四川省成都市2020届高三零模考试数学（文）试题

四川省成都市2020届高三零模考试数学（文）试题

成都市2020届高中毕业班摸底考试 数学试卷（文科）‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.复数（其中为虚数单位）的虚部是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，则虚部为，故选.‎ 考点：复数的运算、复数的实部与虚部.‎ ‎2.若集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎,选.‎ ‎3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）‎ A. 甲所得分数的极差为22‎ B. 乙所得分数的中位数为18‎ C. 两人所得分数的众数相等 D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.‎ ‎【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C正确；甲的平均分为，乙的平均分为 ‎ ‎，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D错误，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.‎ ‎4.若实数满足约束条件，则的最小值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出的最大值．‎ 详解】作出实数，满足约束条件表示的平面区域，如图所示．‎ 由可得，则表示直线在轴上的截距，纵截距越大，越小．‎ 作直线，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点时，最大，最小．‎ 由可得，此时，‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．‎ ‎5.已知等比数列的各项均为正数，若，则＝（ ）‎ A. 1 B. 3 C. 6 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据对数运算法则，可知，再根据等比数列的性质可知，最后计算的值.‎ ‎【详解】由 ，‎ 可得，进而可得 ，‎ ‎ .‎ ‎【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.‎ ‎6.设函数的导函数为，若，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，即可求出的值.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎7.中，角，，的对边分别为．若向量，，且，则角的大小为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题，通过两角和的公式化简得到角的方程，得解．‎ ‎【详解】由得，‎ ‎，‎ 由正弦定理得，，‎ 化为，‎ 即，‎ 由于，‎ ‎，又 ‎，‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的数量积和正弦定理，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算的值并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】模拟程序的运行，可得 开始 ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎⑤‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎9.若矩形的对角线交点为，周长为，四个顶点都在球的表面上，且，则球的表面积的最小值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用矩形求出外接圆的小圆半径，进一步利用基本不等式求出球的半径，进一步求出球的表面积的最小值．‎ ‎【详解】如图，设矩形的两邻边分别为，，则，且外接圆的半径．‎ 由球的性质得，平面，所以球的半径．‎ 由均值不等式得，，所以，‎ 所以，当且仅当时，等号成立．‎ 所以球的表面积的最小值为，‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：球的表面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎10.已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出原函数导函数，分析函数在处取得极小值时的的范围，再由充分必要条件的判定得答案．‎ ‎【详解】解：若在取得极小值，‎ ‎．‎ 令，得或．‎ ‎①当时，．‎ 故在上单调递增，无最小值；‎ ‎②当时，，故当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增．‎ 故在处取得极小值．‎ 综上，函数在处取得极小值．‎ ‎ “”是“函数在处取得极小值”的充分不必要条件．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查充分必要条件的判定，属于中档题．‎ ‎11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点的坐标为．若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值范围为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据双曲线的定义，，转化为，即，根据数形结合可知，当点三点共线时，最小，转化为不等式，最后求离心率的范围.‎ ‎【详解】由已知可得，若，‎ 即，左支上的点均满足，‎ 如图所示，当点位于点时，最小，‎ 故，即,‎ ‎,‎ 或或或或双曲线的离心率的取值范围为 .‎ ‎【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何关系分析的最小值，转化为的代数关系，最后求的范围.‎ ‎12.若关于的不等式在内恒成立，则满足条件的整数 的最大值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意即可得出函数的图象恒在直线的上方，当直线与函数相切时，可设切点为，，从而可以得出，联立三式即可得出，根据即可得出，再根据③即可得出，从而得出整数的最大值为2．‎ ‎【详解】关于的不等式在内恒成立，‎ 即关于的不等式在内恒成立，‎ 即函数的图象恒在直线的上方．‎ 当直线与函数相切时，设切点为，，‎ 则，由①②得，，把③代入得，化简得．由得，．‎ 又由③得．即相切时整数．‎ 因此函数的图象恒在直线的上方时，整数的最大值为2．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查基本初等函数的求导公式，积的导数的求导公式，考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．‎ ‎13.某公司一种新产品的销售额与宣传费用之间的关系如表：‎ ‎（单位：万元）‎ ‎（单位：万元）‎ 已知销售额与宣传费用具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由表中数据计算平均数，代入回归直线方程中求得回归系数．‎ ‎【详解】由表中数据，计算，‎ ‎，‎ 又归直线方程为过样本中心点得，‎ ‎，‎ 解得．‎ 故答案为6.5．‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．‎ ‎14.已知曲线：（为参数）．若点在曲线上运动，点为直线：上的动点，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先表示出曲线C上的点到直线距离，再利用三角函数的图像和性质求|PQ|的最小值.‎ ‎【详解】表示曲线为参数）上任意点到直线的距离 ‎，‎ 当时，．‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．‎ ‎15.已知是定义在上的奇函数，其导函数为，，且当时，．则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，根据据已知条件及导函数符号与函数单调性的关系判断出的单调性，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集．‎ ‎【详解】令，‎ 则，‎ 所以在上为单调递增，且，‎ 所以，‎ 解得．