广西南宁市第三中学2019-2020学年高二下学期月考（三）数学（理）试题

广西南宁市第三中学2019-2020学年高二下学期月考（三）数学（理）试题

南宁三中 2019~2020 学年度下学期高二月考（三） 理科数学试题 一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1．已知集合    | 3 2, , | 2 4A x x n n Z B x x        ，则 A B  （ ） A． B． 1,2 C． 1 D． 2 2．若复数 2( 1) ( 1)z x x i    为纯虚数，则实数 x 的值为 （ ） A．1 B． 0 C． 1 D． 1 或1 3． 1 0 ( 2 )xe x dx 等于（ ） A．1 B．－1 C． e D． 1e  4．i 为虚数单位，复数 2 1 iz i   在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知函数 3 21 1( ) 3 2f x x mx  在区间 [1，2] 上是增函数，则实数 m 的取值范围为（ ） A． 1m  B． 2m  C． 1m  D． 2m  6．2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同 排法的种数是（ ） A．36 B．24 C．72 D．144 7．已知 0 1 2 2 3 32 2 2 2 729n n n n n n nC C C C C     ，则 1 2 3 n n n n nC C C C   （ ） A．63 B．64 C．31 D．32 8．函数   2 1 sin1 xf x xe      图象的大致形状是（ ） A． B． C． D． 9．将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,便可以得到如图的“0-1 三角”.在“0-1 三角” 中,从第 1 行起,设第 n(n∈N+)次出现全行为 1 时,1 的个数为 na ,则 4a 等于 ( ) A．13 B．14 C．15 D．16 10．椭圆 C： 2 2 2 2 1x y a b   （a＞b＞0）的左右焦点为 F1，F2，过 F2 作 x 轴的垂线与 C 交于 A， B 两点，F1A 与 y 轴相交于点 D，若 BD⊥F1A，则椭圆 C 的离心率等于（ ） A． 1 3 B． 3 C． 1 2 D． 3 3 11．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形 ABCD （边长为 2 个单位）的顶点 A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位， 如果掷出的点数为 ( 1,2, ,6)i i   ，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去.则 某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A 处的所有不同走法共有（ ） A．22 种 B．24 种 C．25 种 D．27 种 12．已知函数 2 , 0 ( ) 1 15, 02 4 x x f x a x x       „ ，函数 2xxg )( ，若函数 )()( xgxfy  有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为（ ） A． ）5（ ， B． 155, 2      C． 195, 2      D． 0,15 2      二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．在 2 31( )x x  的展开式中，各项的系数之和是_______． 14．在 12 n x x     的展开式中第 3 项 与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 2 1 x 的系数为 _______． 15．某城市有 3 个演习点同时进行消防演习，现将 5 个消防队分配到这 3 个演习点，若每个 演习点至少安排 1 个 消防队，则不同的分配方案种数为_______． 16．已知函数   1 3ln 14 4f x x x x     ，   2 2 4g x x bx   ，若对任意  1 0,2x  ，存在  2 1,2x  ，使    1 2f x g x ，则实数b 的取值范围是_______． 三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。） （一）必考题：共 60 分。 17．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 1 4 3 3n nS a   ， 1 4a  . （1）求数列 na 的通项公式； （2）若 2logn nb a ， 求数列 1 1 n nb b        的前 n 项和 nT . 18．在 ABC 中，设内角 、 、A B C 的对边分别是 a b c、 、 , (cos , 2), ( 2,sin )m A n A    ，且 5m n   . （1）求角 A 的大小； （2）若 4 2b  ，且 2c a ，求 ABC 的面积． 19．如图，已知四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD 为菱形， 4AB  ， 60DAB   ，AP PD ， 2 3AP  ， 4BP  ， M 为 AD 的中点. （1）求证：平面 BPM  平面 APD ； （2）若点 N 在线段 BC 上，当直线 PN 与平面 PMC 所成角的正弦值为 6 8 时，求线段 BN 的长. 20．