (0.8) , f (1) 分别表示这 5 个小曲边梯形的高,分别得到每个小曲边梯形的面积 f (0.2)·0.2 , f (0.4)·0.2 , f (0.6)·0.2 , f (0.8)·0.2 , f (1)·0.2 . 若用 f (0) , f (0.2) , f (0.4) , f (0.6) , f (0.8) 分别表示这 5 个小曲边梯形的高,分别得到每个小曲边梯形的面积 f (0)·0.2 , f (0.2)·0.2 , f (0.4)·0.2 , f (0.6)·0.2 , f (0.8)·0.2 ; ( 3) 求和:由上述方法得曲边梯形面积的过剩估计值为 S 1 = (2 0.2 + 2 0.4 + 2 0.6 + 2 0.8 + 2 1 ) × 0.2 ≈ 1.55 , 不足估计值为 s 1 = (2 0 + 2 0.2 + 2 0.4 + 2 0.6 + 2 0.8 ) × 0.2 ≈ 1.35 . (4) 逼近:在这种情况下,无论过剩估计值还是不足估计值,误差都不超过 0.20. 如果需要,我们可以将区间分得更细,得到更精确的估计值 . 反思与感悟 通过求曲边梯形面积的四个步骤:分割、近似替代、求和、逼近可以理解定积分的基本思想 . 跟踪训练 1 求抛物线 f ( x ) = 1 + x 2 与直线 x = 0 , x = 1 , y = 0 所围成的平面图形的面积 S ,并写出估计值的误差 . 解 (1) 分割:将区间 [0,1] 5 等分,在每个分点处作与 y 轴平行的直线段,将整个曲边梯形分成五个小曲边梯形 . (2) 近似替代:用 f (0.2) , f (0.4) , f (0.6) , f (0.8) , f (1) 表示这 5 个小曲边梯形的高,则可得到曲边梯形的过剩近似值; 用 f (0) , f (0.2) , f (0.4) , f (0.6) , f (0.8) 表示这 5 个小曲边梯形的高,可得到曲边梯形面积的不足近似值 . (3) 求和:曲边梯形面积的过剩近似值 S = ( f (0.2) + f (0.4) + f (0.6) + f (0.8) + f (1)) × 0.2 = 1.44. 曲边梯形面积的不足近似值为 s = ( f (0) + f (0.2) + f (0.6) + f (0.8)) × 0.2 = 1.24. (4) 逼近:在这种情况下,无论过剩近似值还是不足近似值,误差都不会超过 0.20 ,如果需要,可将区间分得更细,得到更精确的估计值 . 探究点二 求变速运动的路程 思考 求变速运动的路程问题解法和曲边梯形的面积有什么联系? 答 求变速直线运动的路程问题,方法和步骤类似于求曲边梯形的面积,仍然利用以直代曲的思想,将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题,求解过程为:分割、近似替代、求和、逼近 . 例 2 一辆汽车的司机猛踩刹车,汽车滑行 5 s 后停下,在这一过程中,汽车的速度 v ( 单位: m/s) 是时间 t 的函数: v ( t ) = t 2 - 10 t + 25(0 ≤ t ≤ 5). 请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s . 解 将滑行时间 5 s 平均分成 5 份 . 分别用 v (0) , v (1) , v (2) , v (3) , v (4) 近似替代汽车在 0 ~ 1 s,1 ~ 2 s,2 ~ 3 s,3 ~ 4 s,4 ~ 5 s 内的平均速度 , 求 出滑行距离 s 1 : s 1 = [ v (0) + v (1) + v (2) + v (3) + v (4)] × 1 = 55(m) , 由于 v 是下降的 , 所以 显然 s 1 大于 s ,我们称它为汽车在 5 s 内滑行距离的过剩估计值 . 如果用 v (1) , v (2) , v (3) , v (4) , v (5) 分别近似替代汽车在 0 ~ 1 s , 1 ~ 2 s,2 ~ 3 s,3 ~ 4 s,4 ~ 5 s 内的平均速度 , 求 出汽车在 5 s 内滑行距离的不足估计值 s 1 ′ : s 1 ′ = [ v (1) + v (2) + v (3) + v (4) + v (5)] × 1 = 30(m). 不论用过剩估计值 s 1 还是不足估计值 s 1 ′ 表示 s ,误差都不超过: s 1 - s 1 ′ = 55 - 30 = 25(m). 为了得到更加精确的估计值,可以将滑行时间分得更细些 . 跟踪训练 2 物体在力 F 的作用下从静止开始运动,力 F 的大小与位移 s (m) 的关系是: F ( s ) = 3 s + 1 ,试估计物体运动 5 m 的过程中力 F 所做的功,并写出估计值的误差 . 解 将 [0,5] 5 等分,即插入 4 个分点 , 则 将整个功分成 5 个小位移段内的功 . 若用 F (1) , F (2) , F (3) , F (4) , F (5) 分别近似替代 F 引起的物体在 0 ~ 1 m,1 ~ 2 m,2 ~ 3 m,3 ~ 4 m,4 ~ 5 m 段内运动时所受的力的平均大小 ,则 得出功的过剩估计值为 W 1 = [(3 × 1 + 1) + (3 × 2 + 1) + (3 × 3 + 1) + (3 × 4 + 1) + (3 × 5 + 1)] × 1 = 50(J). 若用 F (0) , F (1) , F (2) , F (3) , F (4) 分别近似替代 F 引起的物体在 0 ~ 1 m,1 ~ 2 m,2 ~ 3 m,3 ~ 4 m,4 ~ 5 m 段内运动时所受的力的平均大小,则得出功的不足估计值为 W 1 = [(3 × 0 + 1) + (3 × 1 + 1) + (3 × 2 + 1) + (3 × 3 + 1) + (3 × 4 + 1)] × 1 = 35(J). 无论是过剩估计值还是不足估计值,误差都不超过 15 J. 当堂测 · 查 疑缺 1 2 3 1. 把区间 [1,3] n 等分,所得 n 个小区间的长度均为 ( ) 4 解析 区间 [1,3] 的长度为 2 ,故 n 等分后,每个小区间的长度均 为 . B 2. 函数 f ( x ) = x 2 在 区间 上 ( ) A. f ( x ) 的值变化很小 B. f ( x ) 的值变化很大 C. f ( x ) 的值不变化 D. 当 n 很大时, f ( x ) 的值变化很小 1 2 3 4 1 2 3 4 解析 当 n 很大,即 Δ x 很小时,在区间 [ ] 上,可以认为 f ( x ) = x 2 的值变化很小,近似地等于一个常数 . 答案 D 1 2 3 3. 在 “ 近似代替 ” 中,函数 f ( x ) 在区间 [ x i , x i + 1 ] 上的近似值等于 ( ) A. 只能是左端点的函数值 f ( x i ) B. 只能是右端点的函数值 f ( x i + 1 ) C. 可以是该区间内任一点的函数值 f ( ξ i )( ξ i ∈ [ x i , x i + 1 ] ) D. 以上答案均正确 4 C 1 2 3 4 4. 求由曲线 y = x 2 与直线 x = 1 , x = 2 , y = 0 所围成的平面图形面积时,把区间 5 等分,则面积的近似值 ( 取每个小区间的左端点 ) 是 ________. 1 2 3 4 答案 1.02 呈 重点、现 规律 变速直线运动的路程、变力做功问题都可以归结为求曲边梯形的面积;求曲边梯形面积可分为四个步骤:分割、近似替代、求和、逼近 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看查看更多