‎ 由是定义在上的奇函数得，‎ 所以在为偶函数，且 所以不等式的解集为，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．‎ ‎16.已知抛物线：的焦点为，准线为．过点作倾斜角为的直线与准线相交于点，线段与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出直线的方程，与抛物线方程联立，消去，解方程求得的值，再写出抛物线的标准方程．‎ ‎【详解】由题得直线的方程为，从而；‎ 由消去，‎ 得，‎ 解得或（舍去），从而；‎ 由得，，‎ 解得，所以抛物线的标准方程为．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知函数，其导函数的图象关于轴对称，．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数的图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据导函数的图象关于轴对称求出m的值，再根据求出n的值；（Ⅱ）问题等价于方程有三个不相等的实根，再求出函数f(x)的单调性和极值，分析得解.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）.‎ 函数的图象关于轴对称，.‎ 又，解得.‎ ‎，.‎ ‎（Ⅱ）问题等价于方程有三个不相等的实根时，求的取值范围.‎ 由（Ⅰ），得..‎ 令，解得.‎ 当或时，，‎ ‎，上分别单调递增.‎ 又当时，，‎ 在上单调递减.‎ 的极大值为，极小值为.‎ 实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，数形结合思想是数学中的一种重要的思想，通过数形结合将本题转化为函数图象的交点，可以直观形象的解决问题．‎ ‎18.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内，，‎ 三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：‎ 类行业：85，82，77，78，83，87；‎ 类行业：76，67，80，85，79，81；‎ 类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．‎ ‎（Ⅰ）计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；‎ ‎（Ⅱ）若从抽取的类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．‎ ‎【答案】（Ⅰ），，三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第一问利用分层抽样的概念直接计算即可；第二问是古典概率模型，先列出所有的基本事件，然后再找出3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位所包含基本事件的个数，即可求出3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．‎ ‎【详解】（Ｉ）由题意，得抽取的，，三类行业单位个数之比为.‎ 由分层抽样的定义，有 类行业的单位个数为，‎ 类行业的单位个数为，‎ 类行业的单位个数为，‎ 故该城区，，三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.‎ ‎（Ⅱ）记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件.‎ 这3个单位的考核数据情形有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种.‎ 这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有，，，‎ ‎，共4种，没有都是“非星级”环保单位的情形，‎ 故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种，‎ 故所求概率.‎ ‎【点睛】本题主要考查分层抽样及古典概型问题，属基础题．‎ ‎19.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第一问先证明平面，平面，再根据面面平行的判定定理证明平面平面．第二问利用等积法可得，分别求出的面积和BM的长度即可解决问题．‎ ‎【详解】（Ⅰ）连接，∴，，∴为正三角形.‎ ‎∵为的中点，∴.‎ ‎∵，平面，∴.‎ 又平面，平面，∴平面.‎ ‎∵，分别为，的中点，∴.‎ 又平面，平面，∴平面.‎ 又平面，，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）中已证.‎ ‎∵平面平面，平面，∴平面.‎ 又，，∴.‎ 在中，∵，，∴.‎ ‎∵，分别为，的中点，‎ ‎∴的面积，‎ ‎∴三棱锥的体积.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面、面面平行与垂直判定和性质，等积法求三棱锥的体积问题，属中等难度题．‎ ‎20.已知椭圆：的左，右焦点分别为，，且经过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作一条斜率不为的直线与椭圆相交于两点，记点关于轴对称的点为．证明：直线经过轴上一定点，并求出定点的坐标．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析，直线经过轴上定点，其坐标为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由已知结合椭圆定义求得，再求得，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由题意，设直线的方程为，再设，，，，则，．联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，求出所在直线方程，取求得值，即可证明直线经过轴上一定点，并求出定点的坐标．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，可知 ‎.‎ 解得.‎ 又，‎ 椭圆的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）由题意，设直线的方程为.‎ 设，，则.‎ 由，消去，可得.‎ ‎，.‎ ‎，.‎ ‎，‎ 直线的方程为.‎ 令，可得.‎ ‎..‎ 直线经过轴上定点，其坐标为.‎ 点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．‎ ‎21.已知函数，其中．‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数有唯一零点，求的值．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；‎ ‎（2）问题等价于关于的方程有唯一的解时，求的值．令，求得的导数，以及单调性和极值，结合图象和已知条件可得的值；‎ ‎【详解】解：（1）当时，，‎ 所以，‎ 所以．‎ 又，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，‎ 即．‎ ‎（2）问题等价于关于的方程有唯一的解时，求的值．‎ 令，则．‎ 令，则，‎ 在上单调递减．‎ 又，‎ 当时，，即，‎ 在上单调递增；‎ 当时，，即，‎ 在上单调递减．‎ 的极大值为．‎ 当时，；当时，．‎ 又，当方程有唯一的解时，．‎ 综上，当函数有唯一零点时，的值为1．‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查换元法和构造函数法，以及化简运算能力，属于中档题．‎ ‎22.在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，求的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）‎ 将直线的参数方程代入曲线的方程，并整理得，再利用 直线参数方程t的几何意义求出的最小值．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ），.‎ 由直角坐标与极坐标的互化关系，.‎ 曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的方程，并整理得 ‎.‎ ‎，‎ 可设是方程的两个实数根，‎ 则，.‎ ‎，当时，等号成立.‎ 的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，考查直线参数方程t的几何意义，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．‎ ‎ ‎ ‎ ‎