已知函数 2 1( ) 2 ln ( )af x x a x a Rx     .[来源:Zxxk.Com] （1）若函数 ( )f x 在 2x  时取得极值，求实数 a 的值； （2）若 ( ) 0f x  对任意 [1, )x  恒成立，求实数 a 的取值范围. 21．如图，已知椭圆 2 2 14 2 x y  ，点 A、B 分别是椭圆的左、右顶点，点 P 是直线 : 4l x   上的一个动点（与 x 轴交点除外），直线 PA 交椭圆于另一点 M. （1）记直线 BP、BM 的斜率分别为 1k 、 2k ，求证： 1 2 2 k k 为定值； （2）求 PB PM  的最小值. [来源:学,科,网 Z,X,X,K] （二）选考题：共 10 分。 请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 8 ,2 4 2 x t ty t       （t 为参数）.以坐标原点O 为 极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2sin  . （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若射线 = 4  （ 0  ）与直线l 和曲线C 分别交于 A ， B 两点，求 AB 的值. 23．已知正实数 x, y 满足 1x y  ． （1）解关于 x 的不等式 52 2x y x y    ； （2）证明： 2 2 1 11 1 9 x y           南宁三中 2019~2020 学年度下学期高二月考（三） 理科数学试题答案 1.B【解析】    | 3 2, = ..., 4, 1,2,5,...A x x n n Z      ，  | 2 4B x x    ，故  1,2A B   .故选： B 2.C【解析】因为 2 2( 1) ( 1) 1 0 x-1 0z x x i x       且 ，故 x= -1，选 C。 3.C【解析】． 1 2 1 00 ( 2 ) ( ) | 1 1x xe x dx e x e e       .故选：C． 4.B【解析】由 2 1 iz i   ，则 2 (1 ) 1(1 )(1 ) i iz ii i      ，则复数 2 1 iz i   在复平面内对应的点 的坐标为  1,1 ，即复数 2 1 iz i   在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B. 5.A【解析】已知函数 3 21 1( ) 3 2f x x mx  ，所以 2( )f x x mx   ，因为 ( )f x 在区间 [1， 2] 上是增函数，所以 2( ) 0f x x mx    在区间 [1， 2] 上恒成立，所以 m x 在区间 [1， 2] 上恒成立，所以 1m £ .故选：A 6.C【解析】根据题意，把 3 位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生， 插入到 2 位男生全排列后形成的 3 个空中的 2 个空中，故有 2 2 2 3 2 3 72A A A  种，故选：C ． 7.A【解析】根据二项式定理展开式的 逆运算可知  0 1 2 2 3 32 2 2 2 1 2 nn n n n n n nC C C C C      ，所以 63 729 3n   ，所以 6n  ，则 1 2 3 6 0 62 2 1 63n n n n n nC C C C C        ，故选:A 8.C【解析】   2 11 sin sin1 1 x x x ef x x xe e        ，则    1 sin1 x x ef x xe          1 1sin sin1 1 x x x x e ex x f xe e       ，是偶函数，排除 B、D.当 0, 2x     时， e 1x  ， sin 0x  ，即   0f x  ，排除 A。故选:C. 9.D【解析】第1行和第3行全是1，已经出现了 2 次，依题意，第 6行原来的数是 6 rC ，而 1 6 6C  为偶数，不合题意；第 7 行原来的数是 7 rC ，即1,7,21,35,35,21,7,1全为奇数，一共有8 个， 全部转化为1，这是第三次出现全为1的情况.故选 D. 10.D【解析】由题意知正方形 ABCD （边长为 2 个单位）的周长是8 ， 抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A 处的表示三次骰子的点数之和是8,16 ， 列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16 的有125;134;116;224;233;466;556 ， 共有 7 种组合，前 2 种组合125;134 ，每种情况可以排列出 3 3 6A  种结果， 共有 3 32 2 6 12A    种结果； 116;224;233;466;556 各有3种结果，共有5 3 15  种结果，[来源:学,科,网 Z,X,X,K] 根据分类计数原理知共有12 15 27  种结果，故选 D. 11.D【解析】由题意可得， 2 ( , )bA c a ， 2 ( , )bB c a  ，则点 D 为 1F A的中点， 2 (0, )2 bD a  ，由 1BD F A ，得 1 1BD F Ak k   ，即 2 2 2 2 12 b b b a a a c c     ，整理得 23 2b ac ，  2 23( ) 2a c ac  ，∴ 23 +2 3 0e e   ，解得 3 3e  ．故选 D ． 12.B【解析】分段讨论：当 0x  时， ( ) 2xf x  与 2( )g x x 有两个交点 (2,4),(4,16) ，两个 零点.要使 ( ) ( )y f x g x  有 4 个零点,则当 0x  时 1 15( ) 2 4f x a x   与 2( )g x x 有 两个交点即可（如图）. 过点 1 15( , )2 4   作 2( ) ( 0)g x x x  的切线，设切点为 2( , )( 0)m m m  ,则 =2k m切 ，即切 线方程为 2 2 ( )y m m x m   ,把点 1 15( , )2 4   代入切线方程，得 5 2m   或 3 2m  ,又 0m  ，则 5 2m   ， =2 = 5k m 切 ，又 1 150 02 4a    ，解得 15 2a  ，所以实数 a 的 取值范围是 15(5, )2 ，故选：B. 13.0 14.448【解析】由 12 n x x     的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则 2 6 n nC C ,即 2 6 8n    ,则 812x x     展开式的通项公式为 8 8 8 2 1 8 8 1(2 ) ( ) 2r r r r r r rT C x C xx       ,令 8 2 2r   ,则 = 5r ,则该展开式中 2 1 x 的系数为 8 5 5 82 448C  , 15.150【解析】由题意得，把 5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2 两类方法，（1）分 为1,1,3，共有 1 1 3 5 4 3 2 2 10C C C A  种不同的分组方法；（2）分为1,2,2 ，共有 1 2 2 5 4 2 2 2 15C C C A  种 不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有 3 3(10 15) 150A   种不同的分配方案， 16. 【解析】函数 的导函数 2 2 1 1 3 ( 1)( 3)( ) 4 4 4 x xf x x x x       , ( ) 0f x  ，若 ( ) 0f x  , , 为增函数;若 ( ) 0f x  , 或 , 为减函数； 在 上有极值, 在 处取极小值也是最小值 ； ,对称轴 , ,当 时, 在 处取最小值 ；当 时, 在 处取最小值 ；当 时, 在 上是减函 数, ； 对任意 ,存在 ,使 , 只要 的最小值大于等于 的最小值即可,当 时, ,计算得出 ,故 无解;当 时, ,计 算得出 ,综 上: ,因此，本题正确答案是: . 17.【解析】（1）由题知，当 2n  时， 1 1 4 3 3n nS a   ，又 1 1 4 3 3n nS a   ， 两式相减可得 1 1 1 3 3n n na a a  ，即 1 4n na a  ， 当 1n  时，可得 2 1 44 3 3a  ，解得 2 16a  ，则  4 2,n na n n N   ， 当 1n  时，满足 4n na  ，数列 na 的通项公式为 4n na  ， n N . （2） 2 2log log 4 2n n nb a n   ， 1 1 1 1 1 1 2 2( 1) 4 1n nb b n n n n          ，[来源:学&科&网 Z&X&X&K] 1 1 1 1 1 1 1 11 14 2 2 3 1 4 1 4( 1)n nT n n n n                      . 18.【解析】（1） 2 2 2(cos 2) ( 2 sin )m n A A      5 2 2(sin cos )A A    5 4sin( )4A   5 4sin( ) 5,4A     sin( ) 0,4A    又因为 (0, )A  ，故 04A   ，∴ 4A  ； （2）由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A   ， 即 2 2 2(4 2) ( 2 ) 2 4 2 2 cos 4a a a      ，解得 4 2a  ，∴ 8c  ， ∴ . 19.【解析】(1)证明：由题 意易得 BM AD ，且 2 3BM  ， 在 Rt APD 中， 2 24 (2 3) 2PD    ，∴ 60PDA  ，∴ 2PM  ， 在 PMB 中， 2 2 2PM BM BP  ，∴ PM MB ，又 AD PM M ，[来源:学科网] ∴ BM  面 APD ，又∴ BM  面 BPM ，∴平面 BPM  平面 APD . （2）由（1）可知 BM  面 APD ，所以以点 M 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ( )0,0,0M ，  0,1, 3P ，  2 3,4,0C ， 设 (2 3 )(0 4,0 ),N a a＃ ，则 2 3, -1,- 3 0,1 3 2 3 4 0PN a MP MC    （ ）， （ ， ）， （ ，，） 设平面 PMC 的一个法向量为 ( , , )m x y z ， 由 3 00 0 2 3 4 0 y zm MP m MC x y             ，则令 2x  ， 3y   ， 1z  ，所以 (2, 3,1)m   ， ∴ 2 4 3 3( 1) 3 cos , 4 3 1 12 ( 1) 3 a m PN a              6 8  ， 解得 2a  或 8a  （舍），故 BN=2. 20.【解析】（1）   2 2 1 21 a af x x x     ， 依题意有  2 0f   ，即 2 11 04 a a   ，解得 3 2a  . 检验：当 3 2a  时，     2 2 2 2 1 22 3 3 21 x xx xf x x x x x         . 此时，函数  f x 在 1,2 上单调递减，在 2, 上单调递增，满足在 2x  时取得极值. 综上可知 3 2a  . （2）依题意可得：   0f x  对任意  1,x  恒成立等价转化为  min 0f x  在  1,x  上恒成立. 因为        2 2 2 2 2 1 12 2 12 1 21 x a xx ax aa af x x x x x             ， 令   0f x  得： 1 2 1x a  ， 2 1x  . ①当 2 1 1a   ，即 1a  时，函数   0f x  在 1, 上恒成立， 则  f x 在 1, 上单调递增，于是    min 1 2 2 0f x f a    ， 解得 1a  ，此时 1a  ； ②当 2 1 1a   ，即 1a  时，  1,2 1x a  时，   0f x  ；  2 1,x a   时，   0f x  ， 所以函数  f x 在 1,2 1a  上单调递减，在 2 1,a   上单调递增， 于是      min 2 1 1 2 2 0f x f a f a      ，不合题意，此时 a. 综上所述，实数 a 的取值范围是  ,1 . 21.【解析】（1）由题意知 ,A B 的坐标分别为 ( 2,0),(2,0) ， 设点 M 的坐标为 0 0( , )x y ，有 2 2 0 0 14 2 x y  ，可得 2 2 0 0 1 (4 )2y x  ， 则直线 AM 的方程为 0 0 ( 2)2 yy xx   ， 令 4x   ，得 0 0 2 2 yy x    ，则点 P 的坐标为 0 0 2( 4, )2 y x    ， 由 0 0 0 1 0 2 2 6 3( 2) y x yk x    ， 0 2 0 2 yk x   ， 有 2 2 0 0 1 2 2 2 0 0 1 (4 ) 12 3( 4) 3( 4) 6 xyk k x x       ，则 1 2 2 12k k   为定值； （2）由（1）知， 0 0 0 0 0 0 2 ( 4)(6, ), ( 4, )2 2 y x yPB PM xx x       ， 则 2 2 0 0 0 0 0 02 2 0 0 12( 4) (4 )2( 4) 26( 4) 6( 4)( 2) ( 2) x xx yPB PM x xx x             0 0 0 0 ( 4)(2 )6( 4) 2 x xx x      ， 由题意知， 02 2x   ，令 0 2(0 4)t x t    ，则 2( 2)(4 ) 2 8 8 86( 2) 6 12 5 14 2 5 14t t t tPB PM t t t tt t t t                   4 10 14  （当且仅当 85t t  ，即 2 10 5t  时取等号），此时 0 2 10 25x   . 22.【解析】（1）由 8 2x t   得 0x  ， 将 8 ,2 4 2 x t ty t       （t 为参数）消去参数t ，得直线 l 的普通方程为 4 0x y   （ 0x  ）. 由 2sin  得 2 2 sin   ， 将 siny   ， 2 2 2x y   代入上式，得 2 2 2 0x y y   ， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 2 2 2 0x y y   . （2）由（1）可知直线l 的普通方程为 4 0x y   （ 0x  ）， 化为极坐标方程得 cos sin 4 0      （ 2   ）， 当 4   （ 0  ）时，设 A ， B 两点的极坐标分别为 , 4A      ， , 4B      ， 则 2 2A  ， 2sin 24B    ， 所以| | | 2 2 2 | 2A BAB       . 23.【解析】 （1） 1, 0, 0x y x y    且 0 152 52 2 2 1 2 x x y x y x x             0 10 1 1 11 2 12 1 2 22 xx x x xx x                     解得 1 16 x  ，所以不等式的解集为 1 ,16     （2）解法 1： 1,x y  且 0, 0x y  ，    2 22 2 2 2 2 2 1 11 1 x y x x y y x y x y               2 2 2 2 2 2xy y xy x x y    2 2 2 2 2 2y y x x x x y y           2 2 5x y y x    2 22 5 9x y y x     . 当且仅当 1 2x y  时，等号成立. 解法 2： 1,x y  且 0, 0x y  ， 2 2 2 2 2 2 1 1 1 11 1 x y x y x y                    2 2 1 1 1 1x x y y x y          2 2 1 1x y y x x y    1 x y xy xy    2 1xy   2 2 1 9 2 x y         当且仅当 1 2x y  时，等号成立.